精品解析：江苏无锡市第一中学2025-2026学年第二学期期中试卷高二数学

无锡市第一中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高二数学 2026.4 命题： 薛菁 审核：陶睿 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 函数的图像大致为 A. B. C. D. 6. 若在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 元旦文艺汇演，因演出需要，身高互不相等的8位同学要排成一排成一个“波浪形”，即同学们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六，七、八个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种． A. 181 B. 171 C. 231 D. 191 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（ ） A. B. 展开式中项数共有11项 C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为3 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 从5男3女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有65种选法 C. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 D. 6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球的放法种数为10 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中二项式系数的最大值是______.（用数字作答） 13. 已知函数（是自然对数底数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是______． 14. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果） （1）3名女生相邻； （2）3名男生互不相邻； （3）若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站； （4）老师不站中间，女生不站两端. 16. 已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）求在点处的切线方程； （3）求证：函数在内有且只有一个极值点. 17. 已知， （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 已知函数 . （1）求的极值； （2）当时， 对恒成立，求实数的取值范围； （3）若 有两个零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，请问在什么范围内取值时，对于任意的，函数在上总存在极值？ （3）若存在，，使得，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高二数学 2026.4 命题： 薛菁 审核：陶睿 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得，解得， 所以. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，则， 所以. 3. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数定义域为，且， 令，即; 解得， 即函数的单调增区间为. 4. 集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个； 若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标， 则符合题意的点有，，，，共4个． 综上，在第二象限内的点的个数为． 5. 函数的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法，排除B,C.D推出结果即可． 【详解】令，则， 令，则， 显然，故排除B、C， 当时，，排除D，故选A. 【点睛】本题考查函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力． 6. 若在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 函数的定义域为，区间在定义域内， 对求导得：. ∵ 在上是减函数， ∴ 对任意恒成立，即恒成立. ∵ ，∴ ，不等式变形为恒成立. 设，， 为开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 当时，取得最小值，. ∴ ，即实数的取值范围是. 7. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造，，分析可知在定义域内单调递增，结合解不等式即可. 【详解】因为等价于， 构造，，原不等式即为， 因为，则， 可知在定义域内单调递增，且， 则不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 8. 元旦文艺汇演，因演出需要，身高互不相等的8位同学要排成一排成一个“波浪形”，即同学们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六，七、八个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种． A. 181 B. 171 C. 231 D. 191 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到排位中3号位必须比1,2,4,5,6号位置高，1号位是1，2，3中最低的，6号位是3，4，5，6，7，8中最低的，8号位是6，7，8中最高的，再对学生从矮到高编号，由3号位置是从身高最高的后3名同学中选取讨论求解. 【详解】由题意得：排位中3号位必须比1,2,4,5,6号位置高，1号位是1，2，3中最低的，6号位是3，4，5，6，7，8中最低的，8号位是6，7，8中最高的， 从矮到高将8位同学编号为1，2，3，4，5，6，7，8， 则3号位最小选6号，最大选8号， 当3号位选6号时，则7，8号放入最后两个位置是确定的， 所以先从1，2，3，4，5号中选两个放入前两个位置， 余下的3个号放入4，5，6号位置，顺序是确定的只有一种情况，此时共种情况； 当3号位选7号时，则8号是确定的，放入最后一个位置， 先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置， 余下的4个号中最小的放入6号位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置，余下的号放入7号位置， 此时共种情况， 当3号位选8号时，先从1，2，3，4，5，6，7号中选两个放入前两个位置， 余下的5个号中最小的放入6号位置，剩下4个选2个放入4，5两个位置， 余下的2个号放入最后两个位置，此时共种情况， 由分类计数原理得共有10+45+126=181种情况. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（ ） A. B. 展开式中项数共有11项 C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为3 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解. 【详解】依题意，展开式的通项公式为， 因为第6项为常数项， 所以时，有，解得，故A错误； 由，得展开式中项数共有项，故B正确； 令，得， 所求含项的系数为.故C错误； 由,令，,则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取，所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 从5男3女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有65种选法 C. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 D. 6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球的放法种数为10 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分步计数原理判断选项A；结合组合数的定义判断选项B；由平均分组分配法判断选项C；应用隔板法计算判断D. 【详解】对于A，由于每封信都有3种投法，则5封信有种投法，故A错误； 对于B，从8人中任选4人有种，若4人全是男生有种， 若4人中必须有男有女，所以共有种选法，故B正确； 对于C，将4个不同的小球分成两组有种分组方法， 再将这两组分配给4个盒子中的两个有种不同的分配方法，故C正确； 对于D，将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球， 则不同的放法种数是种，故D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求函数的导函数，判断函数的单调性，求其极值点，由有三个零点列不等式求的取值范围判断A，证明，结合单调性比较的大小判断B，由条件可得关于点成中心对称，结合对称性性质判断C，由极值点的性质可得，，令，化简，可证明判断D. 【详解】A，当时，，， 由，得到或，由，得到， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 故在处取到极大值，在处取到极小值， 若有三个零点，则，解得，正确； B，当时，，， 又 ，即， 由A知在区间上单调递减， 所以，与该项描述不符，错误； C，因为，即， 所以关于点成中心对称，又的定义域为， 所以，整理得到，正确； D，因为，所以， 由题有 ，即， 由，得， 令，则，又，所以， 得到， 整理得到， 又，代入化简得， 又，，所以，得到，即，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中二项式系数的最大值是______.（用数字作答） 【答案】252 【解析】 【详解】由二项式系数及组合数的性质知，展开式中二项式最大系数为 . 13. 已知函数（是自然对数底数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 ． 【解析】 【分析】先求函数在区间 上零点存在的条件，再把区间 上的零点问题转化为方程 的解的个数问题．构造函数并求其最小值，最后结合题意“有三个零点”即可求出 的取值范围． 【详解】当 时，由 得. 要使该零点满足 ，需满足即. 所以函数在区间 上恰有一个零点，当且仅当 ． 当 时，由 得. 设，则. 因为 ，， ，所以 的符号由 决定． 故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增． 所以 在 处取得最小值，且. 于是：当 时，方程 有两个不等实根． 当 时，方程 有一个实根． 当 时，方程 无实根． 所以函数在区间 上有两个零点，当且仅当 ． 由题意，函数在定义域上有三个零点，所以必须同时满足： 在区间 上有一个零点，且在区间 上有两个零点． 因此解得 . 故实数 的取值范围是 ． 14. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为， 即有， 则有，即为， 恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与有两个交点， 可得实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果） （1）3名女生相邻； （2）3名男生互不相邻； （3）若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站； （4）老师不站中间，女生不站两端. 【答案】（1）720 （2）1440 （3）840 （4）1296 【解析】 【分析】（1）根据题意，把3名女生看作一个元素，进行排列，即可求解； （2）把除去3名男生后剩余的4个元素全排列，再在5个空隙中放入3名男生，即可求解； （3）先对7个元素进行全排列，再除以3名男生的排列，即可求解； （4）根据题意，分为当老师站在两端中的一个位置和老师既不站中间也不站两端，结合排列数公式，即可求解. 【小问1详解】 因为3名女生相邻，可把3名女生看作一个元素， 先进行5个元素的全排列，再对3名女生全排列，共有种站法； 【小问2详解】 先把除去3名男生后剩余的4个元素全排列，再在5个空隙中放入3名男生， 共有种站法. 【小问3详解】 先对7个元素进行全排列，再除以3名男生的排列，共有种站法. 【小问4详解】 由题意知，老师不站中间，女生不站两端，可分为两类： ①当老师站在两端中的一个位置，且女生不站两端时，有站法； ②当老师不站在两端，且不站在中间时，有种站法， 由分类计数原理得，共有种不同的站法. 16. 已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）求在点处的切线方程； （3）求证：函数在内有且只有一个极值点. 【答案】（1）函数在区间上为增函数，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性； （2）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程； （3）先求出导函数根据导函数正负列表格得出函数极值，再结合函数单调性得出极值点的唯一性. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，所以函数在区间上为增函数； 【小问2详解】 ，所以切线方程为 【小问3详解】 设，则， 当时，，所以在上为减函数， 又，，所以存在唯一，使得， 即存在唯一，使得，与在区间内的变化情况如下： + 0 增函数 极大值 减函数 所以函数在内有且只有一个极值点. 17. 已知， （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）1 （2）18 （3） 【解析】 【分析】（1）应用赋值法计算求解； （2）先左右求导，再应用赋值法计算求解； （3）应用换元法化简，再应用二项式通项公式计算求解. 【小问1详解】 令，可得； 【小问2详解】 两边求导可得， 再令，可得； 【小问3详解】 令， 即求， 中的系数为， 所以. 18. 已知函数 . （1）求的极值； （2）当时，对恒成立，求实数的取值范围； （3）若 有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时， 无极值；当时，有极小值，无极大值. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论，判断导数正负得解； （2）分离参数得 ， 令 ，利用导数求出的最小值，得解； （3）问题转化为有两个零点，令，转化为有两个零点，利用导数判断单调性和极值求解. 【小问1详解】 求导， ①当时，，在上单调递增，无极值， ②当时，当时，，在上单调递减， 当时，，此时函数在上单调递增. 所以在处取得极小值，无极大值. 综上，当时， 无极值；当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 当时， ， 令 ， 则 ，解得或， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 又，， 因为，，所以， 所以的最小值为，所以. 【小问3详解】 等价于有两个零点， 令，则在时恒成立， 所以在时单调递增，故， 所以有两个零点，等价于有两个零点. 因为 ， ①当时，，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去； ②当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 所以 . 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，因为，，， 所以在，上各存在一个零点，符合题意； 综上，的取值范围为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，请问在什么范围内取值时，对于任意的，函数在上总存在极值？ （3）若存在，，使得，求的最大值． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）先求导并通分，按与分类讨论导数符号，直接确定单调区间． （2）代入化简并求导，将 “总存在极值” 转化为在内有变号零点，利用二次函数端点符号列不等式组求解范围。 （3）由得极值点必在内，结合转化为，分离参数并构造函数求最大值． 【小问1详解】 由题得，， 若，则，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 当时，，， 则 ． 因为对于任意的，在上总存在极值， 所以至少有一个实根在区间上． 又是图象开口向上的二次函数，且， 所以，解得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，若存在，使得， 则必有，即． 所以等价于， 即，化简得． 设，，则 ， 所以在上单调递减，所以， 此时，． 所以当，时等号成立，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $