精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第六十八中学2025-2026学年高二年级第二学期期中阶段性检测数学试卷

乌市68中2025-2026学年度第二学期期中阶段性检测 高二年级数学试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.） 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，所以. 2. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 480 B. 240 C. 120 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用通项公式可得常数项. 【详解】因为的通项公式为， 令得，所以常数项为. 故选：B 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 5. 已知函数在上的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，分析其在区间上的单调性即可求出最小值. 【详解】由题可得：， 当时，单调递减，当时，，单调递增， 即为极小值点，又，，， 所以在上的最小值为． 故选：D 6. 已知的展开式中的系数为5，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为的展开式中的系数为5， 则，即，解得. 7. 若从这7个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于4500的偶数个数是（ ） A. 160 B. 148 C. 152 D. 164 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意从千位数字开始进行分类讨论，再结合分类加法计数原理求解即可. 【详解】若从这7个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数， 且要求是大于4500的偶数，则千位数字只能为，分类讨论如下， 当千位数字为6时，为保证是偶数，个位数字只能是， 则中间的两位从剩下的5个数字里选，共有个情况， 当千位数字为5时，为保证是偶数，个位数字只能是， 则中间的两位从剩下的5个数字里选，共有个情况， 当千位数字为4时，为保证该数大于4500，则百位只能为或， 当百位数字为时，为保证是偶数，个位数字只能是， 此时十位数字从剩下的4个数字里选，共有个情况， 当百位数字为6时，为保证是偶数，个位数字只能是， 此时十位数字从剩下的4个数字里选，共有个情况， 综上可得，大于4500的偶数个数是，故A正确. 故选：A 8. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.） 9. （多选题）某校要举办一次中外学生交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法中正确的是（ ）. A. 若这五人每人任选一项工作，则不同的选法有种 B. 若每人安排其中一项工作，每项工作至少一人，则有240种不同的方案 C. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案 D. 若安排A和B从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理逐一进行计算即可. 【详解】若五人每人任选一项工作，则每人均有4种不同的选法，不同的选法有种，故A不正确. 若每项工作至少安排一人，则先将五人分成四组，再分配到四个岗位，故不同的方案有种.B正确. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人：则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位， 其余三人安排在剩余三个岗位上全排列即可，因此不同的方案有种，C正确. 若安排A和B从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则不同的方案有种，D正确. 故选：BCD. 10. 已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质求出的值，再通过对已知等式进行赋值，结合二项式展开式的性质求解各项系数的值. 【详解】对于A，因为所有的二项式系数和为，则， 所以，故A错误； 对于B，令，则， 即，故B正确， 对于C，令，则， 即，其中， 则，故C正确， 对于D，，， 即，其中， 则，故D正确. 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 【点睛】以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知两个随机事件，若，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 13. 已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，求出、的值，再结合函数极值点的定义进行检验，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 14. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 【答案】72 【解析】 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.） 15. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【小问1详解】 将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法； 【小问2详解】 将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法． 【小问3详解】 将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． 16. 若 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. （1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求展开式中所有的有理项； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可； （2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可. 【小问1详解】 由题，可得，即，即， 又，所以， 令，得，故系数和为， 各项的二项式系数和为， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. 【小问2详解】 因展开式的通项公式为， ， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在上的最小值为，求的值． 【答案】（1），在上单调递增；，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数结合参数的取值分析单调性； （2）根据函数单调性分情况讨论即可求出的值. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，故，在上单调递增， 当时，令得， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得：若，则在上单调递增，最小值为，与矛盾， 若，则的极小值点为， ①当，即时，在上单调递增，最小值为，与矛盾， ②当，即时，在上单调递减，最小值为，解得，满足， ③当，即时，最小值为，解得，即，但，不满足，故舍去， 综上，. 18. 人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】（1） （2）①；②方案二 【解析】 【小问1详解】 设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ， 所以试验一次结果为红球的概率为. 【小问2详解】 ①因为、是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率 为， 方案二中取到红球的概率 为， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）讨论在上的零点个数； （3）证明： 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）将函数零点问题转化为直线与函数的交点问题，通过导数研究的单调性与极值，分类讨论的取值，确定的零点个数； （3）令，则，构造函数，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，则可得单调性，即可得其最小值，即可得证. 【小问1详解】 ，则， 又，所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点， 当时，与有1个交点， 当 时，与有2个交点， 综上：当时，无零点；当时，个零点；当时， 个零点. 【小问3详解】 令，， 则， 由可知，令，. 因为，在上单调递增，则在上单调递增， 且，， 可知在上存在唯一零点，， 当，则，即；当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，，， 可得，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌市68中2025-2026学年度第二学期期中阶段性检测 高二年级数学试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.） 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 480 B. 240 C. 120 D. 15 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 5. 已知函数在上的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知的展开式中的系数为5，则（ ） A. 4 B. C. D. 7. 若从这7个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于4500的偶数个数是（ ） A. 160 B. 148 C. 152 D. 164 8. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.） 9. （多选题）某校要举办一次中外学生交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法中正确的是（ ）. A. 若这五人每人任选一项工作，则不同的选法有种 B. 若每人安排其中一项工作，每项工作至少一人，则有240种不同的方案 C. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案 D. 若安排A和B从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案 10. 已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知两个随机事件，若，，则_______. 13. 已知函数在处取极值，且，则的值为____. 14. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.） 15. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 16. 若 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. （1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求展开式中所有的有理项； 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在上的最小值为，求的值． 18. 人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）讨论在上的零点个数； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $