高中数学单元测试——第七章随机变量及其分布（较难版01）

高中数学单元测试 —— 第七章 随机变量及其分布（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数 C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数 3．（本题5分）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 4．（本题5分）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（     ） A． B． C． D． 5．（本题5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（    ）    A． B． C． D． 6．（本题5分）已知随机变量，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 8．（本题5分）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．（本题6分）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则_____． 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 14．（本题5分）一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则________． 四、解答题 15．（本题13分）某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. (1)求该顾客至少中奖1次的概率； (2)设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 16．（本题15分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 0 1 2 3 17．（本题15分）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 18．（本题17分）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 19．（本题17分）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 随机变量及其分布（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点分布的性质及已知条件即可求解. 【详解】由两点分布的性质可知，， 又，所以. 故选：C. 2．（本题5分）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数 C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数 【答案】B 【分析】根据随机变量的定义即可求解. 【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个为确定值，ACD错误； 故选：B． 3．（本题5分）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分布列概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可得解得． 故选：C. 4．（本题5分）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率算式表示的意义判断即可. 【详解】因为表示从20件产品中任意选取4件的选法， 表示选取的4件产品中有3件次品，1件正品的选法 表示选取的4件产品全是次品的选法. 所以 故选:D. 5．（本题5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知向左移动3次，向右移动2次，结合独立充分性实验的概率公式运算求解. 【详解】若移动5次质点位于的位置，则向左移动3次，向右移动2次， 所以质点位于的位置的概率为. 故选：B. 6．（本题5分）已知随机变量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布期望和方差的公式求解即可. 【详解】随机变量， 由得：，解得． 故选：D 7．（本题5分）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 8．（本题5分）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，确定，即可表示出，列不等式组求最大时k的值，即可得答案. 【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中， 时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得， 又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5， 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 10．（本题6分）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分布列的性质、数学期望公式、方差公式计算可得答案. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质知，故A正确； 由知，，，， 均值，C正确； 方差，故B错误，D正确． 故选：ACD. 11．（本题6分）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【分析】由题设可知：随机变量，即可判断AB；根据题中数据结合正态分布的性质求，，即可得判断CD. 【详解】由题设可知：，则随机变量， 所以随机变量的标准差为，故A错误， B正确； 因为 ，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（本题5分）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则_____． 【答案】3.6 【分析】判断出随机变量服从二项分布，利用二项分布的方差公式求出，再由方差性质公式即可计算求出. 【详解】设这10人中持满意态度的人数为，则由题意可知， 则， 已知随机变量，所以. 故答案为： 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 【答案】0.5/ 【分析】根据正态分布的性质，即正态分布曲线关于均值对称，结合已知条件求出的值. 【详解】已知随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称. 因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与关于对称轴对称. 已知3.5与关于对称，所以，可得：， 移项可得：. 故答案为：0.5. 14．（本题5分）一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则________． 【答案】 【分析】列出的可能取值，根据全概率公式求解对应概率后计算可得. 【详解】设“第1次取出的球为红球”为事件，则，，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. (1)求该顾客至少中奖1次的概率； (2)设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为1.3 【分析】（1）“至少中奖1次”的对立事件为“没有一次中奖”，根据对立事件的概率关系求解； （2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解. 【详解】（1）设事件为“至少中奖1次”，则事件为“没有一次中奖”. 则. （2）由题可得的取值为， ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 16．（本题15分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）利用独立重复试验的概率计算公式即可求解. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率计算公式，列出分布列，由分布列即可求出期望. 【详解】（1）设“乙在前3次投篮中，恰好投进2个球”为事件， 则. 答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为. （2）的所有可能取值为0，1，2，3. 设前3轮投篮中，甲进球个数为，乙进球个数为， 则，的取值均为0，1，2，3， ， ， ， . 所以， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 17．（本题15分）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得， 所以取到红球的概率为. （2）由条件概率知：， ， ， 因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 18．（本题17分）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)人 【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果； （2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 19．（本题17分）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 【答案】(1)的分布列见解析； (2) (3)应该选择方案一 【分析】（1）利用分层抽样的知识求出抽取的10件产品中一等品和非一等品的数量，求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，求出数学期望. （2）由题意得出抽到四等品的数量，即可求解. （3）计算方案二的产品的平均售价，与方案一的产品的售价进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 . （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，则， ∴. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $