专题2.3 平行线的判定（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.3平行线的判定 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点：同位角、内错角、同旁内角的概念 知识点2：平行公理及推论 知识清单 知识点3：平行线的判定方法 题型01同位角、内错角、同旁内角的辨别 题型02平行公理及推论应用 平行线的判定 题型03同位角相等，两直线平行 题型04内错角相等，两直线平行 题型精讲 题型05同旁内角互补，两直线平行 题型06添加一条件使两直线平行 题型07垂直于同一条直线的两条直线平行 题型08平行线的判定去判断两线的位置关系 强化训练 教学目标、教学重难点 1.探索并掌握平行线的三个基本判定方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 2.能根据已知条件，正确选择判定方法，并运用规范的语言和符号进行推理，证明两 教学目标 直线平行。 3.通过画图、测量、推理等活动，发展几何直观与逻辑推理能力，体会转化思想。 重点： 1.平行线三个判定定理的理解、记忆与直接应用，能根据图形准确识别三类角。 教学重难点 2.运用判定定理进行简单的几何推理证明，做到言必有据，格式规范。 教学难点： 1/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.在复杂图形中准确识别出判定两直线平行所需的同位角、内错角或同旁内角。 2.理解判定定理与后续性质定理的区别，并能在综合问题中正确选择和使用。 知识清单 ☑知识点1：同位角、内错角、同旁内角的概念 填空：(I)如图，∠1和∠5，分别在直线AB,CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）具有这种位 置关系的一对角是同位角。 (2)如图，∠3和∠5，在直线AB,CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角. (3)如图，∠3和∠6，在直线AB,CD之回，在直线EF的同侧具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. 【即学即练】1.(24-25七年级下·广西崇左月考)如图，下列结论正确的是（) D 3 6 B F A.∠5与∠2是同位角 B.∠1与∠6是内错角 C.∠3与∠4是同旁内角 D.∠6与∠2是同旁内角 ☑知识点2：平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a,c∥a,那么b∥c 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性. (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线 【即学即练】2.(25-26七年级上·浙江·假期作业)己知☑，b,c是同一平面内的三条直线，下列说法正 确的是() A.若a⊥b,b∥c,则a∥c B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c 2/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.若a∥b,b⊥c,则a∥c D.若a∥b,b∥c,则a∥c ☑知识点3：平行线的判定方法 平行线的判定方法1： ()文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角 相篷，两直线平行 (2)几何语言： 4 B C 58 6 D ,∠1=∠5（或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7， ∴.AB//CD 平行线的判定方法2： ()文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简单说成：内错角 相篷，两直线平行. (2)几何语言： .∠2=∠8（或者∠3=∠5）， ∴.AB∥CD. 平行线的判定方法3： ()文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内 角互补，两直线平行. (2)几何语言： ,∠2+∠5=180°（或者∠3+∠8=180°）， .AB∥CD. 平行线的其他判定方法： (1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【总结】判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线. 方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 方法三：同位角相等，两直线平行 方法四：内错角相等，两直线平行. 方法五：同旁内角互补，两直线平行. 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【即学即练】3.(24-25七年级下·湖北孝感期末)如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断 AB∥CD的是() D C 3 4 B E A.∠1=∠2 B.∠1=∠4 C.∠2=∠4 D.∠1+∠3=180 4.(24-25七年级下山东德州期中)己知：如图，CE平分∠ACD,∠1=∠2，求证：AB∥CD A E B D 证明： :CE平分LACD ), L =∠ :∠1=∠2（已知）； ∠1=∠ :AB∥CD( 5.(24-25七年级下·贵州黔东南期中)如图①，直线AB,CD相交于点O,OA平分∠E0C,且 ∠E0C:∠E0D=2:3. E E D A A G ① ② (1)求∠BOD的度数； (2)如图②，点F在0C上，直线GH经过点F,FM平分∠OFG,且LMFH-LB0D=90°，求证： OE∥GH. 题型精讲 4/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例1】(25-26七年级下，全国课后作业)下列图形中，∠1与∠2是内错角的是() 【变式1】(25-26七年级下.全国单元测试)几何直观下列图形中，∠1与∠2是同位角的是() 直复 【变式2】(24-25七年级下山西阳泉·期末)如图，直线a,b被直线c所截，则下列说法正确的是() 17 4人2 6 A.∠1与∠2是同旁内角 B.∠3与∠4是内错角 C.∠1与∠5是同位角 D.∠2与∠5互补 【变式3】(24-25七年级下·四川泸州月考)如图所示，下列说法：①1与∠3是同位角：②∠1与∠2是同 旁内角；③∠3与∠2是内错角；④∠1与∠2是内错角；⑤∠4与∠2是同位角，其中正确的有() 12 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02平行公理及推论应用 【典例2】(24-25七年级上·全国·课后作业)平行线的基本事实：过 与这条直线平行. 【变式1】(24-25七年级上全国课后作业)有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只 有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行：④在同一平面内， 不相交的两条射线必平行.其中，正确的有个 【变式2】(24-25七年级上.全国课后作业)下列说法：①在同一平面内，若直线a∥b,b∥c,则a∥c; ②在同一平面内，若直线a∥b,直线a与c相交，则直线b与c相交；③若直线a与直线b相交，直线b与 5/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直线c相交，则直线Q与直线c相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的 是 (填序号) 题型03同位角相等，两直线平行 【典例3】(24-25七年级下山西朔州·期中)问题：如图，AB与CD相交于点O,OA平分∠E0D, LB=∠COB,请说明BC和OE的位置关系. 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程， D 解：BC∥OE.理由如下： :OA平分∠E0D, ∴.∠AOE= :AB与CD相交于点O, .∠COB=∠A0D( ∠COB= (等量代换). ∠B=∠COB, ∴∠B= .BC∥OE( 【变式1】(2026七年级下·全国.专题练习)完成下面的推理过程， 如图，已知AB⊥BC,垂足为B,∠1+∠2=90°，∠2=∠3，试说明：BE∥DF. E 2 A 3 41 F 解：：AB⊥BC, .∠ABC= 即∠3+∠4= :∠1+∠2=90°，且∠2=∠3， .∠1+∠3=90°， 6/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠1=∠ BE∥DF( 【变式2】(25-26七年级上山西长治期末)如图，直线AB,CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点， GH⊥CD,垂足为点H.若∠2=35°，∠1=55°，直线AB与CD平行吗？ E F G 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）. 解：GH⊥CD（已知)， .∠CHG=90°（垂直的定义）， 又：∠2=35°（已知）， .∠3=∠CHG-∠ 。(等式的性质). .∠4=∠ 又：∠1=55°（已知）， .∠4=∠1( .AB∥CD(). 【变式3】(25-26七年级上·全国课后作业)如图，AF与BD相交于点C,∠B=LACB,CD平分∠ECF.试 说明：AB∥CE. E D F 请你在横线上补充其推理过程或理由. 解：CD平分∠ECF, 所以∠ECD= ∠ACB=∠DCF(理由 ), 所以LECD=」 (等式性质)， LB=∠ACB, 所以∠B=」 (等量代换)， 所以ABII CE( 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型04内错角相等，两直线平行 【典例4】(25-26七年级上·上海浦东新期末)如图，己知AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2，求证： BE∥CF.请完成下列证明过程： A B C2—D 证明：：AB⊥BC,BC⊥CD(已知) LABC=LBCD=_。() 又：∠1=∠2（已知） ·.LABC-∠1=_一-（等式的性质） 即LEBC=- ·-∥-（内错角相等，两直线平行） 【变式1】(24-25七年级下·广东江门月考)完成下面的证明. 如图，AB⊥BC,DC⊥BC,BE,CF分别平分∠ABC和LBCD,求证BE∥CF. A B C 证明：AB⊥BC,DC⊥BC, .∠ABC=∠BCD=90°( :BE,CF分别平分∠ABC和LBCD, ∠EBC=S∠ABC,∠BCFS 又：∠ABC=LBCD, :∠EBC= :BEI CF 【变式2】(24-25七年级下，湖北武汉·月考)完成下面的推理填空： 如图，BD⊥AC于点D,FG⊥AC于点G,且∠I+∠2=180°，试说明：DE∥BC. 解：：BD⊥AC,FG⊥AC(已知)， .∠BDC=∠FGC=90°( .BD / ∠2+ =180°( 又.∠1+∠2=180°（已知）， 8/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠1= .DE∥BC( B 【变式3】(2425七年级上湖北恩施·期末)补全下列推理过程：已知：如图，CE平分 ∠BCD,∠1=∠2=70°，L3=40°，求证：AB∥CD. E A 3 4 D C 证明：：CE平分∠BCD( .∠1= :∠1=∠2=70°（已知） ∠1=∠2=∠4=70°( .AD∥BC( .∠D=180° =180°-∠1-∠4=40° :∠3=40°（已知） =∠3 AB∥CD 题型05同旁内角互补，两直线平行 【典例5】(24-25七年级上江苏苏州期末)填空：如图， 2 D (1)因为∠1=∠2， 所以∥() (2)因为∠2=， 所以AD∥BE（). (3)因为∠1+∠B=180°， 9/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以(). 【变式1】(24-25七年级下.甘肃武威期中)几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线AB、CD、EF被直线GH所截，∠1=120°，∠2=60°，∠3=120°，试 说明AB∥CD. B D 证明：：∠1=120°，∠3=120°（已知） ∠1=∠3( ) ·()∥()( ) 又：∠2=60°，∠3=120°（己知） :()+()=( ) ·()∥()( .AB CD 【变式2】(2425七年级下·广东广州月考)如图所示： D :∠1=65°，∠2=65°（已知）， 2 B .∠1=∠2 :AB、DE相交， ∠1=∠4( :∠4=∠1=65°（等量代换）， :∠3=115°（已知)， .∠3+∠4=180°. 【变式3】(24-25七年级下·广东江门月考)完成下面的证明： 如图，BE平分∠ABD,DE平分LBDC,且∠a+∠B=90°，求证AB∥CD. 10/18 专题2.3 平行线的判定 教学目标 1. 探索并掌握平行线的三个基本判定方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 2. 能根据已知条件，正确选择判定方法，并运用规范的语言和符号进行推理，证明两直线平行。 3. 通过画图、测量、推理等活动，发展几何直观与逻辑推理能力，体会转化思想。 教学重难点 重点： 1. 平行线三个判定定理的理解、记忆与直接应用，能根据图形准确识别三类角。 2. 运用判定定理进行简单的几何推理证明，做到言必有据，格式规范。 教学难点： 1. 在复杂图形中准确识别出判定两直线平行所需的同位角、内错角或同旁内角。 2. 理解判定定理与后续性质定理的区别，并能在综合问题中正确选择和使用。 知识点1：同位角、内错角、同旁内角的概念 填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角. (2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角. (3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. 【即学即练】1．（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，下列结论正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同位角，该结论错误，故选项不符合题意； B、与不是内错角，该结论错误，故选项不符合题意； C、与不是同旁内角，该结论错误，故选项不符合题意； D、与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意； 故选：． 知识点2：平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性. (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线. 【即学即练】2．（25-26七年级上·浙江·假期作业）已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；据此逐个判断得结论． 【详解】解：A：若，，则，故该说法错误，不符合题意； B：若，，则，故该说法错误，不符合题意； C：若，，则，故该说法错误，不符合题意； D：若，，则，故该说法正确，符合题意， 故选：D． 知识点3：平行线的判定方法 平行线的判定方法1： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角 相等，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)， ∴AB∥CD. 平行线的判定方法2： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角 相等，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)， ∴AB∥CD. 平行线的判定方法3： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内 角互补，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)， ∴AB∥CD. 平行线的其他判定方法： (1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行. (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【总结】判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线. 方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 方法三：同位角相等，两直线平行. 方法四：内错角相等，两直线平行. 方法五：同旁内角互补，两直线平行. 方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【即学即练】3．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，逐个即可判断． 【详解】解：A、两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定，故A不符合题意； B、由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故B不符合题意； C、由内错角相等，两直线平行判定，故C符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行判定，不能判定，故D不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知：如图，平分．求证： 证明： 平分（___________）， ______________________（___________）． ； ___________（___________）． （___________）． 【答案】已知；；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义可得，根据已知，等量代换可得，进而根据内错角相等两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∵（已知）； ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 5．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图①，直线，相交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)如图②，点F在上，直线经过点F，平分，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线定义、角的互余关系等知识，解题的关键是∶ （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据对顶角相等解答． （2）由已知条件和对顶角相等得出，根据邻补角定义求出，根据角平分线定义求出，则可证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， 又， ∴， ∴． 题型01 同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·全国·单元测试）几何直观 下列图形中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的定义和运用．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答． 【详解】解：A、与不是同位角，故该选项不符合题意； B、与不是同位角，故该选项不符合题意； C、与不是同位角，故该选项不符合题意； D、根据同位角的定义可知D选项中与在直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角． 故选：D 【变式2】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【答案】C 【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断． 【详解】解：A、与是内错角，说法错误； B、与不是内错角，说法错误； C、与是同位角，说法正确； D、与是对顶角不一定互补，说法错误； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：与是同位角，此选项正确； 与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误； 与是内错角，此选项正确； 与是内错角，此选项正确； 与是同位角，此选项正确； 故正确的有个． 故选：． 题型02 平行公理及推论应用 【典例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）平行线的基本事实：过 与这条直线平行． 【答案】直线外一点有且只有一条直线 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的基本事实，根据平行线的基本事实解答即可，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：直线外一点有且只有一条直线． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 题型03 同位角相等，两直线平行 【典例3】（24-25七年级下·山西朔州·期中）问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 【答案】；角平分线的定义；对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义和对顶角的性质，先由角平分线的定义和对顶角相等证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】解：．理由如下： ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵与相交于点， ∴（对顶角相等）． ∴（等量代换）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 【变式2】（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知）， ∴－∠______＝______（等式的性质）． ∴∠______＝______（______）． 又（已知）， （______）． （______）． 【答案】2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据等式的性质得到，根据对顶角相等得到，进而得到，再根据平行线的判定方法进行解答即可． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， （等式的性质）， （对顶角相等）， 又（已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 【答案】 角平分线的定义 对顶角相等 同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角相等．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】解：平分， 所以（角平分线的定义）， （对顶角相等）， 所以（等式性质）， ， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等两直线平行）． 故答案为：，角平分线的定义，对顶角相等，，，同位角相等两直线平行． 题型04 内错角相等，两直线平行 【典例4】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 【变式1】（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴，（角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）完成下面的推理填空： 如图，于点，于点，且，试说明：． 解：（已知）， （___________）， ___________（___________）， ___________（___________）． 又（已知）， ___________（___________）， （___________） 【答案】垂直的定义，，同位角相等，两直线平行，，两直线平行，同旁内角互补，，同角的补角相等，内错角相等，两直线平行； 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，根据垂直的定义和平行线的判定和性质解答即可． 【详解】解： （已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行） 【变式3】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）补全下列推理过程：已知：如图，CE平分，求证：． 证明：平分（___________） ___________（___________） （已知） （___________） （___________） ___________ （已知） ___________ （___________） 【答案】已知；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据角平分线的定义得，进而得到，根据平行线的判定定理得，再根据平行线的性质得，进而得到，据此可得． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行． 题型05 同旁内角互补，两直线平行 【典例5】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 【答案】(1)；；内错角相等，两直线平行 (2)；同位角相等，两直线平行 (3)；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可； （3）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行； （2）解：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行； （3）解：因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线被直线所截，，，，试说明． 证明：，（已知） （              ） （      ）（      ）（                              ） 又，（已知） （      ）（      ）（             ） （      ）（      ）（                               ） （                          ） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与传递性，熟练掌握平行线的判定是解题的关键，由可得，再由可得，最后利用平行线的传递性即可求解． 【详解】证明：，（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 又，（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （平行线的传递性） 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·月考）如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 【答案】等量代换；；；同位角相等，两直线平行； 对顶角相等； ；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】，（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 、相交， （对顶角相等）， （等量代换）， （已知）， ． （同旁内角互补，两直线平行）． 【变式3】（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 题型06 添加一条件使两直线平行 【典例6】（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 【详解】解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理添加条件，即可求解． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为：或或或．（答案不唯一） 题型07 垂直于同一条直线的两条直线平行 【典例7】（24-25七年级下·广东河源·期中）如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得到，再根据平行于同一直线的两直线平行可得． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 【变式2】（24-25七年级下·河南商丘·月考）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴与的位置关系是平行 （平行于同一条直线的两直线平行） 故答案：90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 题型08 平行线的判定去判断两线的位置关系 【典例8】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键， （1）根据角平分线的定义结合平角定义得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ， ； （2）证明：平分平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 【答案】(1)；，见解析 (2)或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度运算，平行线的判定，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用四边形内角和为360度以及进行列式化简，再把数值代入，进行计算，即可作答． 运用角平分线的定义，得出，，再由得，则，故，即可作答． （2）结合当点在射线上运动，直线、相交于点，进行分类讨论，且逐个情况作图，运用角的和差关系进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：如图中， 在四边形中，， ∵， ， ，， ∴， 则 ． ，理由如下： 如图中，连接． 平分，平分． ，， 由得 ， 则， ， ． （2）解：依题意，设，． 如图中，则有， 则，， 则， ， 如图中， 依题意，， ， ， ， 如图中， 依题意，，， 两式相加可得， ， 综上所述，或或 一、单选题 1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角，关键是掌握同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是内错角，说法正确，不符合题意； B、和是同位角，说法正确，不符合题意； C、和互为邻补角，不是同旁内角，说法错误，符合题意； D、和是邻补角，说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、平行线的判定与性质、对顶角等概念，需根据各个概念逐项判断正误即可． 【详解】①∵当时，，∴①错误； ②∵垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（需在同一平面内），∴②错误； ③∵若，，则（平行线的传递性），当b、c不重合时成立，∴③正确； ④∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴④错误； ⑤∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但“过一点”未指定点是否在直线上，∴⑤错误； ⑥∵两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，∴⑥错误； 综上，只有③正确，共1个； 故选A． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，某时刻雨刮器的位置如图①所示，其示意图如图②所示，，此时的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，理解平行线的判定定理是解答关键． 根据同旁内角互补，两直线平行来求解． 【详解】解：， ， 依据是同旁内角互补，两直线平行． 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：①：既不是同位角，也不是内错角，不能判断，故①错误； ②：同位角相等，两直线平行，能判定直线线，故②正确； ③：邻补角互补，不能判定直线线，故③错误； ④：内错角相等，两直线平行，能判定直线线，故④正确； ⑤：同旁内角互补，两直线平行，能判定直线线，故⑤正确． 综上，②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵与不是同位角，也不是内错角，∴无法证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴，无法证明，也无法证明，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，∴，故该选项符合题意； 故选：D 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是 （填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①不符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④不符合题意； ，， ， ，故⑤符合题意． 综上所述，能判定的是③⑤． 故答案为：③⑤． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 10．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当 时，． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 如图①，当时，；如图②，当时，，得出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，当时，； 如图②，当时，， ∵， ∴， 即当时，， ∴当的度数为或时，， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，则吗？为什么？ 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意先证明，结合，得出，即可求解． 【详解】解：．理由如下： 因为，， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）补全下列过程： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， _______（_____________________________________）． （已知）， ________（________）， （_____________________________）． 【答案】D  两直线平行，同旁内角互补  D  等量代换  同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及同旁内角互补定理，熟练掌握平行线相关的定理是解题的关键； 通过已知条件推导出结论即可. 【详解】解：根据“两直线平行，同旁内角互补”可知 与互补的是； 所用到的定理即两直线平行，同旁内角互补； 通过可得： ， 利用的是等量代换； 最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出； 所以答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；D；等量代换；同旁内角互补，两直线平行. 14．（24-25七年级上·四川乐山·期末）填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，        ． 又       ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (       ) 【答案】；同位角相等，两直线平行；已知；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，根据题意得出，根据同位角相等，两直线平行即可证明；再证明，同理证明． 【详解】解：，已知， 等量代换， ． 又， ， 等式的性质． 同理可得． 等量代换， (同位角相等，两直线平行) ． 15．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 16．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）依据，即可得到的度数，即可求解； （2）依据，即可得到的度数，即可得证； （3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 （2）证明：， 。 （3）分两种情况： ①如图1所示，当时，，所以， ②如图2所示，当时，，所以， 综上所述，的度数等于或时，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $