精品解析：浙江杭州学军中学2025-2026学年高一第二学期期中模拟考试数学试卷

杭州学军中学2025学年第二学期期中模拟考试 高一数学试卷 命题人：顾侠 审题人：黄峰 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由， 所以． 2. 设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐一判断即可． 【详解】对于A，由，与可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由，与可能平行或相交，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对于D，由，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：C. 3. 已知向量满足且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设向量和的夹角为，由，结合，列出方程，求得，即可求解. 【详解】设向量和的夹角为，其中， 因为且，可得， 所以，可得. 故选：B. 4. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可判断A；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断,可得答案. 【详解】由题意函数，， 则，故为奇函数， 其图像关于原点对称，故A错误； 又因为，,可判断B错误， ，故错误， 只有D中图像符合题意，故D正确， 故选：D 5. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和得，利用二倍角公式，诱导公式即可求解. 【详解】由， ， 故选：D. 6. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理得到，求得，再由余弦定理，求得，结合余弦定理，即可求得的值，得到答案. 【详解】解：因为， 由正弦定理，可得，即，可得， 又由余弦定理，可得，所以， 则. 故选：A. 7. 已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（ ）度 A. 40 B. 40或70 C. 40或140 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件先将直线平移得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案. 【详解】分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为， 所以，当直线经过点且直线在直线所在平面内，垂直于直线时， 直线与直线所成角相等，为时，成角为，即； 当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等， 且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有三条， 所以，解得. 所以过空间定点与、成角的直线共有3条时，. 8. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦函数的图像可得，由整体法得到或，解不等式即可求解. 【详解】因为函数在区间上恰有2个零点，则必有，解得：， 当时，， 要使函数在区间上恰有2个零点，结合正弦函数的图像可得： 情况一：，解得：， 情况二：，解得：， 所以要使函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设可得为等腰直角三角形，故可得半周期，从而可得的值及各点坐标，通过的坐标可求，从而可得判断各项的正误. 【详解】由题知的纵坐标为，又，所以，， 所以，所以的周期，所以，，故B正确； 所以，故C正确；，故A错误， 将代入函数解析式可得：，()，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，三棱锥中，为边长是的正三角形，底面，，是线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A. 点到平面PAQ的距离的最大值为 B. 三棱锥的内切球半径为 C. 与所成角可能为 D. 与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出距离的等式，进而求出距离的最大值； 选项B，可以利用等体积法计算内切球的半径，从而判断选项B； 选项C，利用坐标，表示出两条直线方向向量夹角余弦的绝对值，求出相关系数，即可得出判断； 选项D，当点为中点时，与平面所成角的正切值最大，从而判断选项D. 【详解】选项A，过作，由底面，，平面， 所以，. 建立以为正交基底的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，又在线段上， 则，，所以点坐标为. 因为底面，平面，所以，平面底面， 又平面底面， 因此，点到平面的距离等于点到的距离. 由，其中，为点到平面的距离， 为边也即边边上的高，为， 则， 易知当时，取最大值为，此时点与点重合. A正确； 选项B，设三棱锥的内切球半径为，由体积可得： ， 由题可得，所以中边上的高为， ，所以代入体积公式得： ， 解得，B正确； 选项C，由选项A的过程可得，， 所以. 若与所成角为，则， 即，化简得：，方程无解， 因此，与所成角不可能为，选项C错误； 选项D，过点作平面，垂足为，连接，， 则为与平面所成的角，所以. 易知为平面的高，由等体积法可得， 解得，所以， 当最小，即，最大，此时， 因此的最大值为，选项D正确. 11. 已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. D. 函数与函数的图象有8个不同的公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件先得到函数的对称性及周期性，进而判断ABC，画出函数与函数的图象，根据图象观察交点个数即可判断D. 【详解】由得函数关于对称，A正确； 由得函数关于对称， 所以，， 所以，即， 所以，故函数的周期为，B正确； 由知，， 又时，，所以，解得， 所以时，， 所以， ， ，C错误； 画出函数和函数的图象，如图： ，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量上的投影等于1，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量不等式可求解. 【详解】由向量在向量上的投影等于1，可知（向量、夹角） 又，，所以 当与反向，时，等号成立. 故答案为: 【点睛】此题考查利用向量不等式求最值，同时考查向量的投影概念，属于中档题. 13. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，问题转化为函数的图象和直线在上有两个交点，判断的单调性和最值，得解. 【详解】因为函数在上有两个零点， 所以函数与直线在上有两个交点， ，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 最大值为，又，， . 故答案为：. 14. 如图，矩形中，， 分别为边上的点，若，则的面积的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，，从而得，利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】解：设， 则， 则在中，易知则， 所以； 在中，易知则， 所以； 所以 ， 令， 因为，所以， 所以 ， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，时等号成立， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将三角形的面积化成关于的函数，再利用换元法及基本不等式求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求函数的单调递减区间； （2）当时函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， ，， 减区间为． 【小问2详解】 ，， 当时，有最小值为， 由已知，． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，E为的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用面面垂直可证明线面垂直和线线垂直，再利用中位线平行关系，可得到线面垂直，即可得三棱锥的高，从而利用体积关系求三棱锥的体积； (2)利用空间垂直关系可作出二面角的平面角，再通过计算即可得二面角的余弦值. 【小问1详解】 由，，，可得，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为， 因为E为的中点，三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积：； 【小问2详解】 由于E为的中点，所以取的中点为，连结可知：，， 因为平面，所以平面， 再取的中点为，连结可知：， 由梯形，，且，， 可知，从而可得，即， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 则就是二面角的平面角， 由勾股定理可得：， 所以. 17. 设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，． （1）求A； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换求出，即可得解； （2）由正弦定理可将周长的范围转化为正弦型函数的值域问题，计算即可得； （3）由三角形内切圆的性质可得，结合余弦定理计算即可得解. 【小问1详解】 由，可得, ， , ，又，则, ，又， . 【小问2详解】 由（1），由正弦定理得，， ， 因为为锐角三角形，所以， ，则， ， 所以的周长范围为. 【小问3详解】 由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即， 解得或（舍去）， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）证明：平面PBF． （2）若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，取PB的中点G，连接EG，GF． ，G分别是PA，PB的中点，，且． ，且，，, 四边形EGFD为平行四边形， ．又平面PBF，平面PBF，平面PBF； （2） 【解析】 【分析】（1）取PB的中点G，由、得四边形EGFD为平行四边形，再由线面平行判定定理可得答案； （2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PBF的法向量，再由线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向 建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，． 设平面PBF的法向量为，则， 取，则，所以， 则， 直线PD与平面PBF所成角的正弦值为． 19. 已知， （1）若，求的最大值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），对于给定实数，均有满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）若，解集为；若，解集为且；若，解集为. （3）当或时， ；当或时， ；当时，. 【解析】 【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数分析求解； （2）换元令，可得，分类讨论的符号，结合分式不等式求解； （3）令,，按照、、分类讨论，表示出，即可求解. 【小问1详解】 因为，可知的定义域为，此时， 若，则， 可得， 令，则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【小问2详解】 若，则， 对于，即， 令，则， 若，则，可得， 解得，可得； 若，则，可得， 解得，可得且； 若，则，可得， 解得或，可得或； 综上所述：若，解集为； 若，解集为且； 若，解集为. 【小问3详解】 令, 则, ①当时, , 当 时, 即 或 时, ； 当时, 即或时, , 所以; 当 时, . ②当时，, , 当 时, , 所以; 当 时, , 所以; 当 时,. ③当 时, 成立. 综上所述, 当或时， ； 当或时， ； 当时，. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键点令,，通过分类讨论表示出，再按照的范围分类求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第二学期期中模拟考试 高一数学试卷 命题人：顾侠 审题人：黄峰 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 2. 设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知向量满足且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（ ）度 A. 40 B. 40或70 C. 40或140 D. 90 8. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，三棱锥中，为边长是的正三角形，底面，，是线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A. 点到平面PAQ的距离的最大值为 B. 三棱锥的内切球半径为 C. 与所成角可能为 D. 与平面所成角的正切值的最大值为 11. 已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. D. 函数与函数的图象有8个不同的公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量上的投影等于1，则的最小值为______. 13. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围为________. 14. 如图，矩形中，， 分别为边上的点，若，则的面积的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求函数的单调递减区间； （2）当时函数的最小值为2，求实数的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，E为的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值． 17. 设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，． （1）求A； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）证明：平面PBF． （2）若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值． 19. 已知， （1）若，求的最大值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），对于给定实数，均有满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $