高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（较难版02）

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数，结合导数的减法法则运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 3．（本题5分）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以， 故选：B. 4．（本题5分）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 6．（本题5分）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 7．（本题5分）当下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校套题的每日销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足关系式，其中，为常数．已知当销售价格为元/套时，每日可售出千套．假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题元（只考虑售出的套数），要使得该网校每日销售套题所获得的利润最大，则销售价格应确定为（    ） A．元/套 B．元/套 C．元/套 D．元/套 【答案】B 【分析】根据题意确定的值，然后求出该网校每日销售套题所获得的利润的解析式，利用导数求解最大值即可. 【详解】因为当时，，所以，解得. 每日的销售量， 所以该网校每日销售套题所获得的利润为 ， 从而，令，得. 在区间上，单调递增； 在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增， 而， 因为，所以当时，该网校每日销售套题所获得的利润最大. 故选：B. 8．（本题5分）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用求导来判断在区间上是否恒为正数，若可能不恒为正数，则可以举反例，或证明恒为负数，即可得到判断. 【详解】对于A，当时，，故在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，当时，，故不满足题意，故B错误； 对于C，当时， ，故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，故不满足题意，故D错误； 故选：AC. 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据函数的图象可求出函数的单调区间及极值点，即可判断AB；根据函数的单调区间即可得出其导函数的零点及符号分布情况，即可判断CD. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 1是的极大值点，A错误，B正确； 的单调递增区间为，单调递减区间为， 当或时，， 当时，，C正确； 由，得，或， 解得或， 所以等式的解集为，D正确． 故选：BCD. 11．（本题6分）定义：对于函数，若存在，使得，则称函数是“对称导数函数”.下列函数是“对称导数函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据“对称导数函数”定义逐项判断. 【详解】对于A：，因为 ，所以， 所以是“对称导数函数”，故A正确. 对于B： ， 令，得， 设， 则，所以为增函数，又， 所以在上无实数解，所以不是“对称导数函数”，故B错误. 对于C： ，令，得， 即，令， 则是增函数，又因为，所以有唯一零点0， 所以等价于，而， 所以不是“对称导数函数”，故C错误. 对于D：对于，令， 得，因为， 当时，方程成立，所以是“对称导数函数”，D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则_____． 【答案】 【分析】先求出，再代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）函数的最小值为________. 【答案】/ 【分析】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【详解】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 故答案为： 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数可得在上恒成立，即在上恒成立，设，再利用导数求的最大值即可. 【详解】函数, 则， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）利用导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）因为， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为. 综上，的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）因为，且， 所以切线方程为， 即. 所以曲线在点处的切线方程为. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 17．（本题15分）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）题设等价于恒成立，结合分离参数法求最值即可求解； （2）求导，通过讨论，讨论函数单调性、函数值情况即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为在单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又当且仅当即时取等号， 所以，即m的取值范围是； （2）由，得，定义域为， 当时，在恒成立，故在单调递减， 则在最多有一个零点，不合题意，舍去； 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 且当时，，所以， 当时，， 因为此时，所以， 要使得在有两个不同的零点， 只需满足即可，解得，又， 所以， 综上可知：在有两个不同的零点，的取值范围是. 18．（本题17分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2)1个 【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围； （2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个. 【详解】（1）由可得其定义域为，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得； 综上可得的取值范围为； （2）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然，； 根据零点存在定理可得存在使得， 因此可知当时，，即在上为单调递增； 当时，，即在上为单调递减； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点. 19．（本题17分）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减 (2)①；②或4 【分析】（1）对求导，令，分和，判断与0的正负即可得出的单调性； （2）①由（1）可求出实数的取值范围；②方程的两根就是两极值点，由韦达定理求出，代入可得，令，求出的单调性，即可求出的值． 【详解】（1）因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增；            (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； （2）①由（1）知：当时，在上递增，在上递减， 则函数在定义域内有两个极值点， 所以实数的取值范围应为. ②满足，方程的两根就是两极值点， 由韦达定理有：， , 将韦达定理代入可得：，又因为， 得：， 设， 令， 在递增，在递减，因为， 由，可得或，满足. 故或. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）当下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校套题的每日销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足关系式，其中，为常数．已知当销售价格为元/套时，每日可售出千套．假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题元（只考虑售出的套数），要使得该网校每日销售套题所获得的利润最大，则销售价格应确定为（    ） A．元/套 B．元/套 C．元/套 D．元/套 8．（本题5分）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 11．（本题6分）定义：对于函数，若存在，使得，则称函数是“对称导数函数”.下列函数是“对称导数函数”的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则_____． 13．（本题5分）函数的最小值为________. 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 17．（本题15分）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 18．（本题17分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 19．（本题17分）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $