高中数学单元测试——第十章概率（较易版02）

高中数学单元测试 —— 第十章 概率（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 2．（本题5分）在某次阅兵彩排演练中，A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则A先于B通过的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 8 11 10 9 则第4组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 4．（本题5分）体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（   ） A．0.38 B．0.56 C．0.26 D．0.52 5．（本题5分）若抛掷三颗骰子，落地后均有一面朝上，且面朝上点数之和为，则“”表示的随机试验结果是（    ） A．一颗面朝上的点数是，另两颗面朝上的点数均是 B．一颗面朝上的点数为 C．三颗面朝上的点数都是 D．一颗面朝上的点数为，另两颗面朝上的点数分别为、 6．（本题5分）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 7．（本题5分）已知甲、乙两袋中均装有若干个大小相同的红球和白球，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则2个球中恰有1个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 10．（本题6分）我市某中学高一三班有50人，其中男生、女生的人数及其团员人数如表所示． 项目 团员 非团员 合计 男生 10 20 30 女生 5 15 20 合计 15 35 50 记事件为“在班级里随机选一人，选到男生”，事件为“在班级里随机选一人，选到团员”．下列说法正确的是（   ） A．事件的对立事件为“在班级里随机选一人，选到女生” B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 11．（本题6分）在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.则下列结论正确的是（    ） A．采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示为青色、青色、红色的概率为 B．采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为 C．采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为 D．对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率 三、填空题 12．（本题5分）已知、为一次试验中的两个事件，，，则________． 13．（本题5分）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________. 14．（本题5分）一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________. 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 16．（本题15分）从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示；    (1)求直方图中的值及样本中位数； (2)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，写出从这5人中随机抽取2人的样本空间，并求这2人成绩至少一人成绩在的概率. 17．（本题15分）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 18．（本题17分）一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 19．（本题17分）甲，乙两人进行围棋比赛，采用积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则围棋比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立. (1)求第三局结束后乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率. 参考：1.如果两两互斥，则； 2.如果事件相互独立，则， ， . 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第十章 概率（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 2．（本题5分）在某次阅兵彩排演练中，A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则A先于B通过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，故易得A先于B通过的概率为. 【详解】因A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的， 通过的顺序只有等可能的两种情况，故A先于B通过的概率为. 故选：C. 3．（本题5分）现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 8 11 10 9 则第4组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【答案】B 【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率. 【详解】第4组的频数，频率为. 故选：B 4．（本题5分）体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（   ） A．0.38 B．0.56 C．0.26 D．0.52 【答案】A 【分析】借助相互独立事件的乘法公式计算即可得. 【详解】设“甲投中”，“乙投中”， 则 . 故选：A. 5．（本题5分）若抛掷三颗骰子，落地后均有一面朝上，且面朝上点数之和为，则“”表示的随机试验结果是（    ） A．一颗面朝上的点数是，另两颗面朝上的点数均是 B．一颗面朝上的点数为 C．三颗面朝上的点数都是 D．一颗面朝上的点数为，另两颗面朝上的点数分别为、 【答案】A 【解析】根据可得出结论. 【详解】任意抛掷一颗骰子，朝上的点数可以为、、、、、， 现抛掷三颗骰子，落地后均有一面朝上，且面朝上点数之和为， ，所以，“”表示随机试验结果是一颗面朝上的点数为， 另两颗面朝上的点数均是. 故选：A. 【点睛】本题考随机试验结果的理解，属于基础题. 6．（本题5分）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 7．（本题5分）已知甲、乙两袋中均装有若干个大小相同的红球和白球，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则2个球中恰有1个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及互斥事件的概率公式列式计算得解. 【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，，且相互独立， 则2个球中恰有1个红球的概率为． 故选：C 8．（本题5分）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】ACD 【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项. 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错． 故选：ACD． 10．（本题6分）我市某中学高一三班有50人，其中男生、女生的人数及其团员人数如表所示． 项目 团员 非团员 合计 男生 10 20 30 女生 5 15 20 合计 15 35 50 记事件为“在班级里随机选一人，选到男生”，事件为“在班级里随机选一人，选到团员”．下列说法正确的是（   ） A．事件的对立事件为“在班级里随机选一人，选到女生” B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 【答案】AC 【分析】对于A，根据对立事件的定义判断即可；对于B，根据互斥事件的定义判断即可；对于C，直接用古典概型概率的公式计算即可；对于D，直接使用独立事件的定义验证即可. 【详解】对于A，事件的对立事件为“在班级里随机选一人，选到的不是男生”，即“在班级里随机选一人，选到女生”，故A正确； 对于B，由于存在既是男生又是团员的人，故事件A与事件B可能同时发生，从而不是互斥事件，故B错误； 对于C，总人数为50，男生30人，团员15人，则，故C正确； 对于D，总人数为50，既是男生又是团员的人数为10，则， 结合选项C可知，故事件与事件不相互独立，故D错误， 故选：AC． 11．（本题6分）在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.则下列结论正确的是（    ） A．采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示为青色、青色、红色的概率为 B．采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为 C．采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为 D．对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率 【答案】BD 【分析】根据信号传输规则及相互独立事件同时发生的概率计算可判断ABC，利用作差法比较大小可判断D. 【详解】对于A，依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示青色、青色、红色的事件是发送红色信号显示青色、发送黄色信号显示青色、发送青色信号显示红色的3个事件的积，它们相互独立， 所以所求概率为，A错误； 对于B，两次传输，发送红色信号，相当于依次发送红色、红色信号，则依次显示黄色、黄色的事件是发送红色信号接收黄色信号、发送红色信号接收黄色信号的2个事件的积，它们相互独立， 所以所求概率为，B正确； 对于C，两次传输，发送红色信号，则译码为红色的事件是依次显示黄色、青色或青色、黄色的事件的和，它们互斥， 所以所求的概率为，故C错误； 对于D，若采用两次传输，发送红色信号，则译码为青色的概率， 若单次传输发送红色信号，则译码为青色的概率， 因此，即，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（本题5分）已知、为一次试验中的两个事件，，，则________． 【答案】 【分析】根据并事件的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可得 . 故答案为：. 13．（本题5分）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________. 【答案】/0.5 【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得. 【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和， 显然事件与互斥，，， 所以. 故答案为： 14．（本题5分）一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________. 【答案】 【分析】先求前三次中每一次都没有摸到红球的概率，进而得前三次均未摸到红球的概率，利用对立事件即可求得前三次至少有一次摸到红球的概率. 【详解】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为， 第二次没有摸到红球的概率为，第三次没有摸到红球的概率为， 所以前三次均未摸到红球的概率为， 所以前三次至少有一次摸到红球的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 【分析】（1）利用次品率的计算公式求解即可； （2）利用次品的经验概率及古典概型求解即可； （3）利用次品西装的件数约为（件）求解即可. 【详解】（1）检出次品的频率，填表如下： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02 （2）抽取的件数总和为， 检出次品的件数总和为， 故从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是． （3）如果要销售2000件西装，则次品西装的件数约为（件）， 所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 16．（本题15分）从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示；    (1)求直方图中的值及样本中位数； (2)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，写出从这5人中随机抽取2人的样本空间，并求这2人成绩至少一人成绩在的概率. 【答案】(1)，中位数75 (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出，然后利用中位数的定义求出中位数的值. （2）先确定分层抽样比和抽样人数，然后确定样本空间和这2人成绩至少一人成绩在的概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可得， ， 解得. 因为成绩位于的概率为， 而成绩位于的概率为， 所以中位数为75. （2）因为成绩位于区间的频数分别为 人， 所以分层抽样比为. 所以抽取5人中成绩位于区间的人数分别为1（），2（），2（）人. 所以从5人中随机抽取2人的情况有，共10种， 这2人成绩至少一人成绩在的情况有，共7种， 这2人成绩至少一人成绩在的概率为. 17．（本题15分）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率； （2）利用有放回抽取的概率求出的表达式，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）设2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间， 共20种， 设第一次和第二次都取到白球为事件，则共6种， 所以； （2）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先取红球再取白球的概率为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 的最大值为. 18．（本题17分）一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件与事件相互独立. 【分析】（1）根据题意求出样本空间以及事件的样本点，利用古典概型公式即可求解； （2）先求事件与事件的样本点，进而求，根据事件的独立性的定义即可求解. 【详解】（1）由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，表示2次取得小球号码， 则共有36个样本点，共有18个样本点， 所以； （2）共有18个样本点， 共有个样本点， 所以，，所以， 所以事件与事件相互独立. 19．（本题17分）甲，乙两人进行围棋比赛，采用积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则围棋比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立. (1)求第三局结束后乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率. 参考：1.如果两两互斥，则； 2.如果事件相互独立，则， ， . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），根据独立事件的乘法公式即可求解； （2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式求解概率，最后相加得到结果. 【详解】（1）设事件为“第三局结束乙获胜”， 由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为. 若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 故. （2）设事件为“甲获胜”． 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率． 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 此时的概率． 若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）． 此时的概率， 若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）． 此时的概率. 故. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $