精品解析：山东省临沂市沂水县2025-2026学年下学期八年级数学单元作业

八年级数学单元作业 2026年4月 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分. 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 2. 下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，12，15 C. 7，24，25 D. 0.3，0.4，0.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，注意区分：和是解题的关键． 根据二次根式的性质、绝对值的定义逐个选项判断即可． 【详解】A. ，选项错误，不符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项正确，符合题意； D. ，选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 5. 关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，需要区分所有平行四边形共有的性质与特殊平行四边形才具有的性质，找出不一定正确的结论，即可作答． 【详解】解：依题意，平行四边形的基本性质是对角相等、对边相等、对角线互相平分，这是所有平行四边形都满足的性质， ∴选项A、B、C一定正确； ∵平行四边形不一定具备对角线互相垂直的性质， ∴D选项不一定正确， 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、无意义，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题以正多边形及其外接圆为载体，以正多边形的性质及其应用，解题的关键是掌握相关的知识．首先证明圆周长，然后求出所对的圆心角度数为，问题即可解决． 【详解】解：设正八边形的外接圆为； 正八边形的各边相等， 圆周长， 所对的圆心角度数为， 圆周角． 故选：C． 8. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①错误，②正确 C. ①②都错误 D. ①正确，②错误 【答案】B 【解析】 【分析】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，再证明四边形ABCD是菱形，再进行判断即可． 【详解】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC， ∵， ∴∠ADB=∠CBD， ∵∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∵AB=BC， ∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． ∴①错误，②正确 故选：B. 【点睛】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质． 10. “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的运算规则和完全平方公式．使用完全平方公式展开各项，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 四边形中，，当______时，这个四边形是平行四边形． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．直接利用平行四边形的判定方法得出时可得出这个四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：当，时，四边形是平行四边形， 当时，这个四边形是平行四边形． 故答案为：3 13. 一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，他的体重是60千克，若动能是1000焦耳，则该运动员的跑步速度为______米/秒（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的应用等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 由可得，然后将相关数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，（米/秒）． 故答案为：． 14. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，根据题意求得正六边形的内角和，进而即可求得的度数． 【详解】解：由题意可得，图中的六边形都是正六边形． ∵正六边形的内角和为， ∴每一个内角为 ∴． 故答案为： 15. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于D， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴绳长为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和加减运算，将二次根式化为“最简二次根式”是解题关键． （1）先通过二次根式乘法法则化简，再将化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行乘除运算，最后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可； （2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可． 【小问1详解】 解：依题意作图如下，则即为所求作的高： 【小问2详解】 ∵，，是边上的高， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键． 18. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，则是否可以裁出所求的长方形木料？ 【答案】（1） （2）可以裁出，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可； 【小问1详解】 解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； 【小问2详解】 可以裁出，理由如下： ∵从长方形木板中裁出一个面积为，宽为， ∴裁出长为：， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料． 19. 如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，直角三角形的性质结合对顶角相等即可求解； （2）利用直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的性质推出，求得，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点C到底座的距离为：． 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 旋转后， ∵， ∴， ∴点C到底座的距离为：． ∴端点到底座的距离减少了． 21. 如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF. (1)求证：四边形BDEF为平行四边形； (2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，证出∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，证出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论； （2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF的值，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM的值，进而得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可． 试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG=∠C，∵BE=BF，∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，∴∠F=∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形； （2）解：∵∠C=45°，∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE= BD=，作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示： 则△BFM是等腰直角三角形，∴FM=BM=BF=1，∴DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= =，即D，F两点间的距离为． 点睛：本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键． 22. 【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，． 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方的形式； （2）请运用小明的方法化简； （3）将式子化成另一个式子的平方的形式为______（，）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照小明的方法即可求解； （2）仿照小明的方法得到，再利用二次根式的性质化简即可； （3）根据完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∴ ； 【小问3详解】 解： ． 23. 数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 以下，是对此定理的探究及证明过程： 已知，如图，在中，分别是的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接． 丙：作，延长，使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点． 则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________； A．甲、乙、丁 B．乙、丙 C．乙、丁 D．全正确 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； （3）【定理应用】 如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点A和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示）． 【答案】（1）D （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； （2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得（米），就可得（米）． 【小问1详解】 解：观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理， 故答案为：D； 【小问2详解】 如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴， ， ； 【小问3详解】 连接并延长，交延长线于P，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，全等三角形判定与性质，平行四边形判定与性质，三角形中位线定理等，解题关键是找准三角形证明全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学单元作业 2026年4月 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分. 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，12，15 C. 7，24，25 D. 0.3，0.4，0.5 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①错误，②正确 C. ①②都错误 D. ①正确，②错误 10. “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果等于_____． 12. 四边形中，，当______时，这个四边形是平行四边形． 13. 一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，他的体重是60千克，若动能是1000焦耳，则该运动员的跑步速度为______米/秒（结果保留根号）． 14. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 15. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 18. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，则是否可以裁出所求的长方形木料？ 19. 如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 20. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 21. 如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF. (1)求证：四边形BDEF为平行四边形； (2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离． 22. 【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，． 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方的形式； （2）请运用小明的方法化简； （3）将式子化成另一个式子的平方的形式为______（，）． 23. 数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 以下，是对此定理的探究及证明过程： 已知，如图，在中，分别是的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接． 丙：作，延长，使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点． 则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________； A．甲、乙、丁 B．乙、丙 C．乙、丁 D．全正确 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； （3）【定理应用】 如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点A和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $