微突破2 圆锥曲线中二级结论的应用-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

微突破2　 圆锥曲线中二级结论的应用 备考指南 圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也可以有一定的启发. 典例·讲解 典例精析 强技提能 一 课后·训练 巩固强化 综合测评 二 目录 / CONTENTS 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 结论1　椭圆、双曲线的焦半径 【例1】　已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－ ，0），F2（ ， 0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若 ＝2 ，｜AB｜ ＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为（　　） A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1 √ 【常用结论】　（1）若点P（x0，y0）在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0） 上，∠F1PF2＝θ，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（左加右 减）.｜PF1｜｜PF2｜＝ ； （2）若点P（x0，y0）在双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0），∠F1PF2＝θ的右支上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex0（左支添“－”）.｜PF1｜｜PF2｜＝ ； （3）焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两点，则 ＋ ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜ AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又 ＋ ＝ ， ∴ ＋ ＝ ，即 ＝ ，又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴t＝a，∴ ＝ ，即3b2＝4a2，又c＝ ，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为 － ＝1. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练1】　如图，F1，F2为椭圆 ＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴 端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m 的取值范围是（　　） A. （－ ， ） B. （－ ， ） C. （－ ， ） D. （－ ， ） √ 解析： 设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由 角平分线性质知， ＝ ，于是得 ＝ ⇒m＝e2x0＝ x0，因为x0∈（－2，2），所以m∈（－ ， ）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 结论2　垂径定理 【例2】　（2025·河南郑州质量预测）设F1，F2分别为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2且斜率为－ 的直线l与C的右支 交于点A，与C的左支交于点B，点D满足 ＝ ， · ＝0，则 双曲线C的离心率为 ⁠. ​ 【常用结论】　（1）若AB是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的不平行于对 称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－ ； （2）若AB是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦， M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：法一（几何法）　如图，连接AF1，BF1，由 ＝ 可得D为AB的中点，由 · ＝0可得 ⊥ ，所以｜AF1｜＝｜BF1｜.设｜AF1｜＝｜BF1｜＝m，由双曲线的定义，得｜AF2｜＝m－ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2a，｜BF2｜＝m＋2a，所以｜AB｜＝｜BF2｜－｜AF2｜＝4a，所以｜AD｜＝｜BD｜＝2a，所以｜F2D｜＝｜DA｜＋｜AF2｜＝2a＋m－2a＝m.由直线l的斜率为－ ，可得tan∠DF2F1＝ ，所以在 Rt△DF1F2中，｜F1D｜∶｜F2D｜∶｜F1F2｜＝3∶4∶5，所以｜F1D｜＝ c，｜F2D｜＝ c＝m.在Rt△AF1D中，由勾股定理得，｜AD｜2＋｜F1D｜2＝｜AF1｜2，即（2a）2＋（ c）2＝（ c）2，整理 得，25a2＝7c2，所以e＝ ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二（代数法）　设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），由 ＝ 可得，D为AB的中点，因为直线l的斜率为－ ，所以 ＝ ＝－ 　①.由 · ＝0可得，AB⊥DF1，所以 ＝ ＝ 　②， 由①②可得，x0＝－ ，y0＝ c.连接OD（O为坐标原点），因为A， B均在双曲线上，且D为AB的中点.所以kOD·kAB＝ ，即 ·（－ ）＝ ，所以 ＝ ，所以e2＝1＋ ＝ ，e＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练2】　椭圆 ＋ ＝1中以点M（2，1）为中点的弦所在的直线方程 为（　　） A. 4x＋9y－17＝0 B. 4x－9y－17＝0 C. x＋3y－2 －3＝0 D. x－3y－2 ＋3＝0 √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设以点M（2，1）为中点的弦的两端点为A（x1，y1），B （x2，y2），则有 两式相减得 ＋ ＝0，因为M （2，1）为中点，所以 ＝2， ＝1，所以斜率k＝ ＝－ ＝－ （或直接利用结论k＝－ · ＝－ × ＝－ ），所以 所求直线方程为y－1＝－ （x－2），即4x＋9y－17＝0. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 结论3　椭圆、双曲线的第三定义 【例3】　（2025·浙江名校协作体试题）已知A，B是椭圆 ＋ ＝1与双 曲线 － ＝1的公共顶点，M是双曲线上一点，直线MA，MB分别交椭 圆于C，D两点，若直线CD过椭圆的焦点F，则线段CD的长度为 （　　） A. B. 3 C. 2 D. √ 【常用结论】　已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－ ，双曲线中kPA·kPB＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　法一（联立方程求解）　由题意及对称性， 不妨令A（－2，0），B（2，0），设M（x0，y0）， 则x0≠±2， － ＝1，即 ＝ .易得直线MA的 方程为y＝ （x＋2），与椭圆方程 ＋ ＝1联立， 解得x＝－2或x＝ ，所以xC＝ ，同理可得xD＝ ，所以直线CD的方程为x＝ ，而直线CD过椭圆的焦点F，由对称性，不妨以右焦点（1，0）为例，此时直线CD的方程为x＝1，x0＝4，则C（1， ），D（1，－ ）或D（1， ），C（1，－ ），所以｜CD｜＝3.故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二（利用斜率公式求解）　由题意及对称性，不妨 令A（－2，0），B（2，0），设点M（x0，y0）， 则x0≠±2， － ＝1，kMA＝ ，kMB＝ ，所 以kMA·kMB＝ ＝ .设C（x1，y1），易知x1≠±2，如图，连接BC，则kAC＝ ，kBC＝ ，又 ＋ ＝1，所以kAC·kBC＝ ＝－ ，又 kAC＝kMA，kBD＝kMB，所以kBC＝－kBD，即直线BC与直线BD关于x轴对称，则点C与点D关于x轴对称，又直线CD过椭圆的焦点，故｜CD｜＝ ＝3.故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法三（利用二级结论求解）　由题意可得，kMA·kMB＝ ，如法二图，连接BC，则有kAC·kBC＝－ .因为kMA ＝kAC，所以kBC＝－kMB，即kBC＝－kBD，所以直线 BC与直线BD关于x轴对称，则点C与点D关于x轴对 称，又直线CD过椭圆的焦点，故｜CD｜＝ ＝3.故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练3】　已知椭圆C： ＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1， M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组 平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10 条直线的斜率乘积为（　　） A. － B. － C. D. √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　如图所示，由椭圆的性质可得 · ＝ · ＝－ ＝－ .由椭圆的对 称性可得 ＝ ， ＝ ，所以 · ＝－ .同理可得 · ＝ · ＝ · ＝ · ＝－ .所以直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（－ ）5＝－ .故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 结论4　双曲线中有关渐近线的距离 【例4】　已知F1，F2分别是双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的 左、右焦点，P为双曲线C上的动点，｜F1F2｜＝10，｜PF1｜－｜PF2｜ ＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则 ＝ （　　） A. B. C. D. 2 √ 【常用结论】　（1）双曲线的焦点到渐近线的距离 为常数b； （2）双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 ； （3）双曲线上任意一点P到两渐近线的距离乘 积为定值 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由｜F1F2｜＝2c＝10，得c＝5.因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝ 6，所以a＝3.又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，所以d1d2＝ ＝ ，所 以 ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练4】　（1）若双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的一个顶点到一条 渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，即bx－ay＝0，所以顶点 （a，0）到直线bx－ay＝0的距离d＝ ＝ ，即 ＝ ，所以 ＝ ，则离心率e＝ ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）过双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的焦点F且与一条渐近线 垂直的直线与两渐近线相交于A，B两点，若 ＝2 ，则双曲线的离心 率为 ⁠. 解析：如图，过F作一条渐近线的垂线，垂足为H，则｜ FA｜＝｜FH｜＝b，｜OA｜＝a，｜AB｜＝3b，｜ OB｜＝ ＝ ，由 △BFH∽△BOA，得 ＝ ，即 ＝ ，所以a2＝3b2，所以e2＝1＋（ ）2＝ ，得e＝ . ​ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 结论5　抛物线的焦点弦 【例5】　（1）（2025·山东济宁一模）设F为抛物线C：y2＝6x的焦点， 过F的直线交C于A，B两点，若｜AF｜＝3｜BF｜，则｜AB｜＝ （　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 √ 【常用结论】　若倾斜角为α（α≠ ）的直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞y2），则 （1）x1x2＝ ，y1y2＝－p2； （2）焦半径｜AF｜＝x1＋ ＝ ，｜BF｜＝x2＋ ＝ ； （3）焦点弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ，且 ＋ ＝ ； （4）S△OAB＝ （O为坐标原点）； （5）若OA⊥OB，则直线AB过定点（2p，0）； （6）以AB为直径的圆与准线相切；以MN为直径的圆与AB切于焦点F； 以焦半径AF为直径的圆与y轴相切；以焦半径BF为直径的圆与y轴相切. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设直线AB的倾斜角为θ，过A作AA1垂直于准 线于点A1，作FQ⊥AA1于点Q，则｜AA1｜＝｜AQ｜＋ ｜QA1｜＝｜AF｜ cos θ＋p＝｜AF｜，∴｜AF｜＝ ＝ ，同理可证｜BF｜＝ ＝ ， ∵｜AF｜＝3｜BF｜，∴ ＝ ，解得 cos θ＝ ，∴ sin 2θ＝1－ cos 2θ＝ ，∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝ ＋ ＝ ＝ ＝8，故选D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷10题）设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过 F的直线交C于A，B，过F且垂直于AB的直线交l：x＝－ 于E，过点 A作准线l的垂线，垂足为D，则（　　） A. ｜AD｜＝｜AF｜ B. ｜AE｜＝｜AB｜ C. ｜AB｜≥6 D. ｜AE｜·｜BE｜≥18 √ √ √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 对于A，直线l为抛物线的准线，由抛物线的 定义，可知｜AD｜＝｜AF｜，A正确；法一（通解）　对 于B，当AB⊥x轴时，A（ ，3），B（ ，－3），E（－ ，0），｜AB｜＝6，｜AE｜＝3 ，此时｜AE｜≠｜ AB｜，B错误；对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋ ，A（x1，y1），B（x2，y2），由 得y2－6my－9＝0，则 高考专题辅导与测试·数学 目 录 y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，C正确；对于D，当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝3 ，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－ y＋ ，E（－ ，3m），｜EF｜＝ ，S△AEB＝ ｜AE｜·｜BE｜ sin ∠AEB＝ ｜AB｜·｜EF｜＝ （6＋6m2）· ＝9（1＋m2 ＞9，所以｜AE｜·｜BE｜＞ ＞18.综上，｜AE｜·｜BE｜≥18，D正确.故选A、C、D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二（二级结论）　对于B，以焦点弦为直径的圆与准线相 切，AB为直径，AE为弦，所以｜AB｜＞｜AE｜，B错误； 对于C，抛物线的焦点弦中通径最短，p＝3，则｜AB｜ ≥2p＝6，C正确；对于D，由选项B可知AE⊥BE，如图， 设∠AFx＝θ，由S△AEB＝ ｜AE｜·｜BE｜＝ ｜AB｜·｜EF｜，可得｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜＝ · ＝ ≥2p2＝18，D正确.故选A、C、D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练5】　已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的 直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两 点，则｜AB｜＋｜DE｜的最小值为（　　） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈（0， ），则直线l2的倾斜角为 ＋θ，由抛物线的焦点弦弦长 公式知｜AB｜＝ ＝ ，｜DE｜＝ ＝ ，∴｜AB｜＋｜DE｜＝ ＋ ＝ ＝ ≥16，当且仅当 sin 2θ＝1，即θ＝ 时取等号.∴｜AB｜＋｜DE｜的最小值为16. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：30分钟，满分：46分） 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题5分，共25分） 1. 已知椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一 点，且∠F1PF2＝ ，则△PF1F2的面积为（　　） A. 6 B. 2 C. 4 D. 6 √ 解析： 　设∠F1PF2＝θ，根据焦点三角形面积公式可知， ＝ b2tan ＝6·tan ＝2 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的 直线与抛物线C交于A，B两点，若 · ＝－12，则抛物线C的方程为 （　　） A. x2＝8y B. x2＝4y C. y2＝8x D. y2＝4x √ 解析： 　设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1x2＝ ，y1y2＝－p2，得 · ＝x1x2＋y1y2＝ －p2＝－ p2＝－ 12，得p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. （2025·河南新乡二模）若P为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0） 上异于A（－a，0），B（a，0）的动点，且直线PA与PB的斜率之积为 5，则C的渐近线方程为（　　） A. y＝± x B. y＝± x C. y＝± x D. y＝±5x √ 解析： 　设P（x0，y0），x0≠±a，则 － ＝1，即 ＝b2· ， 则kPA·kPB＝ ＝ ＝5，则 ＝ ，故C的渐近线方程为y＝± x. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 过双曲线x2－y2＝2上任意一点P（m，n）分别作两条渐近线的垂线， 垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 √ 解析： 双曲线x2－y2＝2的渐近线为x＋y＝0或x－y＝0，直线x＋y＝ 0与x－y＝0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩 形，所以四边形OAPB的面积为｜PA｜×｜PB｜＝ ＝1，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. 已知抛物线y2＝4x，A，B为抛物线上不同两点，若OA⊥OB，则 △AOB的面积的最小值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　如图，∵OA⊥OB，∴直线AB过定点（2p， 0），即点C坐标为（4，0），设直线AB：x＝ty＋4， A（x1，y1），B（x2，y2），联立 整理得 y2－4ty－16＝0，Δ＝16t2＋64＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝ －16，∴S△AOB＝ ｜OC｜｜y1－y2｜＝2｜y1－y2｜＝2 ＝2 ，∴当t＝0时，Smin＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（6分） 6. （2025·山东济南一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直 线与C交于A，B两点，O为坐标原点，则（　　） A. ｜AB｜≥5 B. ＋ ＝1 C. ＋ ∈［ ，1） D. △AOB面积的最小值为2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为F（1，0），所以设直线AB的方程为x＝my＋1，A （x1，y1），B（x2，y2），联立 得y2－4my－4＝0，则Δ ＝16m2＋16＞0，且y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝m（y1＋y2） ＋2＝4m2＋2，x1x2＝（my1＋1）·（my2＋1）＝m2y1y2＋m（y1＋y2）＋1 ＝1，对于A，根据抛物线的定义，得｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（x1 ＋1）＋（x2＋1）＝4m2＋4≥4，当m＝0，即直线AB与x轴垂直时，等号 成立，故A错误；对于B， ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝1，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 对于C， ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝1－ ，所以 ＋ ∈［ ，1），故C正确；对于D， S△AOB＝ ｜OF｜×｜y1－y2｜＝ ×1× ＝ × ＝2 ≥2，当m＝0，即直线AB与x轴垂直时，等号 成立，所以△AOB面积的最小值为2，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、填空题（每小题5分，共15分） 7. 已知椭圆C： ＋ ＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点， 且｜AF2｜＝2，则｜AB｜＝ 　　​ 　， cos ∠F1AB＝ 　　－ 　　. 解析：∵a＝4，b＝2，由 ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝ ，∴｜BF2｜＝ ，∴｜AB｜＝ ，∴｜AF1｜＝6，｜BF1｜＝ ， ∴ cos ∠F1AB＝ ＝ ＝－ . ​ － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 8. （2025·江苏南京调研）设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的 左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，且∠F1PF2＝ 120°，若△F1PF2的面积为4 ，则a＝ ⁠. 2 解析：法一　不妨设P点在第一象限，如图，根据双曲线 定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，且｜F1F2｜＝2c.由 离心率为2可得 ＝2，即c＝2a，所以｜F1F2｜＝4a. 设｜PF2｜＝m＞0，则｜PF1｜＝2a＋m，由△F1PF2的 面积为4 可得 ｜PF1｜·｜PF2｜· sin ∠F1PF2＝ m（2a＋m）× ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4 ，解得m（2a＋m）＝16.利用余弦定理可得 cos ∠F1PF2＝ ＝－ ，即 ＝－ ，整理可得2m2＋4am－12a2＝－m（2a＋m），即12a2＝3m（2a＋m），所以12a2＝48，解得a＝2. 法二　因为e＝2，所以e2＝1＋ ＝4，则 ＝3.因为点P在双曲线上， ∠F1PF2＝120°，△F1PF2的面积为4 ，所以 ＝ ＝ ＝ 4 ，所以b2＝12，又 ＝3，所以a2＝4，a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 9. 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：4x－5y＋4＝0与C的一个交 点为M，直线MF与C的另一个交点为N，则｜MN｜＝ ⁠. ​ 解析：由 得4x2－17x＋4＝0，解得x＝ 或x＝4，所 以点M（ ，1）或M（4，4）.焦点F（1，0）. 法一（定义法）　设N（x0，y0），当M（ ，1）时，由 x0＝1，得x0＝4，所以｜MN｜＝x0＋ ＋p＝4＋ ＋2＝ ；当M（4，4）时，由4x0＝1，得x0＝ ，所以｜MN｜＝x0＋4＋p＝ ＋4＋2＝ .综上，｜MN｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二（结论法）　当M的坐标为（ ，1）时，kMF＝ ＝－ ，设直线 MF的倾斜角为α，则tan α＝－ ，所以 sin α＝ ，所以｜MN｜＝ ＝ ＝ ；当M的坐标为（4，4）时，kMF＝ ，由对称性可得｜MN｜ ＝ .综上，｜MN｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $