8.10 圆锥曲线中常见结论及应用（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线核心考点，覆盖椭圆、双曲线的焦点三角形、周角定理、切线方程及抛物线焦点弦等高考高频结论，依据高考评价体系分析考点权重，归纳选择、填空、解答题等常考题型，构建系统的备考知识网络，体现高考复习的针对性和实用性。 课件亮点在于“结论速用+题型突破”的实战策略，如通过椭圆焦点三角形面积公式（S=b²tanθ/2）解析典型例题，用抛物线焦点弦结论（y₁y₂=-p²）简化计算，培养学生数学思维与运算能力，助力学生掌握解题技巧，教师可依托课件精准指导复习，提升备考效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第八章 直线和圆、圆锥曲线 01 [题型解读] 椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解． 8．10　圆锥曲线中常见结论及应用 01 02 题型一 题型二 课下巩固精练卷(七十二) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 课下巩固精练卷(七十二) 圆锥曲线中常见结论及应用 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 感谢观看 题型一　椭圆、双曲线的常用结论及其应用 角度1　焦点三角形 【例1】　已知椭圆C：＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．12 解析：选D.由e＝，得，即a＝2c　①. 设△F1PF2的内切圆的半径为r， 因为△F1PF2的内切圆的面积为3π， 所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)， 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知＝b2tan r(2a＋2c)， 即(a＋c)　②， 又a2＝b2＋c2　③， 联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3， 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. 方法指导　焦点三角形的面积公式 P为椭圆(或双曲线)上异于长(或实)轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ， 则椭圆中＝b2·tan ， 双曲线中. 【对点练习】　1.(1)已知椭圆＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积为(　　 ) A． B．16 C．3 D．9 解析：选C.根据椭圆焦点三角形的面积的二级结论＝b2tan ，得＝9tan . (2)已知双曲线＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2＝120°，则△F1MF2的面积为________． 解析：根据双曲线焦点三角形的面积的二级结论， 得. 答案： 角度2　周角定理 【例2】　已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点分别为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为(　　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：选B.由椭圆的性质可得 . 由椭圆的对称性可得 . 同理可得. ∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为. 方法指导　周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. 周角定理的推广：已知A，B两点为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝双曲线中kPA·kPB＝. 【对点练习】　2.已知直线l：y＝kx与椭圆E：＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是 ，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.由椭圆中的结论，可得kMA·kMB＝－， 由椭圆的离心率的取值范围是， 即<e<⇔<<⇔<<， 所以<<⇒－<－<－， 即－<kMA·kMB<－. 角度3　切线、切点弦方程 【例3】　椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　 ) A．1 B． C． D．2 解析：选C.设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)， 由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1， 令y＝0，可得C，令x＝0，可得D， 所以△OCD的面积S＝， 又点B在椭圆上，所以＝1， 所以S＝， 当且仅当，即x1＝1，y1＝时等号成立， 所以△OCD面积的最小值为. 方法指导　1.已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中＝1，双曲线中＝1. 2．若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程在椭圆中是＝1，双曲线中是＝1. 【对点练习】　3.点P为直线l：y＝x＋1上一动点，过P作双曲线 －y2＝1的切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB过定点________． 解析：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则PA，PB的方程分别为－y2y＝1， 因为点P在两条直线上，所以－y2y0＝1. 这表明，点A，B都在直线－y0y＝1上， 即直线AB的方程为－y0y＝1. 又y0＝＋1，代入整理得(x－y)－(y＋1)＝0， 令解得 即直线AB过定点(－1，－1)． 答案：(－1，－1) 题型二　抛物线的常用结论及其应用 与抛物线的焦点弦有关的二级结论 若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则 (1)焦半径|AF|＝x1＋， |BF|＝x2＋， (2)焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝， (3)S△OAB＝坐标原点)， (4)x1x2＝，y1y2＝－p2， (5)， (6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． 【例4】　(1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足，S△OAB＝的值为(　　 ) A． B． C．4 D．2 解析：选A.如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈， ∵，∴F为AB的三等分点， 令|BF|＝t，则|AF|＝2t， 由，得⇒t＝p， ∴|AB|＝3t＝p， 又|AB|＝，∴p⇒sinα＝， 又S△OAB＝∴， 即p⇒p＝2，∴|AB|＝. (2)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积是(　　 ) A．4 B． C． D． 解析：选D.不妨令A(xA，yA)在第一象限，B(xB，yB)在第四象限， 则yAyB＝－p2＝－8，所以p＝2. 又因为|AF|＝3＝3， 即|yA|＝3|yB|，代入yAyB＝－8， 可得＝8，由于B在第四象限，则yB＝－， 所以yA＝2， 所以S△OAB＝＝. 思维升华　焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解． 【对点练习】　4.(1)斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝________． 解析：直线l的倾斜角α＝60°， 由|AF|＝＝4， 得p＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB|＝. 答案： (2)(2024·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________． 解析：依题意，抛物线y2＝16x，p＝8，又l的倾斜角α＝， 所以S△OAB＝. 答案：64 (3)(2024·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为________． 解析：因为p＝2，所以＝1， 所以2|AF|＋|BF|＝ ， 当且仅当|BF|＝＝＝＋1时，等号成立， 因此，2. 答案：3＋2 1．如图，已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点F1在BC边上，则△ABC的周长是(　　 ) A．2 B．6 C．4 D．12 解析：选C.由题图可知△ABC的周长＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF1|)＋(|AC|＋|CF1|)＝2a＋2a＝4a＝4. 2．过抛物线x2＝8y的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若 ＝9，则λ的值为(　　 ) A． B． C．或3 D．或2 解析：选D.在抛物线中，由焦点弦的性质可得 解得或所以λ＝2或. 3．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1， 设双曲线C2的方程为＝1(a2>0，b2>0)， 则有＝4－1＝3. 又四边形AF1BF2为矩形， 所以△AF1F2的面积为tan 45°＝， 即＝1，所以＝3－1＝2. 故双曲线C2的离心率e＝. 4．已知F1，F2为椭圆＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M的个数为(　　 ) A．2 B．4 C．0 D．不确定 解析：选B.由＝1得a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝1，c＝1.由椭圆的定义知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2.因为△MF1F2的内切圆的周长等于π，所以△MF1F2内切圆的半径为r＝＝.设点M(x0，y0)，则＝，所以y0＝±.将点M的坐标代入椭圆方程可得＝1，解得x0＝±1，所以点M的坐标为或，因此，满足条件的点M的个数为4. 5．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　 ) A．16 B．14 C．12 D．10 解析：选A.如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈， 则直线l2的倾斜角为＋θ， 由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝ ＝， 所以|AB|＋|DE|＝ ＝≥16， 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝的最小值为16. 6．(2023·石家庄模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　 ) A． B．2 C． D．3 解析：选A.如图，＝0， ∴BA⊥BP，令kAB＝k， ∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k， 又BA⊥BP，∴kPB＝－， 依题意，kPB·kPA＝，∴－·(－k)＝， ∴＝1，即e＝. 7．(多选)已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是(　　 ) A．线段AB长度的最小值为2 B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切 C．∠HFG＝90° D．∠AMO＝∠BMO 解析：选BCD.当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确； 如图，取AB的中点E，作ED⊥GH，垂足为D， ∵直线y＝－1为准线， ∴|ED|＝＝， 故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切， 故B正确； 又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF， 又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG， ∴∠BFG＝∠MFG， 同理可得∠AFH＝∠MFH， 又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°， ∴∠MFG＋∠MFH＝90°，∴FG⊥FH， 即∠HFG＝90°，故C正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率存在， ∴设直线AB：y＝kx＋1， 由得x2－4kx－4＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， kAM＋kBM＝ ＝0， ∴∠AMO＝∠BMO，故D正确． 8．(多选)(2024·广州模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是(　　 ) A．双曲线C的离心率为2 B．若PF1⊥PF2，且＝3，则a＝2 C．以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切 D．若点P在第二象限，则∠PF1A2＝2∠PA2F1 解析：选ACD.对于A，由＝3， 得e＝＝2，故A正确； 对于B，因为PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积为＝b2＝3， 又＝3，所以a＝1，故B错误； 对于C，设PF1的中点为O1，O为原点． 因为OO1为△PF1F2的中位线， 所以|OO1|＝＝＝＋a， 则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故C正确； 对于D，设P(x0，y0)，则x0<－a，y0>0. 因为e＝2，所以c＝2a，b＝a， 则渐近线方程为y＝±x， 所以∠PA2F1∈，∠PF1A2∈. 又tan ∠PF1A2＝， tan ∠PA2F1＝－， 所以tan 2∠PA2F1＝ ＝ ＝＝ ＝＝tan ∠PF1A2， 因为2∠PA2F1∈， 所以∠PF1A2＝2∠PA2F1，故D正确． 9．过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________． 解析：法一：设直线m的方程为y＝k1(x＋2)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． 由整理得x2＋ >0， 则x1＋x2＝， 所以y1＋y2＝k1(x1＋2)＋k1(x2＋2)＝k1(x1＋x2＋4)＝， 所以P，则k2＝，则k1k2＝－. 法二：由椭圆的相应结论知，所以k1k2＝－. 答案：－ 10．已知椭圆C：＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1<R<2)相切于点A，与椭圆C相切于点B，则|AB|的最大值为________． 解析：连接OA，OB，如图所示．设B(x0，y0)， 所以过点B与椭圆相切的直线方程为＋y0y＝1， 即x0x＋4y0y－4＝0， 又R2＝|OA|2＝，R为圆的半径，R∈(1，2)， |AB|2＝|OB|2－R2＝， 又＝1，所以， 所以|AB|2＝4－－＝1， 当且仅当， 即max＝1， 此时R2＝＝2，即R＝∈(1，2)， 故当R＝max＝1. 答案：1 $