高中数学单元测试——第六章计数原理（适中版02）

高中数学单元测试 —— 第六章计数原理（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）． 故选：C． 3．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义和排列数公式判断即可. 【详解】， 故选：B. 4．（本题5分）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（    ）个 A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据个位数字是否为0，即可结合排列组合求解. 【详解】若0在个位，则有种情况， 若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，故有， 故总共有个， 故选：B 5．（本题5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【分析】计算出从七个点中任意选两个点的总条数，再减去四点共线重复的直线条数，可得结果. 【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有种， 其中四点中任意选两点只能作一条直线，有种重复， 所以所得直线的条数为种. 故选：C 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 7．（本题5分）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种． 【详解】首先排黄、蓝各2个，共4个小球， 相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种， 放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种， 综上，共有种． 故选：B． 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 10．（本题6分）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 【答案】BC 【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解． 【详解】对于A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； 对于B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 对于C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 对于D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 负责语文且B负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有种方法，最后1人去语文或数学有种方法，方法数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D错误. 故选：BC． 11．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为________. 【答案】52 【分析】用总的选法种数减去1位女生都不入选的选法种数，即可得至少1位女生入选的选法种数. 【详解】从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，总的选法种数为种， 1位女生都不入选，即4位男生中3位男生入选的选法种数为种， 因此至少1位女生入选的选法种数为种. 故答案为：52. 13．（本题5分）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 【答案】420 【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：420. 14．（本题5分）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【答案】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据组合数的性质可列方程，解方程即可； （2）根据组合数的性质与排列数公式解方程. 【详解】（1）由，即或，解得或； （2）由，即，即， 所以，化简可得，解得， 又，即，所以. 16．（本题15分）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 【答案】(1)-513 (2) 【分析】（1）直接由赋值法即可求解； （2）将问题转换为判断展开式的系数谁最大，由不等式法即可求解. 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以； （2）判断中谁最大即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项， 由，得，因为，所以或6． 故中最大的项为． 17．（本题15分）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 【答案】（1）0.995；（2）星期三． 【分析】（1）由并作展开，结合精确数位即可得近似值； （2）由并作展开，判断除以7的余数，即可得. 【详解】（1）， 可以看出，及其后面的项在精确到0.001时都可以忽略， 所以近似值为． （2）因为， 显然，是一个除以7余2的数， 所以，如果今天是星期一，再过天是星期三． 18．（本题17分）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？ (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ 【答案】(1)20； (2)360； (3)216. 【分析】（1）根据题意利用组合数计算即可； （2）根据题意利用排列数计算即可； （3）先利用组合数求出从6个学生中选2名男生和2名女生的选法，再利用排列数计算出将4人安排到四个不同活动的方法数，再由分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）由题意，从6人中选出3人参加一项活动，共有种选法. （2）从6人中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有种选法. （3）由题意，先从中3名男生和3名女生中选出男生2人，女生2人，有种选法； 再将4人安排参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加，有种方法， 所以，总共有种选法. 19．（本题17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 【答案】(1)256 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由杨辉三角的第八行结合组合数的性质求解即可； （2）由组合数公式证明即可； （3）由二项式定理结合组合数性质求解即可. 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 （2） ， （3）的展开式中，求含项的系数为 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第六章计数原理（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 3．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（    ）个 A．8 B．10 C．12 D．16 5．（本题5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（本题5分）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 二、多选题 9．（本题6分）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 10．（本题6分）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 11．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为________. 13．（本题5分）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 14．（本题5分）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 四、解答题 15．（本题13分）解方程： (1)； (2)解方程：. 16．（本题15分）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 17．（本题15分）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 18．（本题17分）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？ (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ 19．（本题17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $