高中数学单元测试——第七章随机变量及其分布（较难版02）

高中数学单元测试 —— 第七章 随机变量及其分布（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点分布的性质及已知条件即可求解. 【详解】由两点分布的性质可知，， 又，所以. 故选：C. 2．（本题5分）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数 C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数 【答案】B 【分析】根据随机变量的定义即可求解. 【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个为确定值，ACD错误； 故选：B． 3．（本题5分）以下是某离散型随机变量的分布列，则实数（   ） 0 1 A． B． C．或 D．1 【答案】C 【分析】根据分布列的性质进行求解即可. 【详解】根据分布列的性质可知：，或， 故选：C 4．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，. 故选：B 5．（本题5分）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出每次取到次品的概率，再利用独立重复试验的概率公式列式计算. 【详解】依题意，每次取1件，取到次品的概率， 所以. 故选：B 6．（本题5分）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 【答案】A 【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 7．（本题5分）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式求解判断AC；利用概率的基本性质及概率加法公式求解判断BD. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 10．（本题6分）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，求出，再依次判断选项即可． 【详解】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 11．（本题6分）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【分析】由题设可知：随机变量，即可判断AB；根据题中数据结合正态分布的性质求，，即可得判断CD. 【详解】由题设可知：，则随机变量， 所以随机变量的标准差为，故A错误， B正确； 因为 ，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（本题5分）已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则__________. 【答案】 【分析】设命中的次数为，则，，根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得. 【详解】设命中的次数为，则，所以， 又，所以. 故答案为： 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 【答案】3 【分析】根据态分布的性质分析求解. 【详解】因为，所以． 又因为，则，所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，则随机变量X 的数学期望为 ______________. 【答案】 【分析】先确定随机变量的取值，再计算概率，从而就可以列出分布列，最后运用数学期望的公式求期望. 【详解】随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，则： ， ， ， . 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可； （2）由古典概型概率公式求得概率，再结合期望公式求解即可； 【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值， 连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能， 其中可能情况有6种， 故． 其中可能情况有10种，， 故． （2）由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5， 的情况有，8种， 的情况有，6种， 的情况有，4种， 的情况有，2种， 所以， ， 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P 故． 16．（本题15分）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2 【分析】（1）先求解每个坑要补种的概率，进而求每个坑不需要补种的概率即可； （2）由题意知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且，再利用二项分布的概率公式可求出各自对应的概率，从而可得分布列． 【详解】（1）由题意可知每个坑要补种的概率， 则每个坑不需要补种的概率为． （2）易知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且， 因此， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 17．（本题15分）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解； （2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解； （3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和． 【详解】（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜， 由全概率公式得． （2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜： 乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为， 甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为， ， 甲胜的概率为． （3）时，甲胜的概率为； 时，甲胜的概率为； 时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为； 时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”， 概率为， 甲胜的概率为． 18．（本题17分）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）由正态分布概念可确定，； （2）注意到，由题利用可得答案； （3）由，结合题意可得答案. 【详解】（1）, 则，； （2）， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； （3）， 因，， 则， ， 则. 19．（本题17分）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 【答案】(1)的分布列见解析； (2) (3)应该选择方案一 【分析】（1）利用分层抽样的知识求出抽取的10件产品中一等品和非一等品的数量，求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，求出数学期望. （2）由题意得出抽到四等品的数量，即可求解. （3）计算方案二的产品的平均售价，与方案一的产品的售价进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 . （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，则， ∴. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 随机变量及其分布（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数 C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数 3．（本题5分）以下是某离散型随机变量的分布列，则实数（   ） 0 1 A． B． C．或 D．1 4．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 7．（本题5分）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 二、多选题 9．（本题6分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 10．（本题6分）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 11．（本题6分）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则__________. 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 14．（本题5分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，则随机变量X 的数学期望为 ______________. 四、解答题 15．（本题13分）现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. X 0 1 2 3 4 5 P 16．（本题15分）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 17．（本题15分）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 18．（本题17分）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 19．（本题17分）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $