专题5.2 简单的轴对称图形（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5.2简单的轴对称图形 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点]等腰三角形 知识点2线段的垂直平分线 知识清单 知识点3角平分线 题型1等边对等角 题型2三线合一 简单的轴对称图形 题型3线段垂直平分线的性质 题型4角平分线的性质定理 题型精讲 题型5尺规作图 题型6最短路径问题 题型7轴对称的综合-线段问题 题型8轴对称的综合-面积问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.认识等腰三角形、等边三角形、线段、角等简单轴对称图形，能准确找出它们的对 称轴，理解其对称特征。 2.掌握简单轴对称图形的基本性质，会利用性质进行简单推理、计算和说理，初步形 教学目标 成几何推理意识。 3.通过折叠、观察、归纳等活动，体会轴对称在图形中的应用，发展空间想象能力， 感受几何图形的对称美。 1.重点 (1)掌握等腰三角形、线段、角的轴对称性质，理解并记住对应边、角相等及垂直平 分等核心结论。 教学重难点 (2)能运用简单轴对称图形的性质解决线段相等、角相等及简单计算问题，规范几何 语言表达。 2.难点 (1)理解轴对称性质背后的几何逻辑，能从对称特征出发进行简单推理，而非仅靠直 1/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 观判断。 (2)灵活区分并综合运用不同简单轴对称图形的性质，在综合问题中准确选择性质解 决问题。 知识清单 知识点01等腰三角形 1.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） (2)等腰三角形性质2： 文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一) 图形：如下所示； 若∠1=∠2，则BD=CD,AD⊥BC; 符号：在△ABC中，AB=AC, 若BD=CD,则∠1=∠2，AD⊥BC; 若AD⊥BC,则∠I=∠2，BD=CD 2.等腰三角形的判定 (1)等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形： (2)等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；（简称：等角对等边） 3.等边三角形的性质 (1)等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60°； (3)等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴， 4.等边三角形的判定 (1)等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； (2)等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； (3)等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形 【即学即练1】1.如图，△ABC≌△AED,点E在线段BC上，∠I=44°，则∠ABE的大小为() 2/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.38 B.40° C.44 D.68 2.浏水月夜民宿用等腰ABC形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使AB=AC,并用AD连接和 加固支架，己知D是BC边的中点，且∠BAC=70°，则∠BAD= B D 3.如图，在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，且CD=CE,若LADE=20°，则∠C的度数为 知识点02线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 「线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两端点的距离相等； 线段垂直平分线的判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【即学即练2】4.如图，R△ABC中，∠C=90，∠B=29,分别以点A和点B为圆心，大于AB的长 为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN,交BC于点D,连接AD,则LCAD的度数是() D 米N A.29 B.30 C.32 D.45 5.如图，在ABC中，AB=AC,AB的中垂线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,若△BCE的周长 为7，且AC-BC=1,则ABC的周长为() 3/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.9 B.10 C.11 D.12 6.如图，在ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F.若BC=8cm,则△AEF的周长为 cm. B 知识点03角平分线 角的平分线 角的平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等； 角的平分线的性质定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点， 在这个角的平分线上 【即学即练3】7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交 CA于点M,交CB于点N,再分别以点M、V为圆心，大于MN为半径作弧，两弧相交于点P,作射线 CP交AB于点D,则∠BCD为()度. M D A.30 B.45 C.36 D.54 8.如图， ABC中，∠ACB=90°，AD为角平分线，BC=10,SABD:SACD=3:2,P为直线AB上一动点， 连接PD,则线段PD长的最小值是() C D B 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4 B.5 C.6 D.8 9.如图，OC是∠AOB的平分线，过OA上一点D,作DE⊥OB,分别交OB,OC于E,F,若OD=6, EF=2,则△DOF的面积为· D E B 题型精讲 题型01等边对等角 【典例1】(25-26八年级上湖南娄底期末)如图，在ABC中，BA=BC,将三角形折叠，使点B与点C重 合，折痕为DE.若LB=30°，则LACD的度数为() D B A.40 B.45° C.50° D.55° 【变式1】(25-26七年级上山东泰安期中)如图，在ABC中，AB=AC,分别以点A和点B为圆心，大 于)4B的长为半径作弧，两弧交于M,N两点，作直线MN,与4C交于点D,连接BD,若∠A=40, 则∠CBD的度数为() A.27° B.30° C.32° D.35o 【变式2】(25-26八年级上江苏泰州期末)在ABC中，AB=AC,∠A=100°，则∠B的度数为 【变式3】(25-26八年级上·河南新乡·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=50°，点D在线段BC上 运动（不与点B,C重合），当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为 5/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 题型02三线合一 【典例2】(25-26八年级上·安微合肥期末)如图，在ABC中，AB=AC,D是边BC的中点.若 ∠B=65°，则∠BAD的度数为() B D A.25° B.30° C.35 D.45° 【变式1】(25-26八年级上山东聊城期末)如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC, 交CD于点E,若aBCE的面积为7，DE=2,则AC的长为() D B A.3.5 B.5 C.7 D.14 【变式2】(25-26八年级上·浙江绍兴·期末)八年级(1)班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图， AB=AC,为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边BC垂直的水渠AD,已知BD=20m,则CD= m. B D C 【变式3】(25-26八年级上·甘肃期末)如图，在ABC中，AB=AC,D为BC中点，连接AD. (1)求证：AD⊥BC; 6/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若BC=10cm,AD=12cm,求ABC的面积. 题型03线段垂直平分线的性质 【典例3】(25-26八年级上湖南长沙期末)如图，ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB 于点E,若AB=10,AC=9,BC=8,则△BCD的周长是() E B A.13.5 B.17 C.18 D.19 【变式1】(25-26八年级上·云南昆明期末)在ABC中，点D在边AB的垂直平分线上，连接AD,若 ∠1=35°，则∠2的度数是() B A.50° B.60° C.65 D.709 【变式2】(25-26八年级上广东湛江期末)如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长 为半径画弧，两弧相交于点M,点N,过这两个点作直线MN,交BC于点D,连接AD.若BC=7, CD=3,则AD的长为 D B 米M 【变式3】(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，ABC中，∠BAC=114°，点D是BC上一点，BD的 垂直平分线交AB于点E,将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠C度数为· 7/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 题型04角平分线的性质定理 【典例4】(25-26八年级上山西长治期末)如图，在ABC中，AB=8,AC=6,AD平分∠BAC交BC 于D,过D作DE⊥AC于点E,且DE=3,则ABC的面积为() A B D A.21 B.24 C.27 D.30 【变式1】(25-26八年级上·福建泉州期末)如图，在ABC中，LC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, 过点D作DE L AB于点E.若AD=3cm,DE=lcm,则AC的长为() B D A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 【变式2】(25-26八年级上陕西安康期末)如图，AD是ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 分别是E,F,若AB=8cm,AC=6cm,SAc=14cm2,则DE的长为cm. B D 【变式3】(25-26八年级上河南驻马店期末)如图，OP平分∠A0B,PF⊥OA于点F,点D在OB上， DH⊥OP于点H,若OD=4,OP=8,PF=3.5,则DH的长为 /A F D 题型05尺规作图 8/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例5】(25-26八年级上·甘肃天水期末)电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求，发射 塔P到两城镇A,B的距离要相等，发射塔P到两条高速公路m和的距离要相等 ①连接AB,作线段AB的垂直平分线HM; ②作∠COD的平分线OQ交HM于点P; 则点P就是所要修建的电视信号发射塔P, 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔P的位置（保留作图痕迹，不写作法）. 。B •A m D 【变式1】(25-26八年级上·河南南阳·期末)如图，ABC中，点D在边AB上，且AC=AD. D B (I)请用无刻度的直尺和圆规作∠BAC的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(I)中所作的角平分线交BC于M,连接DM,当BC=12,BM=7时，求DM的值. 【变式2】(25-26八年级上·甘肃武威期末)如图，∠A0B=60°，点C在O0B上. C B (1)作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法 ①作∠AOB的角平分线OD; ②作线段0C的垂直平分线，交0C于E,交0D于F,交OA于G. (②)在(1)作图的基础上，连接FC,则FC与FG的数量关系是什么？请给出你的证明. 【变式3】(25-26七年级上·北京海淀·期末)如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： A、 D 9/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)画直线AD和直线BC,交点为点E; (2)连接BD,并延长到F,使DF=BD; (3)在∠AEB内部，画射线EM,使∠BEM=∠AEM. 题型06最短路径问题 【典例6】(25-26八年级上，广东中山期末)如图，点P,Q在直线1的同一侧，现需在1上找一点M,使 得PM+MQ的和最小，下列做法正确的是() P. P。 B. M .0 D M 【变式1】(23-24八年级上·全国课后作业)如图，在正方形网格中有M,N两点，在直线1上求一点P使 PM+PN最短，则点P应选在点() M B D A.A B.B C.C D.D 【变式2】(24-25八年级上·青海海东·期末)如图，正方形ABCD的边长为4，M是AD中点，N是DC中点， P是对角线AC上一个动点，则PM+PN的最小值为· M 【变式3】(23-24七年级下广东清远期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,ABC的面积为7， BD平分∠ABC,若M,N分别是BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值为 10/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M B4 题型07轴对称的综合-线段问题 【典例7】(24-25八年级上四川绵阳·期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，点E,M,N分别是各边 上的动点，若AB=10,AC=8,BC=6,则EM+EN+MN的最小值是 M 【变式1】(25-26八年级上·福建厦门期末)如图为某工厂厂区示意图，办公大楼A在工厂主干道MN上， 车间B,C与办公大楼A的距离皆为akm,且∠BAN=42°，∠CAN=18°.在主干道MN上选址仓库D, 从仓库D到车间B,C修建厂区支路BD,CD，,使得支路总长最短，测得仓库D与办公大楼A距离为bkm .己修建的支路CD长为ckm(c<b<a),还需修建的支路BD的长度用代数式可以表示为 km. MA D N 【变式2】(25-26八年级上山西忻州期中)如图，某城镇的主干道1为一条东西走向的直线道路，路北有 两个居民区E和F,现计划在I上设立一个公交站P,要求E区和F区的居民到车站的总路程PE+PF最短. 己知1上有四个候选站点位置A,B,C,D(依次自西向东排列)，则车站应设在() A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 【变式3】(25-26八年级上·浙江杭州·月考)如图，小河CD边有两个村庄A,B,现要在河边建一个自来 水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置， 并标出E点.（保留作图痕迹，不写作法） 11/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C D 题型08轴对称的综合-面积问题 【典例8】(25-26七年级下·江苏徐州·月考)如图，△ABD和△ACD关于AD所在的直线成轴对称，点E, F是中线AD上的两点，ABC的面积是24，则图中阴影部分的面积是 B D 【变式1】(25-26八年级上江苏徐州期中)如图，已知∠A0B=45°，点P在∠A0B内部，点P与点P关 于OA对称，点B与点P关于OB对称，连接P,分别交OA,OB于点E,F,连接PE,PF,若PE=a, PF=b,则PEF的面积为 ·(用含a,b的代数式表示) B P 【变式2】(24-25七年级上·上海单元复习)在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， ABC三个顶点的均在格点上，位置如图所示. (I)请画出ABC关于直线1对称的△AB,C; (2)连接AA,、B,B,并计算四边形AA,B,B的面积. 【变式3】(23-24八年级上江苏泰州月考)如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， 12/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点A、B、C在小正方形的顶点上 (1)计算出ABC的面积 (2)在图中画出与ABC关于直线1成轴对称的△A'B'C'; (3)在直线1上找一点P,使PB+PC的长最短. 强化训练 一、单选题 1.(24-25七年级下·山东济南期末)下列中国传统纹样的图案中，是轴对称图形的是() B D 2.(25-26八年级下·湖南长沙开学考试)如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明0C为∠A0B的 平分线的依据是() M B A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 3.(2026陕西西安·三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,若CD=3,则点D到AB的 距离为() D A.4 B.3.5 C.3.2 D.3 13/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2026安微蚌埠二模)如图，直线AB‖CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,点G在射线FD上， 且EG=EF,若LAEF=65°，则∠FEG=() A.35 B.50° C.659 D.70° 5.(25-26八年级上河南新乡·期末)如图，在ABC中，AB=BC，AC=3,SABc=6，边BC的垂直平 分线为1，点D是边AC的中点，点P是1上的动点，则PC+PD最小值是() A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 6.(25-26八年级上陕西西安·月考)如图，在ABC中，AB=AC,D为BC的中点，∠BAD=35°，则 LC= B 7.(25-26八年级上湖北荆州期末)如图，在ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是△ABD的中线， 若ABC的面积是28，AB=8,AC=6,则△ABE的面积是 B D 8.(25-26八年级下·江苏南京·开学考试)如图在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC 于点D,CD=4,aCDE周长为12，则AC的长是· 14/16 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 9.(25-26九年级上四川成都期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=35°，分别以点A,C为圆心， AC的长为半径画弧，两弧相交于点D,E,作直线DE分别交4C,BC于点F,G,以G为圆 GC长为半径画弧，交BC于点H,连接AG,AH,则LAHC为度. G米E F D B 10.(25-26九年级下.陕西西安·开学考试)如图，在ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，连接BD,过 点D作DE1AB于点E.若E为AB的中点，AC=8,△BCD的周长为14，则AE的长为 D 三、解答题 11.(25-26八年级上·浙江金华期末)如图，已知四边形ABDC的面积为16，AD平分∠BAC,AB+AC=10 E C D (I)求点D到AC的距离DE的长； (2)若∠C+∠B=180°，求证：BD=DC. 12.(25-26八年级上湖南长沙.期末)如图，AD是ABC的边BC上的中线，己知AB=11,AC=9. 15/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (I)边BC的取值范围是 (2)若△ABD的周长为30，则△ACD的周长为 (3)已知AB=11,AC=9,若AD是ABC的角平分线，点D到AB边的距离为6，求此时ABC的面积. 13.(25-26八年级上河北衡水期末)如图，在ABC中，∠A=90°，P为边BC上的一点，D为BP的中 点，E为CP的中点，过点D作DF⊥BP交AB于点F,过点E作EG⊥CP交AC于点G, B (1)求∠FPG的度数. (②)如图，连接FG,若FG∥BC,求证：AG=PG. 14.(25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末)如图，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D. M D B (I)求∠DBC的度数： (2)若AB=30cm,BC=18cm,求△DBC的周长. 15.(25-26七年级下·江苏连云港·月考)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：在ABC中， B (I)作∠BAC的角平分线交BC于点D: (②)作AC边上的垂直平分线1交AD于点E; (3)连接EC,若∠B=55°，LBCA=60°，则LAEC= 16/16 专题5.2 简单的轴对称图形 教学目标 1. 认识等腰三角形、等边三角形、线段、角等简单轴对称图形，能准确找出它们的对称轴，理解其对称特征。 2. 掌握简单轴对称图形的基本性质，会利用性质进行简单推理、计算和说理，初步形成几何推理意识。 3. 通过折叠、观察、归纳等活动，体会轴对称在图形中的应用，发展空间想象能力，感受几何图形的对称美。 教学重难点 1.重点 （1）掌握等腰三角形、线段、角的轴对称性质，理解并记住对应边、角相等及垂直平分等核心结论。 （2）能运用简单轴对称图形的性质解决线段相等、角相等及简单计算问题，规范几何语言表达。 2.难点 （1）理解轴对称性质背后的几何逻辑，能从对称特征出发进行简单推理，而非仅靠直观判断。 （2） 灵活区分并综合运用不同简单轴对称图形的性质，在综合问题中准确选择性质解决问题。 知识点01 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2： 文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 2.等腰三角形的判定 （1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 3.等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 4.等边三角形的判定 （1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 【即学即练1】1．如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 知识点02 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 【即学即练2】4．如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图——基本作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则，，然后根据三角形外角和定理以及内角和定理即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 故选：． 5．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是转化的周长． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为，再由，求解与的长即可． 【详解】解：∵的中垂线交于点D， ∴， ∴的周长为①， ∵②， ∴①②可得，，解得， ∴， ∵在中，， ∴， 则的周长为． 故选：C ． 6．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 【答案】8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是利用垂直平分线的性质将的周长转化为的长度．根据线段垂直平分线的性质，得到，，再将的周长替换为，而的长度等于的长度，代入已知的数值即可求出的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴； ∵的垂直平分线交于点， ∴； ∴的周长， ∵， ∴的周长为； 故答案为：8． 知识点03 角平分线 角的平分线 【即学即练3】7．如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【答案】C 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 8．如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 9．如图，是的平分线，过上一点，作，分别交，于，，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，过作于点，由角平分线性质可得，然后代入即可求出的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 题型01 等边对等角 【典例1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 由等腰三角形性质可得，由折叠得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出，再根据线段垂直平分线的性质得出，即可得出，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理．依题意可知该三角形为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得另外两角相等，结合三角形内角和易求的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 题型02 三线合一 【典例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 题型03 线段垂直平分线的性质 【典例3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，根据即可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵，， ∴的周长是． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 【详解】解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：D； 【变式2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 题型04 角平分线的性质定理 【典例4】（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到点到和的距离都是，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题知，因为平分交于， 所以点到和的距离相等． 因为于点，且， 所以点到和的距离都是， 所以 因为，， 所以 故选：A 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再由求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，平分，于点，点在上，于点，若，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，关键是由三角形面积的不同表示方法得到等积式；过点作，则，又根据，即可求得的长． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即：， 故答案为：． 题型05 尺规作图 【典例5】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，中， 点D在边AB上， 且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的角平分线交于M，连接，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，，点在上． (1)作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法． ①作的角平分线； ②作线段的垂直平分线，交于，交于，交于G． (2)在（1）作图的基础上，连接，则与的数量关系是什么？请给出你的证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，掌握基本的尺规作图的步骤，作出图形是解决问题的关键． （1）根据角平分线、垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）由角平分线可知，由垂直平分线的性质可得，，进而可证明，可得，进而可证得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 则此图为所求； （2）解：，证明如下： 平分，， ． 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 又， ． 【变式3】（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： (1)画直线和直线，交点为点E； (2)连接，并延长到F，使； (3)在内部，画射线，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作直线，线段，角平分线，解题的关键是熟练掌握直线，线段以及作角平分线的方法． （1）根据直线的定义即可作图； （2）根据线段的定义即可作出线段，再延长，截取即可； （3）作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：直线和直线即为所求； （2）解：如上图，线段和点即为所求； （3）解：如上图，射线即为所求． 题型06 最短路径问题 【典例6】（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键． 作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，此时最小． 【详解】解：∵点P，Q在直线l的同侧， ∴作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M， 由对称性可知， 此时，最小， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题考查的是轴对称的性质和正方形的性质，根据题意作出对称后的图形是解题的关键．作M关于的对称点E，结合正方形性质确定其为的中点，当E、P、N三点共线时，的值最小值． 【详解】解：作M关于的对称点E，连接， 又∵四边形为正方形， ∴，点E为的中点， ∵， ∴当E、P、N三点共线时，最短， ∵N是中点，点E为的中点， ∴． ∴的最小值为4． 故答案为：4． 【变式3】（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 题型07 轴对称的综合--线段问题 【典例7】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线． 作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点． 将转化为求线段的长度；再利用三角形面积公式求出边上的高，进而得到的最小值． 【详解】解：作，交于点E， ∴为到的垂线段，即高，是的最小值， 作点E关于的对称点，关于的对称点． ∴，，则． 当M，N与C重合时，， ，， 路径 ∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度． ， ∴，即、C、共线， 故． 面积， 又，即， 解得．   ∴，即的最小值为． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，对于直线上任一点，有，则，当、、共线时取最小值，则连接交CD于点即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求． 题型08 轴对称的综合--面积问题 【典例8】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·上海·单元复习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据对称点到对称轴的距离相等且与对称轴垂直，确定对称轴点，后依次连接得到图形即可． （2）利用梯形的面积公式计算即可． 本题考查了轴对称图形的基本作图，图形的面积计算，熟练掌握轴对称基本作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据轴对称的基本作图，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得四边形的面积为． 【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)计算出的面积__________； (2)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)3 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）利用割补法即可得出答案； （2）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）； 故答案为：3 （2）如图，根据题意，可得： 点 、、 关于直线 对称的点分别为点 、、 ， 连接 、、，则 即为所作；    （3）如图， 连接 交直线 于点 ， 连接 ， ∵点 和点 关于直线 对称， ∴直线 垂直平分 ， ∴， ∴， 这时 的长最短， ∴点 即为所求；    【点睛】本题考查作图-轴对称变换， 轴对称-最短路线；解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积． 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列中国传统纹样的图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选： 2．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】解:由作法得，，而为公共边， 所以． 所以． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 4．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 5．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【点睛】充分利用等腰三角形三线合一的性质和垂线段最短是解题的关键． 二、填空题 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】注意掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 7．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、， ∵是角平分线， ∴， 设， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∵是中的中线， ∴． 故答案为：8． 8．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，，则为______度． 【答案】55 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算． 由作图可知是的垂直平分线，故以G为圆心、为半径画弧得从而利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为；根据及得出的度数，进而计算出的度数，即可作答． 【详解】解：由题意得到：垂直平分， ∴，又由作图知， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为： 10．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 【答案】 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、中线的定义、角平分线的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）通过倍长中线法（延长到，使）构造全等三角形，将、和转化到同一个三角形中，再利用三边关系求出的范围，进而得到的范围． （2）利用中线定义，结合的周长，通过等量代换计算的周长． （3）利用角平分线的性质得到点到的距离，再分别计算两个小三角形的面积并求和． 【详解】（1）解：在中∵，，． ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是的角平分线，点到边的距离为， ∴点到边的距离也为， ∵，，， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 14．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 15．（25-26七年级下·江苏连云港·月考）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：的角平分线如图所示， （2）解：的垂直平分线如图所示， （3）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $