高中数学单元测试——第四章数列（适中版01）

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2．（本题5分）在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项公式计算. 【详解】等比数列，满足， 即，解得. 故选：C 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】A 【分析】利用观察法分析数列的规律即可. 【详解】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项， 故选：A 4．（本题5分）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用等差数列的性质，若，则，即可得解. 【详解】因为是等差数列，则有，又，所以． 故选：D． 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】C 【分析】根据已知对数列用后项减前项，归纳出性质：，，然后由计算可得． 【详解】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案. 【详解】由，得，得， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 当为奇数时，为递增数列， 所以，即． 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以． 又，所以，所以. 故选：C 8．（本题5分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（    ） A．42 B．95 C．102 D．109 【答案】C 【分析】根据数列的递推公式，九步到1，即，，.根据角谷猜想的结论可求得，再求出，相加可得答案. 【详解】由题可知，，，. 之后各项会按照的顺序循环. 因为，，所以. 因为. 当时，. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】根据数列的概念判断A，应用通项公式计算判断B，应用已知项求出通项公式计算判断C，D. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关， 故数列与数列是两个不同的数列，故A错误； 对于B，令，解得或（舍去）， 故110是该数列的第11项，故B正确； 对于C，数列，的一个通项公式是， 故第8个数是，故C正确； 对于D，数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 【答案】AB 【分析】对于A，根据前和的概念，结合题意以及作差法，利用等差数列的定义，可得答案； 对于B，利用等差数列的求和公式，结合前项和的概念以及作差法，可得答案； 对于C，根据等差数列的单调性，明确每一项与零的大小关系，可得答案； 对于D，根据第六项与第七项与零的大小关系，结合加和的大小，可得答案. 【详解】对于A，由，则，， 所以等差数列的公差，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可知，，则当时，；当时，， 所以是数列的最大值，故C错误； 对于D，由A可知，由B可知，则，故D错误. 故选：AB. 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 【答案】ABD 【分析】由数列新定义，结合各选项数列递推公式逐个判断即可. 【详解】因为，令，得，， 所以是“平衡数”为5的平衡数列，故A正确； 的前6项依次为2，，，2，，，故是周期为3的周期数列，可验证不是平衡数列，故B正确； 若，则，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 由，得， 当时，， 所以是“平衡数”为3的平衡数列，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）在正项等比数列中，，，则公比________． 【答案】 【分析】根据等比数列的等比中项性质，和等比数列的概念，求出公比. 【详解】由等比中项定义可知，可得，因为数列为正项数列，所以，则. 故答案为：. 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 【答案】15 【分析】分别令计算即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 14．（本题5分）已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 【答案】30 【分析】根据题意可得为等差数列，从而得到，利用裂项相消求出即可求解. 【详解】，则， 两边同除以得：，即， 为等差数列，设数列的公差为， 又， 则， ， 即，解得， ， ， . ∴解得. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知为等差数列，是等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出公差和公比，得到通项公式； （2）结合等差数列和等比数列求和公式进行分组求和， 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为. 因为，所以，即， 所以， 所以，则， 所以. （2） . 16．（本题15分）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是公差为2的等差数列； (2)设数列的前项的和为，若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合与之间的关系进行求解证明即可； （2）根据（1）的结论，结合裂项相消法进行求解证明即可. 【详解】（1）因为数列是公差为1的等差数列，所以． 从而可得． 当时，． 即可得，所以数列是公差为2的等差数列； （2）根据第（1）问数列是公差为2的等差数列可得， 从而可得． 所以数列的通项公式． 所以． 从而可得． 所以成立． 17．（本题15分）已知数列满足，且，数列满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证为等比数列，可根据等比数列的定义，通过计算的值是否为常数来判断； （2）根据（1）的结论求出的通项公式，进而得到的通项公式，再根据的通项公式的特点选择裂项相消法求其前项和. 【详解】（1）因为，所以， 即，而， 所以数列为首项为，公比为的等比数列； （2）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列的通项公式为. ， ， 两式作差得 ， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据，求出的通项公式，根据通项公式研究数列各项正负情况，进而得到的前项和. 【详解】（1）， 时，有， 时有， ， ， 又，也符合上式， 故数列是首项为1，公比为2的等比数列， . （2）， 时，， 时有， ，又，也符合上式， 所以， 当时，当时， 当时，， 当时，. 故. 19．（本题17分）对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． (1)若，求的值． (2)设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见详解 【分析】（1）设，可得，进而可得的通项公式； （2）①结合（1）可得，进而可得的通项公式；②可得，利用放缩法可得，再结合裂项相消法分析证明. 【详解】（1）由题意可设：，则， 若，则， 且，可得， 所以. （2）①由（1）可得， 若，则， 且，可得， 所以的通项公式； ②因为，即， 则， 可得， 所以. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 2．（本题5分）在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．4 C． D． 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 4．（本题5分）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（    ） A．42 B．95 C．102 D．109 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 三、填空题 12．（本题5分）在正项等比数列中，，，则公比________． 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 14．（本题5分）已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知为等差数列，是等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)若，求的值. 16．（本题15分）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是公差为2的等差数列； (2)设数列的前项的和为，若，证明． 17．（本题15分）已知数列满足，且，数列满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的前项和. 18．（本题17分）已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 19．（本题17分）对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． (1)若，求的值． (2)设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $