高中数学单元测试——第七章复数（适中版02）

高中数学单元测试 —— 第七章 复数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据复数的共轭复数的概念和复数虚部的概念即可解答. 【详解】，其虚部为. 故选：D. 2．（本题5分）已知复数()是纯虚数，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】先求得，进而可得. 【详解】∵是纯虚数，且，∴，∴. 故选：B. 3．（本题5分）已知复数，为z的共轭复数，则（   ） A．2 B． C．4 D．10 【答案】B 【分析】根据复数的运算先求复数，进而得，即可求. 【详解】由题意有，所以，所以， 故选：B. 4．（本题5分）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义即可求解. 【详解】复数对应的点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是. 故选：B. 5．（本题5分）数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823－1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法与复数相等的条件求解即可 【详解】，由， 可得，即得． 故选：B. 6．（本题5分）若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由复数除法、共轭复数的概念、模的计算公式即可求解. 【详解】，. 故选：A. 7．（本题5分）设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算，利用复数相等列出等式求解即可. 【详解】假设，则， 所以，解得， 故，，复数对应的点为，在第一象限 故选：A 8．（本题5分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意确定出费马点的位置，进而可求得结果. 【详解】设，则表示点到三顶点、、的距离之和. 依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则. 此时. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）以下四个关于复数的结论，正确的是（    ） A．任意两个复数不能比大小 B． C． D．复数且 【答案】CD 【分析】根据复数的有关定义与性质分别判断即可. 【详解】对于A，当两个复数都是实数时，才可以比较大小，所以A错误； 对于B，当则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以由可以得到，故C正确； 对于D，若复数，则且，故D正确. 故选：CD. 10．（本题6分）若复数z满足，则（    ） A． B．是纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则 【答案】AB 【分析】对A，根据复数的除法计算即可；对B，根据纯虚数的定义判断即可；对C，根据复平面内象限的性质判断即可；对D，根据三角函数关系计算即可 【详解】对A，，故A正确； 对B，为纯虚数，故B正确； 对C，在复平面内对应的点在第一象限，C错误； 对D，，故D错误； 故选：AB 11．（本题6分）记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据方程在复数上的根结合韦达定理求解复数根，，，逐项判断即可得结论. 【详解】由方程可得， 该方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中， 所以，，是方程在复数上的两根， 则，故A，B正确； 设，则可得， 所以解得或， 故，两根为， 则，故C正确； ，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）若，其中为虚数单位，则______. 【答案】7 【分析】根据复数的乘法法则及复数相等求出即可得解. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：7 13．（本题5分）在复数范围内分解因式______． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 14．（本题5分）若复数，则_________. 【答案】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数乘方法则计算可得. 【详解】因为， 又，，，所以， 所以 . 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）（1）计算：； （2）设，（，），且，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）（2）运用复数加减运算及复数相等求解即可. 【详解】（1）原式＝. （2）因为，，， 所以， 所以，解得， 所以. 16．（本题15分）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）由题意得且，解得； （2）由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 17．（本题15分）已知复数，且，a为实数. (1)求实数a的值； (2)若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数运算化简条件，结合复数模的公式列方程求； （2）由条件，根据纯虚数的定义求，结合共轭复数定义，复数运算法则再求，根据复数的几何意义列不等式求的范围； 【详解】（1），      （2）为纯虚数， ，且 ∴， 又 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则， 解得.因此，实数的取值范围是. 18．（本题17分）已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，得到，再利用虚数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用复数的运算及复数相等，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义得构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环，即可求解. 【详解】（1）因为，则，所以. （2）将代入方程得，整理得到， 则，得． （3）设，则， 所以点构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环， 所以面积为． 19．（本题17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 复数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 2．（本题5分）已知复数()是纯虚数，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 3．（本题5分）已知复数，为z的共轭复数，则（   ） A．2 B． C．4 D．10 4．（本题5分）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823－1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 7．（本题5分）设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（本题5分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）以下四个关于复数的结论，正确的是（    ） A．任意两个复数不能比大小 B． C． D．复数且 10．（本题6分）若复数z满足，则（    ） A． B．是纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则 11．（本题6分）记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）若，其中为虚数单位，则______. 13．（本题5分）在复数范围内分解因式______． 14．（本题5分）若复数，则_________. 四、解答题 15．（本题13分）（1）计算：； （2）设，（，），且，求. 16．（本题15分）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 17．（本题15分）已知复数，且，a为实数. (1)求实数a的值； (2)若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 18．（本题17分）已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 19．（本题17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $