高中数学单元测试——第六章计数原理（较难版01）

高中数学单元测试 —— 第六章计数原理（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）． 故选：C． 3．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义和排列数公式判断即可. 【详解】， 故选：B. 4．（本题5分）从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 【答案】C 【分析】根据题设千位可选7,8，个位可选1,5,7，其它两个数在余下的数字任选2个，应用分类分步计数原理及排列数求四位数的个数. 【详解】因为组成的四位数大于7000，所以千位上的数字只能是7或8． 因为组成的四位数是奇数，所以个位上的数字只能是1，5或7． 若千位上的数字是7，则个位上的数字只能是1或5， 故符合题意的四位数有； 若千位数字是8，则个位上的数字是1，5成7，故符合题意的四位数有（个）． 综上，符合题意的四位数共有（个）． 故选：C． 5．（本题5分）在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（   ）个平面 A．56 B．70 C．210 D．336 【答案】A 【分析】应用组合数求可作的平面数即可. 【详解】由题意不可能出现3点共线的情况，所以一共可以作个平面. 故选：A 6．（本题5分）的展开式中含有项的系数为（    ） A．10 B．-10 C．20 D．-20 【答案】B 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得展开式中含项的系数 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，所以， 故的展开式中含有项的系数为-10. 故选：B 7．（本题5分）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记校名选手分别为甲、乙，记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，结合韦恩图法可求出满足题设条件的排法种数. 【详解】记校名选手分别为甲、乙， 记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示： 事件为：校选手的两边为甲和乙， 则满足题意的排法种数为 种. 故选：B. 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下面问题中，不是排列问题的是（    ） A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 【答案】BCD 【分析】根据排列的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，组成的三位数与数字的排列顺序有关，所以A是排列问题； 对于B，C，D中，只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，所以不是排列问题. 故选：BCD. 10．（本题6分）中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（    ） A．3人选择的作品均不同的方法总数为24 B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C．恰有1人选《红楼梦》的概率是 D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 【答案】ACD 【分析】先确定总情况数，再针对每个选项，用排列或分步计数算事件数，概率用事件数÷总数求解. 【详解】首先分析总情况：3人每人选4部作品中的一部，总方法数为种. 对于A选项，3人选择的作品均不同的方法总数为，故A选项正确. 对于B选项,恰有2人选同一部作品:先选重复的作品，再选这2人，最后第3人选剩下的3部之一，方法数为,故B选项错误. 对于C选项,恰有1人选《红楼梦》：先选这一人，另外2人从剩下3部中选，方法数为 ，概率为,故C选项正确. 对于D选项,小明已选择读《西游记》，其余两位同学每人有4种选择，总情况为种， “至少有一人选择读《西游记》”的对立事件是“两人都不选《西游记》”，方法数为， 所以概率为,故D选项正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法求解. 【详解】对于A：令得，A错误； 对于B：令得①， 令得②， ①+②得， 所以，B正确； 对于C：①-②得， 所以，C错误； 对于D：令得， 又，所以，D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（本题5分）计算：______． 【答案】7 【分析】利用组合数的性质化简计算即可. 【详解】 ， ，， ，． 故答案为：7. 13．（本题5分）在如图的7块区域中，用5种颜色填充，且相邻区域不同色，不同的染色方法有______种. 【答案】3660 【分析】先分区域同色和区域异色两种情况，再根据的颜色结合分步计数原理列式计算求解； 【详解】解法1：  若区域同色，则有种填色方法，此时有4种，有3种，有2种.由对称性可知，有3种，有2种，共有种. 若区域异色，则有种填色方法，有3种． 此时的颜色可再分两类，即同色时，有3种；异色时，有2种，有2种．与对称，共有种． 综上可得，，故不同的染色方法有3660种． 解法2 ：根据题意可得，故不同的染色方法有3660种． 故答案为：. 14．（本题5分）已知，则________． 【答案】 【分析】直接对二项式两边求导，再给x赋值可得结果. 【详解】对两边求导得, ， 再令，得. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据组合数公式得到方程，解得即可； （2）根据排列数公式得到不等式，解得，需注意且. 【详解】（1）因为，解得或（舍去）； （2）不等式， 即， 即，即，解得， 又，即且，所以或，故不等式的解集为. 16．（本题15分）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数的绝对值最大的项为第几项． 【答案】(1) (2)第4项． 【分析】（1）直接利用展开式的次幂得到展开式的项数，进一步求出二项式系数的最大项； （2）利用展开式求出系数的绝对值的最大项． 【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第6项， 所以． （2）（2）设第项的系数的绝对值最大， 故 整理得，，解得，所以． 故系数的绝对值最大的项为第4项． 17．（本题15分）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 【答案】（1）0.995；（2）星期三． 【分析】（1）由并作展开，结合精确数位即可得近似值； （2）由并作展开，判断除以7的余数，即可得. 【详解】（1）， 可以看出，及其后面的项在精确到0.001时都可以忽略， 所以近似值为． （2）因为， 显然，是一个除以7余2的数， 所以，如果今天是星期一，再过天是星期三． 18．（本题17分）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分个位是不是0讨论，结合古典概型概率计算公式求解. （2）先弄清能被9整除的数字组合，再求能被9整除的数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. （3）分情况讨论，先求比4510大的四位数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. 【详解】（1）组成的所有四位数共有（个）． 当这个四位数是偶数时： ①若个位数字是0，则有（个）； ②若个位数字不是0，则有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数为偶数的概率为． （2）能被9整除的数，其各个数位上的数字之和能被9整除. 数字组合为：，，，， 此时共有这样的四位数（个）． 故能组成被9整除的四位数的概率为． （3）对比4510大的四位数进行分类： ①当千位是4，百位是5时，有（个）； ②当千位是4，百位是6时，有（个）； ③当千位大于4时，有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数比4510大的概率为． 19．（本题17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 【答案】(1)256 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由杨辉三角的第八行结合组合数的性质求解即可； （2）由组合数公式证明即可； （3）由二项式定理结合组合数性质求解即可. 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 （2） ， （3）的展开式中，求含项的系数为 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第六章计数原理（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 3．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 5．（本题5分）在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（   ）个平面 A．56 B．70 C．210 D．336 6．（本题5分）的展开式中含有项的系数为（    ） A．10 B．-10 C．20 D．-20 7．（本题5分）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 二、多选题 9．（本题6分）下面问题中，不是排列问题的是（    ） A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 10．（本题6分）中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（    ） A．3人选择的作品均不同的方法总数为24 B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C．恰有1人选《红楼梦》的概率是 D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 11．（本题6分）若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）计算：______． 13．（本题5分）在如图的7块区域中，用5种颜色填充，且相邻区域不同色，不同的染色方法有______种. 14．（本题5分）已知，则________． 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中. 16．（本题15分）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数的绝对值最大的项为第几项． 17．（本题15分）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 18．（本题17分）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 19．（本题17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $