专题09正方形性质与判定专项训练 (14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题09正方形性质与判定专项训练 题型01.正方形的性质及应用 题型02.正方形折叠问题 题型03.添条件证四边形是正方形 题型04.由正方形的性质与判定证明 题型05.由正方形的性质与判定求角度 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 题型07.由正方形性质与判定求面积 题型08.正方形性质与判定的实际应用 题型09.正方形与最值问题 题型10.正方形与动点问题 题型11.正方形规律探究题 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 题型13.正方形多结论判断题 题型14.中点四边形 解答题5题 知识点01.正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形（邻边相等的矩形）、特殊的菱形（有一个直角的菱形），集合了矩形与菱形的所有特征。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心） 知识点04.正方形与特殊平行四边形的关系 性质对比： 图形 对边平行 四边相等 四角直角 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 √ × × × × 矩形 √ × √ √ × 菱形 √ √ × × √ 正方形 √ √ √ √ √ 知识点05:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.正方形的性质及应用 1．如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，点表示的数为（   ） A．1 B． C． D． 3．如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 5．七巧板是中国传统的智力玩具，利用七巧板可以拼出很多有趣的图案．如图①所示的七巧板可以拼成图②中的风车形状，若，则________． 6．如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 7．如图，在正方形中，点E，点F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的度数为___________． 8．如图，在正方形中，，求的度数______． 题型02.正方形折叠问题 9．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A的对应点为，且，则BN的长是（    ） A．1.5 B．3 C．4 D．5 10．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则线段的长是_________ 11．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为__________． 题型03.添条件并证四边形是正方形 12．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 13．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________． 14．如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 15．我们知道当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形发展为特殊图形，如图是小颖从“对角线、边或者角”的角度对平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的梳理，其中对应序号的条件填写正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型04.由正方形的性质与判定证明 16．顺次连接正方形四条边的中点，确定四边形的形状是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 17．如图，在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为分别交于两点，则__________．    18．如图，点，，，为正方形四边中点，连结，，，．下列说法错误的是（    ） A．四边形一定是平行四边形 B．四边形一定是正方形 C．若，则四边形的面积是20 D．点M，Q是的三等分点 题型05.由正方形的性质与判定求角度 19．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 20．如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若BD＝10，DC＝3，则高AD的长度为 ___． 21．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 22．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图所示，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，过点D作的垂线交小正方形对角线的延长线于点G，连结，延长交于点H．若，则的值为______． 23．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 24．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．的平分线交于点，连接．若小正方形的面积为9，大正方形的面积为45，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 题型07.由正方形性质与判定求面积 25．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为___．（用含的代数式表示） 26．图中方格纸的每一小格皆是边长为的正方形，若以为一个顶点，在此方格纸内作一个最大的正方形，则正方形的面积为________．    27．如图，中，，平分交于点D，按下列步骤作图． 步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点； 步骤2：作直线，分别交，于点E，F； 步骤3：连接，． 若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 题型08.正方形性质与判定的实际应用 28．如图，在某城市中心花园的景观区，规划了三块正方形主题花坛，分别是种植牡丹的花坛、种植月季的花坛和种植雏菊的花坛．已知，且三块花坛沿同一直线方向依次衔接排列，则正方形DEFG的边长可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 29．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为___________．    30．如图，四边形为正方形，点在对角线上，，，．小红以的速度沿路线行走到处，小明以小红速度的1.25倍沿行走到处．若小红行走的路程为，则小明行走的时间为（    ） A． B． C． D． 题型09.正方形与最值问题 31．如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 32．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______． 33．正方形的边长为，以正方形的一边向外作等边三角形，点G，F分别为边，上一动点（不与端点重合），且，随着点G，F的运动，的最小值为___________． 34．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 题型10.正方形与动点问题 35．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 36．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 37．如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 38．在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 题型11.正方形规律探究题 39．如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，，则所作的第2022个正方形的面积_____． 40．如图，四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第2个正方形，再以正方形的对角线为边作第3个正方形……如此下去，则第5个正方形的边长为______． 41．如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形依此规律，则（   ） A． B． C． D． 42．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为，，，．曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次以B，C，D，A循环，则点的坐标是 ______________ ． 43．如图正方形中，与直线的夹角为延长交直线于点作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则______． 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 44．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 45．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，交于点．则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 46．如图，已知点，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 47．如图，在平面直角坐标系中，，连接，以为边在轴上方作正方形． (1)直接写出C，D两点的坐标； (2)将正方形向右平移个单位长度，得到正方形．当点落在线段上时，求此时值． 题型13.正方形多结论判断题 48．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ） ；；； A．个 B．个 C．个 D．个 49．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 50．如图，在正方形中，，对角线相交于点O，过点O作射线分别交边于点E、F，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为K，则的最小值为2．上述结论中，所有正确的序号是________． 51．【云端共舞】 (1)已知：如图①，在四边形中，，，，，则 ． (2)如图②，在正方形中，点，为边和上的动点（不含端点），下列三个结论：①当时，则；②；③的周长不变．其中正确结论的个数是 ． (3)【千里江山】如图③，边长为的正方形中，，，分别是边，，上的点，与相交于点，且，，求线段的长． 题型14.中点四边形 52．如图，在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是__． 53．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   54．如图，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3……以此类推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中点An，Bn，Cn，Dn，若四边形AnBnCnDn的面积为，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 55．如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 解答题 56．如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形．求的度数． 57．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 58．如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． (1)求证： (2)如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 59．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，． (1)求的长； (2)求的面积． 60．如图，在矩形中，． (1)如图1，点 E 在 边上，将沿折叠，得到，使点 F落在对角线上，求的长； (2)如图2，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A与点 C 重合，求的面积； (3)如图3，将矩形沿过点A的直线折叠，使点 B落在边上的点F处，折痕为，把纸片展平，连接．点M在线段上，将沿 折叠得到，连接并延长交 的延长线线于点Q． ①求 的度数； ②点O为中点，连接，直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09正方形性质与判定专项训练 题型01.正方形的性质及应用 题型02.正方形折叠问题 题型03.添条件证四边形是正方形 题型04.由正方形的性质与判定证明 题型05.由正方形的性质与判定求角度 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 题型07.由正方形性质与判定求面积 题型08.正方形性质与判定的实际应用 题型09.正方形与最值问题 题型10.正方形与动点问题 题型11.正方形规律探究题 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 题型13.正方形多结论判断题 题型14.中点四边形 解答题5题 知识点01.正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形（邻边相等的矩形）、特殊的菱形（有一个直角的菱形），集合了矩形与菱形的所有特征。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心） 知识点04.正方形与特殊平行四边形的关系 性质对比： 图形 对边平行 四边相等 四角直角 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 √ × × × × 矩形 √ × √ √ × 菱形 √ √ × × √ 正方形 √ √ √ √ √ 知识点05:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.正方形的性质及应用 1．如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、菱形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上图形的性质是解决本题的关键． 根据题意可证是等腰直角三角形，则即可求出的度数，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 故选C． 2．如图，四边形是正方形，点表示的数为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点表示的数为． 3．如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 4．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，则，再证明，得出，再利用勾股定理求线段长即可解答． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 则， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．七巧板是中国传统的智力玩具，利用七巧板可以拼出很多有趣的图案．如图①所示的七巧板可以拼成图②中的风车形状，若，则________． 【答案】13 【分析】本题考查了七巧板，熟练掌握七巧板的特征是解题的关键． 先通过正方形⑤的面积得到，进而得到各线段的长度，根据勾股定理可求出，进而证明四边形是菱形，然后根据可得到，即可证明四边形是正方形，从而求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 又∵， ， ∴四边形是菱形， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， 故答案为：． 6．如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 【答案】/ 【分析】证明出四边形是平行四边形，得到，求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴的周长是． 7．如图，在正方形中，点E，点F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的度数为___________． 【答案】/30度 【分析】根据正方形的性质和，证明得到，从而得到，根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形是正方形，对角线为、相交于点， ， ， ，，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 8．如图，在正方形中，，求的度数______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质． 以为一边作等边三角形，且点F在的内部，连接，先证明和全等得，，进而得，由此可证明和全等得，，继而得，则，由此得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出的度数． 【详解】解：以为一边作等边三角形，且点F在的内部，连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 题型02.正方形折叠问题 9．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A的对应点为，且，则BN的长是（    ） A．1.5 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，找出翻折变换中对应相等的线段和角是解题的关键，注意勾股定理和方程思想的准确运用． 根据翻折变换的性质得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵在正方形中，， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴． 故选：D 10．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则线段的长是_________ 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理与折叠问题，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题的关键．根据正方形的性质得到，，由得到，由折叠的性质得，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 11．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．连接交于点O，过点F作交于点M，交于点N，根据勾股定理求出，根据折叠得出，根据勾股定理得出，求出，最后根据矩形的判定和性质，勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，则，过点F作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵，点E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型03.添条件并证四边形是正方形 12．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 13．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】此题考查正方形的判定，折叠的性质，根据折叠得到，即可判定正方形，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键 【详解】解：由折叠得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形 14．如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形、正方形的判定定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键； 根据矩形、正方形的判定定理，全等三角形性质和判定，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， 四边形为矩形， A. 当时，四边形为正方形，不符合题意； B. 当时，四边形为正方形，不符合题意； C. 当时，推不出四边形为正方形，符合题意； D. 当时， ， ， ， 则四边形为正方形，不符合题意； 故选：C． 15．我们知道当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形发展为特殊图形，如图是小颖从“对角线、边或者角”的角度对平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的梳理，其中对应序号的条件填写正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系，熟记相关图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：当四边形为平行四边形时，若①是，则四边形为菱形，故A不符合题意； 当四边形为平行四边形时，若②是，则四边形为菱形，故B符合题意； 当四边形为矩形时，若③是，则四边形仍为矩形，故C不符合题意； 当四边形为菱形时，若④是，则四边形仍为菱形，故D不符合题意； 故选：B． 题型04.由正方形的性质与判定证明 16．顺次连接正方形四条边的中点，确定四边形的形状是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查中位线定理和特殊四边形的判定，关键利用正方形对角线的性质． 通过连接正方形各边中点，利用中位线定理和平行四边形的判定，结合正方形对角线相等且垂直的性质，可推导出所得四边形为正方形． 【详解】解：设正方形，E、F、G、H分别为的中点， 连接， ∵ E、F为中点， ∴， 同理，， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴平行四边形为矩形，也是菱形， ∴四边形为正方形． 故选：C 17．如图，在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为分别交于两点，则__________．    【答案】 【分析】根据题意证明，进而求出，证明，设，勾股定理求得，进而求得的面积，根据它们的差即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ ∵，点是边的中点， ∴， ∴， 在中，，则， ∵，， ∴， ∴, 设， 则，， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18．如图，点，，，为正方形四边中点，连结，，，．下列说法错误的是（    ） A．四边形一定是平行四边形 B．四边形一定是正方形 C．若，则四边形的面积是20 D．点M，Q是的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理．由点，，，为正方形四边中点，可得，，即可判断四边形为平行四边形； 设，则，，先证明，推理得到，再由面积和勾股定理得到，即可说明四边形为正方形；若，即，解得，根据正方形的面积是计算即可；， ，得到点M，Q不是的三等分点． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， 点，，，为正方形四边中点， ， ∵，， 四边形为平行四边形，故A选项说法正确，不符合题意； ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴四边形为正方形，故B项说法正确，不符合题意； 若，即，解得 ∴正方形的面积是，故C说法正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴点M，Q不是的三等分点，故D法错误，符合题意； 故选：D． 题型05.由正方形的性质与判定求角度 19．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 【答案】64° 【分析】由正方形的性质得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应角相等即可求出∠BEC的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCE=90°， ∴∠DCF=90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠BEC＝∠DFC， ∵CE=CF，∠ECF=90°， ∴△ECF为等腰直角三角形， ∴∠EFC=45°， 则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°， ∴∠BEC＝64°， 故答案为：64°. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 20．如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若BD＝10，DC＝3，则高AD的长度为 ___． 【答案】15 【分析】分别将△ABD、△ACD沿AB、AC对折，得到△ABE、△ACF，延长EB、FC相交于G点．得四边形AEGF是正方形，设正方形AEGF的边长是x．则BG=EC-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，在直角△BGC中利用勾股定理即可得到关于x的方程，即可求解． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 分别将△ABD、△ACD沿AB、AC对折，得到△ABE、△ACF， ∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，AE=AD=AF，∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF， ∵∠BAC=45°， ∴∠EAF=90°， ∴四边形AEGF是矩形， ∵AE=AF， ∴四边形AEGF是正方形． 根据对称的性质可得：BE=BD=10，CF=CD=3， 设AD=x，则正方形AEGF的边长是x， 则BG=EG-BE=x-10，CG=FG-CF=x-3， 在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x-10）2+（x-3）2=（10+3）2， 解得：x=15或-2（舍去）． ∴AD=15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 21．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 【答案】或或 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ； 如图，当时， 过点作于点，过点作于点，如图3所示， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用． 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 22．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图所示，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，过点D作的垂线交小正方形对角线的延长线于点G，连结，延长交于点H．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的判定以及性质和勾股定理，过点G作交的延长线于点T，设与交于点M，交的延长线于点N，设，则，由，可得四边形是矩形，由证得四边形是正方形，从而，，由勾股定理求得和，即可求出答案． 【详解】解：过点G作交的延长线于点T，设与交于点M，交的延长线于点N，如图所示∶ 设，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 【答案】 【分析】取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，根据正方形边长为6，得，， 则，，根据M、N分别是和的中点，得是的中位线，是的中位线， ，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得． 【详解】解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，    ∵正方形边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 24．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．的平分线交于点，连接．若小正方形的面积为9，大正方形的面积为45，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先根据题意得到，，，，然后在中利用勾股定理建立方程，求得和，接着过点M作于点Q，作于点P，连接，由角平分线的性质定理可知，可证得四边形为正方形，为直角三角形，再利用面积的关系，求得，最后由勾股定理求得和，即可解答． 【详解】解：∵四个直角三角形全等，小正方形的面积为9，大正方形的面积为45， ∴，，，， 设，则， ∵，即， 解得（负值舍去）， ∴，， 如图，过点M作于点Q，作于点P， 则， ∴四边形为矩形， 又∵的平分线交于点， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 连接，则，， ∴， ∴． 题型07.由正方形性质与判定求面积 25．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为___．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意得出这个大四边形是菱形，再结合，得这个大四边形是正方形，再结合面积之间的关系进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为， ∴， ∴， 依题意，这个大四边形的四边相等，则是菱形， ∵， 结合有一个角是度的菱形是正方形，即这个大四边形是正方形， ∴大正方形的面积为，四个直角三角形的面积是， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为：． 26．图中方格纸的每一小格皆是边长为的正方形，若以为一个顶点，在此方格纸内作一个最大的正方形，则正方形的面积为________．    【答案】 【分析】根据正方形的定义画出图形即可，进而即可求得面积． 【详解】解：此方格纸内作一个最大的正方形如下图，    ∵，，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是正方形， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问 题，属于中考常考题型． 27．如图，中，，平分交于点D，按下列步骤作图． 步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点； 步骤2：作直线，分别交，于点E，F； 步骤3：连接，． 若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，四边形是正方形，根据，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：∵平分，， ∴， 由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面积法构建方程解决问题． 题型08.正方形性质与判定的实际应用 28．如图，在某城市中心花园的景观区，规划了三块正方形主题花坛，分别是种植牡丹的花坛、种植月季的花坛和种植雏菊的花坛．已知，且三块花坛沿同一直线方向依次衔接排列，则正方形DEFG的边长可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据正方形面积等于边长的平方解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴3符合． 故选：B． 29．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为___________．    【答案】 【分析】如图1，2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1，2中，连接．    如图1中，∵， ∴是等边三角形， ∴， 在图2中，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 30．如图，四边形为正方形，点在对角线上，，，．小红以的速度沿路线行走到处，小明以小红速度的1.25倍沿行走到处．若小红行走的路程为，则小明行走的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由可证，可得，由矩形的性质，即可求解. 【详解】解：如图，连接． 四边形为正方形， ，，． 在和中， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ，， ， ． 小红行走的路程为， ， 小明行走的路程为， 小明行走的时间为． 故选： 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用正方形的性质是本题的关键． 题型09.正方形与最值问题 31．如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，得到．则点G在垂直于的直线上．作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．作，则四边形为矩形，求出．，得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接， 由旋转可得， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在垂直于的直线上． 作，由垂线段最短可知，的长即的最小值． 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴． ， ， ∴，即的最小值为2． 32．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“”证明和全等，则，从而得到；再求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小，据此解答． 【详解】解：在正方形中，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ， ． 取的中点，连接、，如图所示： 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，得， 当、、三点共线时，的长度最小，最小值． 33．正方形的边长为，以正方形的一边向外作等边三角形，点G，F分别为边，上一动点（不与端点重合），且，随着点G，F的运动，的最小值为___________． 【答案】 【分析】构造直角三角形建立关系式．过点作于点， 设，用分别表示出和，由勾股定理得到关于的表达式，再利用配方法求出最小值． 【详解】解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 过点作于点，交于点，则， 在中，， 设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值， 的最小值为， 的最小值为． 34．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 题型10.正方形与动点问题 35．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当和全等时，一定为直角三角形，点在上时，不能构成三角形；点在上时构成的不是直角三角形，此时两个三角形不能全等；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度可以求出运动的时间；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度求出运动的时间即可． 【详解】解：中， 当和全等时，一定为直角三角形， 当点在上时，不能构成三角形； 当点在上时，如下图所示， 构成的不是直角三角形，此时和不全等； 当点在上时，如下图所示， ， 则有， 此时点运动的路程为， 运动的时间为； 当点在上时，如下图所示， ， ， 此时点运动的路程为， 运动的时间为， 综上所述，当和全等时，的值是或． 故选：D ． 36．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 37．如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】作交的延长线于H，证明是的角平分线，由即可解决问题． 【详解】解：作交的延长线于H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∴点P的运动轨迹是的角平分线， ∵， ∴， 而， ∴一直不变， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、余角性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形以及得到点P的运动路线是解答的关键． 38．在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据同角的余角相等可得，利用可证； 利用可证，根据全等三角形的性质可证，过点作，交的延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可证：，利用勾股定理可证结论成立； 作的中点，的中点，连接，因为点在边上运动，点在上运动，点是的中点，可知点的运动轨迹是连接、中点的线段，利用勾股定理求出的长度即为点运动的路径长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点为的中点， ， ， 如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如下图所示，作的中点，的中点，连接， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 随着点、的运动，点在线段上运动， ， ， 在中， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题．解决本题的关键是根据点、的运动路径找到点的运动轨迹，根据点的运动轨迹求出点运动的路径长度． 题型11.正方形规律探究题 39．如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，，则所作的第2022个正方形的面积_____． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，正方形的性质，二次根式的计算，理解图示，找出规律是关键，根据题意，第n个正方形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形的面积为， 根据题意，，， ∴， ∴正方形的边长，则面积为， 正方形的边长为，则面积为， ， ∴第n个正方形的面积为， ∴第2022个正方形的面积为 ． 40．如图，四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第2个正方形，再以正方形的对角线为边作第3个正方形……如此下去，则第5个正方形的边长为______． 【答案】4 【分析】根据正方形的对角线等于边长的倍，进行依次求解，然后根据指数的变化求出第n个正方形的边长即可． 【详解】解：∵四边形是边长为1的正方形， ∴第二个正方形的边长， 第三个正方形的边长， 同理：第n个正方形的边长， ∴第5个正方形的边长为． 41．如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形依此规律，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得，可得，再根据直角三角形的性质求出然后根据规律得，则此题可解． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴ 根据勾股定理，得 ∴ 同理 ∴． 42．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为，，，．曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次以B，C，D，A循环，则点的坐标是 ______________ ． 【答案】 【分析】由正方形的性质结合点的坐标含义可得每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为，第四象限纵坐标都为，进一步可得点在第二象限，进一步可求解． 【详解】解：正方形的顶点坐标分别为，，，． ∴， ∴， 同理：，，， ∴，，， 同理：，， 每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为，第四象限纵坐标都为， ∵， ∴点在第二象限， 而第二象限的横坐标可表示为， 而， ∴． 43．如图正方形中，与直线的夹角为延长交直线于点作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，表示出相关线段的长度，然后找出规律即可求解． 【详解】解：∵正方形中，与直线的夹角为， ∴，； ，； ，； ， …… ∴， ∴． 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 44．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 【答案】 【分析】首先根据图形的规律，计算出的长度，再根据与轴正半轴夹角的变化规律，得出所在的位置，最后根据正方形对角线和边长的关系，求出坐标 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵正方形以正方形的对角线为边， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 由图可得，，， ∴在轴的正半轴上， ∴正方形顶点的坐标为， 故答案为：． 45．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，交于点．则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作轴于点，则，又四边形是正方形，点，则，，，，即，由勾股定理得，所以，然后证明，则，所以，从而可得，求出点的坐标即可． 【详解】解：如图，过作轴于点， 则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，，，即， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 46．如图，已知点，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】过点P作轴于点M，轴于点N，根据点，判定四边形是正方形，再证明，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点P作轴于点M，轴于点N， 则四边形是矩形， ∵点， ∴, ∴四边形是正方形， ∴, ∴ ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， 故选：A． 47．如图，在平面直角坐标系中，，连接，以为边在轴上方作正方形． (1)直接写出C，D两点的坐标； (2)将正方形向右平移个单位长度，得到正方形．当点落在线段上时，求此时值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，即可求解； （2）由题意可得，可得，由平移的性质可得轴，，，可求点，即可求解 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴点，点； （2）解：如图，设与y轴交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴轴， ∵将正方形向右平移t个单位长度， ∴轴，，， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴． 题型13.正方形多结论判断题 48．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ） ；；； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】首先证明，再利用角的关系求得，即可判断；沿对折，得到，利用角的关系求出，从而判断；设，则，，利用勾股定理可得，即，解得，从而判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 49．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明四边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 50．如图，在正方形中，，对角线相交于点O，过点O作射线分别交边于点E、F，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为K，则的最小值为2．上述结论中，所有正确的序号是________． 【答案】①③ 【分析】①根据正方形性质得，由此得，由此可依据“”判定，据此可对结论①进行判定；②由①得，在中由勾股定理得，则，再根据为斜边得，则，据此可对结论②进行判定；③由得，，则，再根据正方形的性质得，据此可对结论③进行判定；根据直角三角形斜边中线性质得到，设，利用勾股定理求出，结合完全平方式判断④，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线，相交于点O， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②由①得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，为斜边， ∵， ∴， ∴，故结论②不正确， ③由①得：， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为正方形面积的，故结论③正确； ④如图， ∵，的中点为K， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，最小，最小值为， ∴的最小值为，故④错误； 综上所述：正确的结论是①③． 51．【云端共舞】 (1)已知：如图①，在四边形中，，，，，则 ． (2)如图②，在正方形中，点，为边和上的动点（不含端点），下列三个结论：①当时，则；②；③的周长不变．其中正确结论的个数是 ． (3)【千里江山】如图③，边长为的正方形中，，，分别是边，，上的点，与相交于点，且，，求线段的长． 【答案】(1)5 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等： （1）过点D作，交的延长线于点E，可证明四边形是平行四边形，则；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由勾股定理得，当时，可证明，则可证明，得到，再由，可得，据此可判断①；延长到点H，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到；根据四边形内角和为360度和平角的定义可得，据此可判断②；根据三角形的周长公式和线段的和差关系可得的周长，据此可判断③； （3）过点A作，交于点T，连接，可证明四边形是平行四边形，得到，则，；证明，则由（2）可知；设，则，由勾股定理得，解方程得到，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）如图所示，过点D作，交的延长线于点E， ∵， ∴，即； ∵，即，且， ∴四边形是平行四边形， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴，即； （2）∵四边形是正方形， ∴，； 在中，由勾股定理得， 当时，则， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； 如图所示，延长到点H，使得，连接，则， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴的周长， ∴的周长等于正方形的边长的2倍， ∴的周长是定值，故③正确； （3）如图所示，过点A作，交于点T，连接， ∵四边形是边长为3的正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴由（2）可知； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ ∴． 题型14.中点四边形 52．如图，在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是__． 【答案】27 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是由三角形中位线定理判定四边形是矩形．由三角形中位线定理推出，，得到四边形是平行四边形，由，，，推出，得是矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， ， 四边形是矩形， 四边形的面积． 故答案为：27． 53．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【分析】此题考查的是三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 54．如图，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3……以此类推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中点An，Bn，Cn，Dn，若四边形AnBnCnDn的面积为，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：∵A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点， ∴A1B1∥AC，C1D1∥AC， ∴A1B1∥C1D1， 同理可得，A1D1∥B1C1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形 ∵A1B1∥C1D1，A1D1∥B1C1，AC⊥BD， ∴∠A1B1C1＝∠APC1＝∠AHD＝90°， ∴四边形A1B1C1D1是矩形； ∵A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点， ∴A1B1＝AC＝3，A1D1＝BD＝5， ∴矩形A1B1C1D1的面积＝3×5＝15， 同理，A2B2C2D2是菱形； 则A2B2C2D2的面积＝15×， A3B3C3D3的面积＝15×， A4B4C4D4的面积＝15×， A5B5C5D5的面积＝15×， AnBnCnDn的面积为15×， ∵AnBnCnDn的面积为， ∴，即，解得，； 故选：B 【点睛】本题考查的是中点四边形的性质，掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、根据图形的变化找出规律是解题的关键． 55．如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形； ②；③ 【分析】（1）利用三角形的中位线定理即可论证； （2）①利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ②找到下角标为奇数的中点四边形周长的变化规律即可得出结论； ③利用正方形的判定方法即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①如图，连接，， ∵，，，为四边形各边中点， ∴由（1）得四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形， ∴， ∵，，，为四边形各边中点， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴为菱形， 故答案为：菱形； ②∵，， ∴四边形的周长， ∵，， ∴四边形的周长， 按规律，四边形为矩形，经计算其周长， 四边形为矩形，经计算其周长， ...． ∴四边形为矩形，其周长为：． 故答案为：； ③已证四边形为矩形， 则当时，矩形为正方形， ∵，， ∴当，即时，满足题意， 故答案为：． 解答题 56．如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形．求的度数． 【答案】 【分析】先证，得，结合，可得，在中利用直角两锐角互余即可求的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 57．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)2 【分析】（1）由,，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 58．如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． (1)求证： (2)如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意得，又因为，，可得，根据可证明全等； （2）由（1）得，从而有，再根据．据此解答． 【详解】（1）证明：在正方形和中，，，， ，， ． 在和中， ， ． （2）解：， ∴ ， 59．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图形折叠可得，，因为正方形的边长为3，，求出，，在直角中，运用勾股定理求出，再求出，即可作答． （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解： 由图形折叠可得，， 正方形的边长为3，， ，，， 在中，， ， 解得， ． （2）解：∵， ∴， ∴的面积． 60．如图，在矩形中，． (1)如图1，点 E 在 边上，将沿折叠，得到，使点 F落在对角线上，求的长； (2)如图2，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A与点 C 重合，求的面积； (3)如图3，将矩形沿过点A的直线折叠，使点 B落在边上的点F处，折痕为，把纸片展平，连接．点M在线段上，将沿 折叠得到，连接并延长交 的延长线线于点Q． ①求 的度数； ②点O为中点，连接，直接写出线段的长． 【答案】(1)3 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明．在 中， 求解，证明，，，设，则，，再进一步解答即可； （2）设与的交点O，如图，求解，设，则，可得，求解，再进一步解答即可； （3）①证明四边形是正方形．．设，再进一步解答即可；②求解．连接．证明．可得．结合O 为中点，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形 为矩形， ∴． ∵，， 在 中， ， ∵将沿折叠，得到， ∴，，， ∴． ．设，则，， 在中， ， ， 解得， ∴； （2）设与的交点O，如图， ∵矩形沿折叠，点A与点 C重合， ，， ， ， 设，则， 在 中， ， ， 解得， ， 在中，根据勾股定理得， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 又∵矩形沿折叠， ∴ ， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ； （3）①∵将矩形纸片沿折叠，点 F落在上． ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵ ，． ∴， ∴四边形是正方形． ∵沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴． 设， ∴， ∵， ∴ ， ∵； ， ， ②∵， ∴． 连接． ∵，，． ∴． ∴， ∴， ∵O 为中点， ∴ ． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，本题难度较大，熟练的利用轴对称的性质解题是关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $