高中数学单元测试——第七章复数（较易版02）

高中数学单元测试 —— 第七章 复数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 2．（本题5分）已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（本题5分）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 4．（本题5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 6．（本题5分）若复数的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知，且，i为虚数单位，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中正确的是（　　） A．若x是实数，则x是复数 B．若z是虚数，则z不是实数 C．复数与（R）不可能相等 D．没有平方根 10．（本题6分）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C．的共轭复数 D． 11．（本题6分）记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知是的共轭复数，其中，则=______ 13．（本题5分）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则_______________． 14．（本题5分）已知，则______. 四、解答题 15．（本题13分）计算： (1) (2) 16．（本题15分）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 17．（本题15分）已知复数，且，a为实数. (1)求实数a的值； (2)若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 18．（本题17分）已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 19．（本题17分）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 复数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据复数的共轭复数的概念和复数虚部的概念即可解答. 【详解】，其虚部为. 故选：D. 2．（本题5分）已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】按照复数的乘法法则，计算，只需保证复数实部为，虚部不为即可. 【详解】由于复数，， 则， 若为纯虚数，只需， 解得. 故选：A. 3．（本题5分）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据复数的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】， 所以. 故选：B. 4．（本题5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得到，再由除法运算即可求解. 【详解】由题意，则， 故选：C． 5．（本题5分）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 6．（本题5分）若复数的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以. 故选：B 7．（本题5分）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法与加法运算计算即可. 【详解】因为 所以. 故选：A 8．（本题5分）已知，且，i为虚数单位，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设，由可知z对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由此可确定的最大值． 【详解】解：∵，故设，， ∴， ∴， 故复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵表示圆上的点到点的距离， ∴的最大值是， 故选：B． 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中正确的是（　　） A．若x是实数，则x是复数 B．若z是虚数，则z不是实数 C．复数与（R）不可能相等 D．没有平方根 【答案】ABC 【分析】利用复数的概念及复数相等的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，实数集是复数集的真子集，A正确； 对于B，若z是虚数，则z一定不是实数，B正确； 对于C，由a，b均为实数，且这两个复数的虚部不相等，得这两个复数不可能相等，C正确； 对于D，因为的平方根为，D错误． 故选：ABC 10．（本题6分）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C．的共轭复数 D． 【答案】CD 【分析】由复数的乘、除法运算化简复数可判断A；由复数的几何意义可判断B；由共轭复数的定义可判断C；由复数的模长公式可判断D. 【详解】， 对于A，的虚部为，故A错误； 对于B，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B错误； 对于C，的共轭复数，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 11．（本题6分）记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据方程在复数上的根结合韦达定理求解复数根，，，逐项判断即可得结论. 【详解】由方程可得， 该方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中， 所以，，是方程在复数上的两根， 则，故A，B正确； 设，则可得， 所以解得或， 故，两根为， 则，故C正确； ，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）已知是的共轭复数，其中，则=______ 【答案】 【分析】求出，再根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 13．（本题5分）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则_______________． 【答案】 【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可. 【详解】解： 故答案为： 14．（本题5分）已知，则______. 【答案】 【分析】先根据复数的乘法及除法运算化简复数，再代入计算乘方得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】， ， . 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用复数的乘方运算、乘法运算计算即得. （2）利用复数的乘方运算、除法运算计算即得. 【详解】（1） . （2）. 16．（本题15分）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【详解】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. （2）已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 17．（本题15分）已知复数，且，a为实数. (1)求实数a的值； (2)若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数运算化简条件，结合复数模的公式列方程求； （2）由条件，根据纯虚数的定义求，结合共轭复数定义，复数运算法则再求，根据复数的几何意义列不等式求的范围； 【详解】（1），      （2）为纯虚数， ，且 ∴， 又 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则， 解得.因此，实数的取值范围是. 18．（本题17分）已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，得到，再利用虚数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用复数的运算及复数相等，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义得构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环，即可求解. 【详解】（1）因为，则，所以. （2）将代入方程得，整理得到， 则，得． （3）设，则， 所以点构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环， 所以面积为． 19．（本题17分）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②存在，. 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、，. （2）（）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、， （）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点M的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）（ⅰ）设，，则， 设对应的复数为，则， 设对应的复数为，， （ⅰi）设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $