江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷

2025～2026学年第二学期期中调研 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（ ） A． B． C． D． 2．若曲线在点处的切线方程是，则（ ） A． B． C． D． 3．已知展开后共有30项，则为（ ） A．5 B．6 C．10 D．12 4．在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ） A． B． C． D． 5．已知随机变量的分布列如下表所示,设，则的数学期望的值是（ ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有4个不同的零点,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．下列求导运算正确的有（ ） A． B． C． D． 10．3名男生，3名女生，这6个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A．男生必须排在一起，共有120种排法 B．男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，共有36种排法 C．男生互不相邻，共有144种排法 D．男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列，共有20种排法 11．已知正方体棱长为1，动点满足，，则下列选项正确的是（ ） A．若点在平面内，则 B．当，，时，点到直线的距离为 C．当，时，该正方体被平面所截得的截面的最大面积是 D．当，时，二面角的正弦值的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则可能取值为______. 13．从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______. 14．把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有______种不同的安排方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知（）. (1)求展开式中的带有的项； (2)求展开式中各项的系数和； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 16．多项选择题是标准化考试中常见题型，从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)若点为上的中点，求证：. (2)求直线与平面所成的角的正弦值． (3)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 19．有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球． (1)取出五个盒子，分别编号为， 第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子； 第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中； 第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色． ①求第三步摸到的球是红球的概率； ②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？ (2)取出个盒子，重新编号，依次为， 从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小． 2025～2026学年第二学期期中调研高二数学 参考答案及评分标准 1、【答案】A 2、【答案】B 3、【答案】A 4、【答案】B 5、【答案】D 6、【答案】A 7、【答案】C 8、【答案】A 9、【答案】BCD 10、【答案】CD 11、【答案】BC 12、【答案】7或5 13、【答案】 14、【答案】180 15、【答案】(1)由题知，； ...............................................3分 (2)令得展开式中各项的系数和为 .........................................................7分 (3)因为，所以展开式共有7项， 由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，.....................................................10分 所以..................................................................................13分 16、【答案】 (1)设“甲同学得4分”为事件， 该同学所有可能的选择答案的样本空间， 包含6个样本点， ………………2分 而事件A包含3个, 所以 ………………5分 答：他本题得4分的概率为． ………………6分 (2)设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量， 可能取值为为0，3，6，9，12 ………………7分 则， ， ， ， ， ……………12分 所以随机变量的概率分布如下： ……………15分 17、【答案】 (1)分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则， ……………2分 ，所以. ……………5分 (2)设平面的法向量为， ， 则，设，则， ……………7分 设与平面的夹角为， 则， ……………10分 (3)由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， ……………12分 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， ………14分 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 ……………15分 18、【答案】 解：（1）当时，则 ……………..1分 令得 所以当时，递增，当时，递减…………3分 所以有极大值为，无极小值。 …………………………………..4分 （2） ……5分 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； ……….6分 当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ………………………….9分 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 ……………10分 （2）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 ……………………………………………………..11分 设，则 …………………..12分 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； …………………….14分 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， ………………….16分 因为，所以. 故整数的最小值为1 ……………………………………………………………..17分 19、【答案】 (1)第一步结束后，1号盒子中有3个红球和2个白球，2号盒子中有3个白球和2个红球． ①设“第三步从2号盒子中摸出红球”为事件 设“第二步从1号盒子中摸出2个红球”为事件，则 此时2号盒子中有4红3白， ………………1分 设“第二步从1号盒子中摸出2个白球”为事件，则 此时2号盒子中有2红5白，则 ………………2分 设“第二步从1号盒子中摸出1个红球和1个白球”为事件，则 此时2号盒子中有2红3白，则 ………………3分 则 ………………4分 答：第三步从2号盒子中摸出红球的概率是. ②设“第三步从2号盒子中摸出白球”为事件，则 ……………5分 所以最大. 所以放回1号盒子的可能性更大. ………………8分 (2)解：记“从号盒子中摸出的球为红球”， 所以， 则由全概率公式可得： 则，故， 又，所以，， ………………10分 设号盒子中红球个数为，可能取值为， ， ， ， ………………12分 所以. ………………13分 而 ………………16分 所以 ………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $