高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（较易版01）

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（本题5分）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 7．（本题5分）某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 8．（本题5分）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数是奇函数且为增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 11．（本题6分）若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个下界 B．函数有下界，无上界 C．函数有下界，无上界 D．函数有界 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则______． 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 16．（本题15分）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 17．（本题15分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 18．（本题17分）已知函数． (1)若，讨论零点的个数； (2)求证：． 19．（本题17分）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．（本题5分）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先对给定的函数求导，然后将带入即可. 【详解】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：. 3．（本题5分）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以， 故选：B. 4．（本题5分）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 5．（本题5分）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B. 【详解】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故选：A 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 7．（本题5分）某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出利润的函数关系，再利用导数求出函数最大值作答. 【详解】设每个月该工厂的利润为， 则（）， 求导得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则当时，取得最大值， 所以该工厂每个月的利润的最大值为元． 故选：C 8．（本题5分）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下列函数是奇函数且为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性以及导数法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数是定义域为上的奇函数，且为增函数，A满足条件； 对于B选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，B不满足条件； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足条件. 故选：AC. 10．（本题6分）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 【答案】BD 【分析】根据所给函数图象可求得的单调性，结合图象可判断A错误，得出原函数的单调性可知B正确，C错误，再由极值点定义可得D正确. 【详解】对于A，由图象可知当时，可得图象为单调递减的， 由图可知时，，即A错误； 对于B，由图象可得时，时， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有一个极值点，可得B正确； 对于C，由B选项分析可知，函数的单调递增区间为，即C错误； 对于D，由B选项分析可知，是函数的极小值点，可得D正确. 故选：BD 11．（本题6分）若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个下界 B．函数有下界，无上界 C．函数有下界，无上界 D．函数有界 【答案】BD 【分析】由基本不等式可判断A；利用导数可确定，即可判断B；根据趋近问题理解即可判断C；利用放缩法即可判断D. 【详解】对于选项A：当时，， 当且仅当时，等号成立， 可得恒成立，可知是的一个上界，故A错误； 对于选项B：的定义域为，且， 当时，；当，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，可知有下界， 且当x趋近于时，趋向于，可知无上界， 综上所述：有下界，无上界，故B正确； 对于选项C：当，x趋近于0时，趋向于， 可知无下界，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，，即， 所以有界，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则______． 【答案】1 【分析】求导得，令即可求解. 【详解】对求导得，， 令，得，解得. 故答案为：1 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数可得在上恒成立，即在上恒成立，设，再利用导数求的最大值即可. 【详解】函数, 则， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 16．（本题15分）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值是，最大值是. 【分析】（1）根据极值的定义得到关于，的方程组，即可求出，. （2）判断函数在上的单调性，结合函数的极值和端点函数值求解. 【详解】（1）， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4， 故，. （2）由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. 17．（本题15分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． （2）显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 18．（本题17分）已知函数． (1)若，讨论零点的个数； (2)求证：． 【答案】(1)当时，函数只有一个零点； 当时，函数无零点． (2)证明见详解 【分析】（1）分类讨论，求导，研究单调性质，通过最值分析零点个数； （2）利用放缩，转化为证明问题，构造函数，求导，通过最值符号证明不等式成立. 【详解】（1）当时，，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，此时函数只有一个零点； 当时，，则． 令，得．当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 又，所以，所以， 此时函数无零点． 综上，当时，函数只有一个零点； 当时，函数无零点． （2）由（1）知，，要证， 只需证，只需证， 记，则 时，，所以在上单调递增， 时，，所以在上单调递减， 所以， 即成立，当且仅当时，等号成立， 又由不等式，当且仅当时，等号成立， 所以恒成立，故，得证 19．（本题17分）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减 (2)①；②或4 【分析】（1）对求导，令，分和，判断与0的正负即可得出的单调性； （2）①由（1）可求出实数的取值范围；②方程的两根就是两极值点，由韦达定理求出，代入可得，令，求出的单调性，即可求出的值． 【详解】（1）因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增；            (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； （2）①由（1）知：当时，在上递增，在上递减， 则函数在定义域内有两个极值点， 所以实数的取值范围应为. ②满足，方程的两根就是两极值点， 由韦达定理有：， , 将韦达定理代入可得：，又因为， 得：， 设， 令， 在递增，在递减，因为， 由，可得或，满足. 故或. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $