高中数学单元测试——第七章复数（适中版01）

高中数学单元测试 —— 第七章 复数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 2．（本题5分）已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）设，，则（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在复平面内，若复数，则对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（本题5分）设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（本题5分）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 10．（本题6分）若的两根为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D． 11．（本题6分）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 三、填空题 12．（本题5分）已知，复数，则___________. 13．（本题5分）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则_______________． 14．（本题5分）已知复数，若，则_____． 四、解答题 15．（本题13分）（1）计算：； （2）设，（，），且，求. 16．（本题15分）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 17．（本题15分）已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 18．（本题17分）已知复数（）. (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 19．（本题17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 复数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据复数的共轭复数的概念和复数虚部的概念即可解答. 【详解】，其虚部为. 故选：D. 2．（本题5分）已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】按照复数的乘法法则，计算，只需保证复数实部为，虚部不为即可. 【详解】由于复数，， 则， 若为纯虚数，只需， 解得. 故选：A. 3．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出复数，再根据复数的模的计算公式求出． 【详解】已知， 所以． ． 故选：D． 4．（本题5分）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义即可求解. 【详解】复数对应的点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是. 故选：B. 5．（本题5分）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数乘法运算及复数相等得出关于的关系式代入计算即可. 【详解】因为， 所以， 故， 故选：A. 6．（本题5分）在复平面内，若复数，则对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念，以及复数与复平面内点的对应关系，判断结果. 【详解】由，计算得，则，对应复平面内的坐标为，在第三象限. 故选：C. 7．（本题5分）设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算，利用复数相等列出等式求解即可. 【详解】假设，则， 所以，解得， 故，，复数对应的点为，在第一象限 故选：A 8．（本题5分）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项；利用纯虚数的概念可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误； 对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：ABD. 10．（本题6分）若的两根为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出判断BD；借助韦达定理求出判断A；由复数的意义判断C. 【详解】由的两根为，且，则， 对于A，，即，因此，A正确； 对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B错误； 对于C，的虚部为，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 11．（本题6分）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 【答案】AD 【分析】根据复数相等的概念解方程即可判断AB，根据共轭复数也是对应的方程的根判断CD. 【详解】由于是关于的方程的根， 所以，即， 因为， 所以，解得，故A正确，B错误； 所以关于的方程 将代入上述方程得：， 即也是关于的方程的根，故C错误； 所以， 则，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）已知，复数，则___________. 【答案】5 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等求得，再根据复数模的公式求解即可. 【详解】由， 则，解得， 所以. 故答案为：5. 13．（本题5分）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则_______________． 【答案】 【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可. 【详解】解： 故答案为： 14．（本题5分）已知复数，若，则_____． 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算可得，再由除法运算计算可得结果. 【详解】易知， 所以由可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）（1）计算：； （2）设，（，），且，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）（2）运用复数加减运算及复数相等求解即可. 【详解】（1）原式＝. （2）因为，，， 所以， 所以，解得， 所以. 16．（本题15分）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【详解】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. （2）已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 17．（本题15分）已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求出，再利用复数的模长公式计算即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得， 则，所以，故． （2）由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 18．（本题17分）已知复数（）. (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求出对应点的坐标，再出不等式求解. （2）（i）由复数相等求出，利用方程根的意义，结合复数相等求出另一根；（ii）由（i）的信息，结合复数的几何意义求出范围. 【详解】（1）复数在复平面上对应点落在第四象限， 则，解得， 所以实数m的范围是. （2）（i）由，得， 由，得，解得， 则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根， 则，即， 于是，解得，，原方程为， 即，解得， 所以该方程的另一复数根为. （ii）由（i）知，为，表示复平面内复数对应点与点的距离为1， 因此在复平面内复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示点到原点的距离，又， 则，即， 所以的范围是. 19．（本题17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $