高中数学单元测试——第七章随机变量及其分布（较易版02）

高中数学单元测试 —— 第七章 随机变量及其分布（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（    ） A．2枚都是4点 B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点 D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 3．（本题5分）设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（     ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 7．（本题5分）某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（   ） A．0.12 B．0.2 C．0.25 D．0.32 8．（本题5分）某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（本题6分）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量满足，若，则__________. 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 四、解答题 15．（本题13分）现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. X 0 1 2 3 4 5 P 16．（本题15分）设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率. P 0 1 2 3 4 5 X 17．（本题15分）某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 18．（本题17分）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 19．（本题17分）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 0 1 2 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 随机变量及其分布（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点分布的性质及已知条件即可求解. 【详解】由两点分布的性质可知，， 又，所以. 故选：C. 2．（本题5分）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（    ） A．2枚都是4点 B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点 D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 【答案】D 【分析】由随机变量的意义可解. 【详解】A表示的是随机试验中的其中一个结果， B，C中表示的是随机试验中的部分结果， 而D是代表随机试验中的所有试验结果. 故选：D. 3．（本题5分）设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案. 【详解】由题意知，解得. 故选：B. 4．（本题5分）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率算式表示的意义判断即可. 【详解】因为表示从20件产品中任意选取4件的选法， 表示选取的4件产品中有3件次品，1件正品的选法 表示选取的4件产品全是次品的选法. 所以 故选:D. 5．（本题5分）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 6．（本题5分）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 【答案】A 【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 7．（本题5分）某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（   ） A．0.12 B．0.2 C．0.25 D．0.32 【答案】C 【分析】利用条件概率计算公式以及独立事件的乘法公式可求解. 【详解】设事件：恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖，即甲奖券中奖1次且乙奖券中奖1次或甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖， 事件：恰好中奖2次且均为甲奖券，即甲奖券中奖2次，乙奖券不中奖， 则，， 又由, 所以所求概率为． 故选： C． 8．（本题5分）某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据不同的投篮次数，计算甲继续投篮最终得分不低于7分的概率，并比较大小即可得解. 【详解】因为甲先投篮6次均投中，即已得6分，接下来的4次投篮，若要使最终得分不低于7分，则至少得1分，甲继续投篮最终得分不低于7分的情况如下： ①仅投篮1次并投中：， ②投篮2次均投中：， ③投篮3次均投中或仅投中2次：， ④投篮4次均投中或仅投中3次：， 显然甲同学继续投篮3次，得分不低于7分的概率最大. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的概率公式以及概率的性质结合条件概率公式的变形，分别判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，, 而不一定相等，故不一定成立，故A错误； 对于B，因为概率的取值范围为， 所以任何事件的概率都不可能大于1，故错误，B错误； 对于C，由于，故，C正确； 对于D，, 而不一定等于，故D错误， 故选：ABD 10．（本题6分）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得，结合期望与方差的性质，分别求得的值，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 11．（本题6分）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【答案】BCD 【分析】由题意可得，根据正态分布的特征逐一判断即可. 【详解】解：由题意可得， 对于A，因为正态分布求得是随机变量在某一区域内的概率（在某一处的概率约为0）， 所以接近于0，或或，故A错误； 对于B，因为服从正态分布，所以关于对称， 所以，故B正确； 对于C，因为，即零件长度在内的是正常的，否则就为不是正常零件，所以C正确； 对于D，由C的分析，可知，所以需要对生产线进行检修，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量满足，若，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式及方差性质计算即得. 【详解】由，得，由，得， 所以. 故答案为：8 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 【答案】3 【分析】根据态分布的性质分析求解. 【详解】因为，所以． 又因为，则，所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 【答案】/ 【分析】确定的可能取值，求得相应概率，由期望定义即可求解. 【详解】由题意，2，5，8模3同余，3，6，9模3同余，则取球次数的可能取值为3，4，5， ， ，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可； （2）由古典概型概率公式求得概率，再结合期望公式求解即可； 【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值， 连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能， 其中可能情况有6种， 故． 其中可能情况有10种，， 故． （2）由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5， 的情况有，8种， 的情况有，6种， 的情况有，4种， 的情况有，2种， 所以， ， 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P 故． 16．（本题15分）设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率. 【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）. 【分析】（1）由题意可得，然后利用二项分布的概率公式求对应的概率，从而可列出分布列， （2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为，由题意可知，且，再利用相互独立事件的概率公式求解即可 【详解】解：（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为， 所以， 从而，， 所以，随机变量的分布列为： P 0 1 2 3 4 5 X 所以； （2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为，则， 且事件， 由题意知，事件之间互斥， 且与相互独立， 由（1）可得. 17．（本题15分）某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 【答案】(1)0.86 (2) 【分析】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，根据全概率公式求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可． 【详解】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件， 由题可知，， 则． （2）． 18．（本题17分）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 19．（本题17分）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)万元 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $