高中数学单元测试——第四章数列（较易版02）

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 3．（本题5分）某数列前12项依次是，则数列中的值应为（   ） A．56 B．60 C．62 D．64 【答案】B 【分析】观察数列，找到规律，即可求解. 【详解】观察数列，易知奇数项和偶数项规律不同. 奇数项为 则，，，，易知， 所以. 故选：B. 4．（本题5分）已知等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意利用等差数列下标和性质运算求解. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，所以. 故选：D. 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 【答案】B 【分析】根据题图确定五边形中小石子增量关系，法1：根据规律写出第5项，法2：总结归纳得到第个五边形数为，即可得. 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 7．（本题5分）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】由等比数列的前n项和公式列出关于和公比q的方程，解出，q，即可写出与，再将不等式化简，参变分离得对任意的恒成立，可构造函数，利用作差法判断函数的最小值，求得t的最大值，也可利用基本不等式进行求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，∴．∴关于n的不等式， 即，即对任意的恒成立． 解法一  设，则， 当时，，当时，， 当时，， 又，∴当或时，，∴． 故选:C． 解法二  由，当且仅当，即时等号成立， 又，∴当或时，取得最小值24，故． 故选:C． 8．（本题5分）数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用．若数列是数列，当且仅当时，，设的前项和为，则满足的的最大值为（    ） A．600 B．601 C．604 D．605 【答案】C 【分析】根据题意结合数列周期性分析求解. 【详解】由题意可知：， 且， 即， 当时，， 可知，且， 所以满足的的最大值为604. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C．数列，，，，…的一个通项公式是 D．数列，，…，是递减数列 【答案】ACD 【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可． 【详解】对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确； 对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误； 对于C，观察法可得数列，，，，…的一个通项公式为时，故选项C正确； 对于D，因为，所以数列，，是递减数列，故选项D正确． 故选：ACD. 10．（本题6分）已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 【答案】BC 【分析】根据已知条件列方程，根据等差数列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 由于，所以，，， 所以A，D选项错误，B选项正确. 因为，故C选项正确. 故选：BC. 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题得，， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）若数列满足，则_____ 【答案】 【分析】根据并项求和,结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】由可得， ， ，解得， 故答案为： 14．（本题5分）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 【答案】6 【分析】设等差数列的公差为，先证明数列是等差数列，由推出数列及单调递减，即，借助的解析式及单调性推出即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 所以等差数列的前项和为， 则， ，， 所以数列是等差数列，公差为. 因为，所以数列单调递减， 所以，即，所以等差数列单调递减. 因为数列单调递减，所以， 因为， ，所以. 因为等差数列单调递减，且，所以， 所以当时，取最大值. 故答案为：6 四、解答题 15．（本题13分）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的首面，再利用等差数列、等比数列通项公式求得答案. （2）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）等比数列的公比是2，，则，， 由，得，又等差数列的公差是-2，则， 所以和的通项公式分别为，. （2）记和的前项和分别为，，则． 而，， 所以. 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 则，即是等差数列，合乎题意， 故对任意的，. （2）， 17．（本题15分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 18．（本题17分）记为数列的前项和，已知的等差中项为. (1)求证为等比数列； (2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用等差中项性质化简，再利用与的关系求出，利用等比数列定义即可证明； （2）先求出通项公式，利用放缩法及等比数列前n项和公式求出和的范围即可求出整数k. 【详解】（1）因为的等差中项为，所以， 因为时，，则，所以， 由得， 又，两式相减得，即， 所以有，所以， 所以是等比数列，其首项为，公比为2. （2）由（1）知，所以，所以， 因为，所以， 又， 所以，所以. 19．（本题17分）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 【答案】(1)或 (2)（i）或；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据和积交替数列的定义，列出参数的方程组，求出参数的值. （2）（i）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项，由范围，求出后面项的大小范围，判断3可能出现的位置，求出参数的值. （ii）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项满足的条件，根据数列的递推公式，结合累乘法，通过对数运算，证明命题. 【详解】（1）由题知，， 解得，或； （2）（i）由题知，则，， 由，则；， 由，则；，但，， 所以；而，… 以此类推，当，时，. 所以若3是数列中的项， 则或或，解得或. （ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且， 所以，同取以2为底的对数，得， 即.又，所以， 则， 累乘整理，得， 所以时，. 当时，符合上述不等式， 所以，结论得证. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（本题5分）某数列前12项依次是，则数列中的值应为（   ） A．56 B．60 C．62 D．64 4．（本题5分）已知等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D．3 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 7．（本题5分）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 8．（本题5分）数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用．若数列是数列，当且仅当时，，设的前项和为，则满足的的最大值为（    ） A．600 B．601 C．604 D．605 二、多选题 9．（本题6分）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C．数列，，，，…的一个通项公式是 D．数列，，…，是递减数列 10．（本题6分）已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 13．（本题5分）若数列满足，则_____ 14．（本题5分）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（本题15分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 18．（本题17分）记为数列的前项和，已知的等差中项为. (1)求证为等比数列； (2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 19．（本题17分）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $