高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（适中版01）

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．（本题5分）函数的导数=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本初等函数导数公式求解即可. 【详解】由，得， 故选：A. 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．（本题5分）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 5．（本题5分）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B. 【详解】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故选：A 6．（本题5分）若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，由既有极大值也有极小值可知，一元二次方程在上有2个不同的实根，进而建立不等式组，解之即可求解. 【详解】，则， 函数既有极大值，也有极小值， 等价于一元二次方程在上有2个不同的实根， 则，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 7．（本题5分）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】根据题意可列出每瓶液体材料的利润关于r的函数解析式，再利用导数求出函数单调性，即可得出利润最大时. 【详解】由题意可知，每瓶液体材料的利润， 所以，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故每瓶液体材料的利润最大时，. 故选：B. 8．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建函数，利用导数可证，即可得，在结合正弦函数的性质分析判断. 【详解】构建函数，则， 令，得；令，得； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 可得，当且仅当时取等号， 则， 由正弦函数的有界性可知，则， 又因为，则，所以． 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出函数的定义域，再借助导数判断单调性即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数在定义域上不单调，A不是； 对于B，函数定义域为R，， 当且仅当时取等号，函数在定义域上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，当时，， 函数在上单调递减，函数在定义域上不是增函数，C不是； 对于D，函数定义域为R，求导得，函数在定义域上单调递增，D是. 故选：BD 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】利用导数研究的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据拐点的定义即可判断C；根据数形结合的思想即可判断D. 【详解】由得， 令或， 所以在单调递减，在、单调递增. A：因为， 所以在存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误； B：的极大值点为，极小值点为， 所以有2个极值点，故B正确； C：令，得，， 所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确； D：因为的极大值为，极小值为， 作出直线与函数的图象，如图， 由图可知，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实根，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则______． 【答案】1 【分析】求导得，令即可求解. 【详解】对求导得，， 令，得，解得. 故答案为：1 13．（本题5分）函数的最小值为________. 【答案】/ 【分析】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【详解】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 故答案为： 14．（本题5分）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】由题意得，即，得，设，所以与有两个交点，利用导数研究单调性进而作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，即，所以，即， 设，所以与有两个交点， 则， 由，解得，此时函数单调递增， 由，解得，此时函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值， 所以当时，，当时，， 作出函数的函数图像：    由图像可知：， 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）由先求出，再求导数，进而求出，即可根据直线方程的点斜式求出切线方程； （2）先求函数的定义域，再解不等式和，即可求出的单调区间. 【详解】（1）因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 16．（本题15分）已知函数在处有极值 (1)求的值并判断是极大值点还是极小值点； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)，极小值点 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处有极值可得，可求得a的值；判断函数的单调性，即可判断判断是极大值点还是极小值点； （2）根据函数在上的单调性，结合函数值即可确定最值. 【详解】（1）因为函数，故， 由于函数在处有极值，故， 此时， 当或时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 则为的极小值点，符合题意， 故，且为的极小值点. （2）由（1）可知在单调递减，在单调递增， 故是函数在区间上的极小值也是最小值， 由可知函数在区间上的最大值为4. 17．（本题15分）已知函数. (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求定义域，求导，得到的单调性，从而求出； （2）参变分离得到，，函数有两个不同的零点，等价于与有两个交点，对求导，得到其单调性和最值，求出. 【详解】（1）的定义域为， ，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在区间上单调，显然单调递增，且， 故实数的取值范围为； （2）令，即，， 所以，， 函数有两个不同的零点，等价于与有两个交点， 令，， 则，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，恒成立，当时，， 所以要想与有两个交点，需. 18．（本题17分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． （2）显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 19．（本题17分）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减 (2)①；②或4 【分析】（1）对求导，令，分和，判断与0的正负即可得出的单调性； （2）①由（1）可求出实数的取值范围；②方程的两根就是两极值点，由韦达定理求出，代入可得，令，求出的单调性，即可求出的值． 【详解】（1）因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增；            (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； （2）①由（1）知：当时，在上递增，在上递减， 则函数在定义域内有两个极值点， 所以实数的取值范围应为. ②满足，方程的两根就是两极值点， 由韦达定理有：， , 将韦达定理代入可得：，又因为， 得：， 设， 令， 在递增，在递减，因为， 由，可得或，满足. 故或. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）函数的导数=（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（本题5分）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则______． 13．（本题5分）函数的最小值为________. 14．（本题5分）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（本题15分）已知函数在处有极值 (1)求的值并判断是极大值点还是极小值点； (2)求函数在区间上的最值． 17．（本题15分）已知函数. (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18．（本题17分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 19．（本题17分）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $