高中数学单元测试——第七章复数（较难版02）

高中数学单元测试 —— 第七章 复数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 2．（本题5分）已知复数()是纯虚数，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 3．（本题5分）若，，则（   ） A． B． C．3 D． 4．（本题5分）在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823－1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（本题5分）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．实轴上的点表示的数均为实数 B．虚轴上的点表示的数均为纯虚数 C．共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 D．若为实数，则为纯虚数 10．（本题6分）若复数z满足，则（    ） A． B．是纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则 11．（本题6分）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知，，是虚数单位．若，则______． 13．（本题5分）设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 14．（本题5分）已知i为虚数单位，，且，则_____________. 四、解答题 15．（本题13分）计算下列各题: (1)； (2). 16．（本题15分）已知是虚数单位，复数． (1)若，求实数的值； (2)若在复平面内对应的点在直线的左上方，求的取值范围． 17．（本题15分）已知是复数，，均为实数，且复数在复平面上对应的点在第四象限． (1)求复数； (2)试求实数的取值范围． 18．（本题17分）已知是关于x的方程的一个根. (1)求p，q的值及方程的另一个根； (2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； (3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 19．（本题17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 复数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据复数的共轭复数的概念和复数虚部的概念即可解答. 【详解】，其虚部为. 故选：D. 2．（本题5分）已知复数()是纯虚数，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】先求得，进而可得. 【详解】∵是纯虚数，且，∴，∴. 故选：B. 3．（本题5分）若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先求出，再根据复数模的计算公式计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A 4．（本题5分）在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到，设点对应的复数为，列出方程组，即可求解. 【详解】由等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限， 则点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到， 因为点对应的复数为，设点对应的复数为，其中， 则满足，解得，所以点所对应的复数为. 故选：C． 5．（本题5分）数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823－1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法与复数相等的条件求解即可 【详解】，由， 可得，即得． 故选：B. 6．（本题5分）设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算，利用复数相等列出等式求解即可. 【详解】假设，则， 所以，解得， 故，，复数对应的点为，在第一象限 故选：A 7．（本题5分）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法与加法运算计算即可. 【详解】因为 所以. 故选：A 8．（本题5分）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．实轴上的点表示的数均为实数 B．虚轴上的点表示的数均为纯虚数 C．共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 D．若为实数，则为纯虚数 【答案】AC 【分析】根据复数的分类和实轴、虚轴的性质进行逐一判断即可. 【详解】A：因为实轴上的点表示的数均为实数，所以本选项说法正确； B：因为虚轴上的点（除原点外）表示的数均为纯虚数，所以本选项说法不正确； C：根据共轭复数的定义可知：共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以本选项说法正确； D：当时，，而是实数不是纯虚数，所以本选项说法不正确， 故选：AC 10．（本题6分）若复数z满足，则（    ） A． B．是纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则 【答案】AB 【分析】对A，根据复数的除法计算即可；对B，根据纯虚数的定义判断即可；对C，根据复平面内象限的性质判断即可；对D，根据三角函数关系计算即可 【详解】对A，，故A正确； 对B，为纯虚数，故B正确； 对C，在复平面内对应的点在第一象限，C错误； 对D，，故D错误； 故选：AB 11．（本题6分）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质判断各个选项即可. 【详解】是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，A选项正确；B选项错误； ，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）已知，，是虚数单位．若，则______． 【答案】 【分析】根据复数的运算整理其为标准式，由复数相等建立方程组，可得答案. 【详解】由， 则，解得，所以. 故答案为：. 13．（本题5分）设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 【答案】0或2 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【详解】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 14．（本题5分）已知i为虚数单位，，且，则_____________. 【答案】0，–2或2 【分析】因为具有周期性，分别计算取时的值即可得解. 【详解】因为的周期为4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 又因为, 所以时，， 综上，. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）计算下列各题: (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可； （2）利用复数的四则运算求解即可. 【详解】（1） . ； （2） . . 16．（本题15分）已知是虚数单位，复数． (1)若，求实数的值； (2)若在复平面内对应的点在直线的左上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据复数为实数列式求解即可，注意去掉增根． （2）结合复数的几何意义和点的坐标特征列不等式，解一元二次不等式即可． 【详解】（1）因为，所以，则，解得或． 又因为，所以，所以． （2）由在复平面内对应的点在直线的左上方， 得，即， 所以或，所以实数的取值范围是. 17．（本题15分）已知是复数，，均为实数，且复数在复平面上对应的点在第四象限． (1)求复数； (2)试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，代入，化简后，根据均为实数，列出关于，的方程组求解即可； （2）由复数在复平面上对应的点在第四象限，化简后根据实部大于，虚部小于，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）设，，， 由，均为实数，得到，解得，， 所以. （2）由（1）得到复数， 因为在复平面上对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 18．（本题17分）已知是关于x的方程的一个根. (1)求p，q的值及方程的另一个根； (2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； (3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 【答案】(1)， (2)结论、证明见解析 (3)以为圆心，3为半径的圆 【分析】（1）代入方程的根，由复数相等求得参数，由求根公式求得另一个根即可； （2）由求根公式可知，韦达定理在复数范围内通用适用，由此即可得解； （3）由复数的模的计算公式及其几何意义即可求解. 【详解】（1）因为是关于x的方程的一个根， 所以有，整理得. 故有，解得. 可得方程的根为， 所以另一个根为； （2）猜想：实系数一元二次方程在复数集C内的根为，则， 验证：方程的根为， ； （3）由（1）可知可化为， 所以，表示点与点的距离为定长3， 故复平面内满足的动点的集合是以为圆心，3为半径的圆. 19．（本题17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $