高中数学单元测试——第七章复数（较易版01）

高中数学单元测试 —— 第七章 复数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据复数的共轭复数的概念和复数虚部的概念即可解答. 【详解】，其虚部为. 故选：D. 2．（本题5分）复数是纯虚数的充要条件是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件及纯虚数的定义判断即可． 【详解】若复数是纯虚数，则，； 若，，则是纯虚数， 所以复数是纯虚数的充要条件是且． 故选：A． 3．（本题5分）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据复数的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】， 所以. 故选：B. 4．（本题5分）已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据复平面内点的坐标将复数表示出来，然后求出共轭复数的表达式，最后求出答案. 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标是， 所以. 所以共轭复数为：. 所以. 故选：C. 5．（本题5分）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 6．（本题5分）若复数的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以. 故选：B 7．（本题5分）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数的除法运算得到，进而可求解. 【详解】， 其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 8．（本题5分）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．实轴上的点表示的数均为实数 B．虚轴上的点表示的数均为纯虚数 C．共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 D．若为实数，则为纯虚数 【答案】AC 【分析】根据复数的分类和实轴、虚轴的性质进行逐一判断即可. 【详解】A：因为实轴上的点表示的数均为实数，所以本选项说法正确； B：因为虚轴上的点（除原点外）表示的数均为纯虚数，所以本选项说法不正确； C：根据共轭复数的定义可知：共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以本选项说法正确； D：当时，，而是实数不是纯虚数，所以本选项说法不正确， 故选：AC 10．（本题6分）若复数z满足，则（    ） A． B．是纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则 【答案】AB 【分析】对A，根据复数的除法计算即可；对B，根据纯虚数的定义判断即可；对C，根据复平面内象限的性质判断即可；对D，根据三角函数关系计算即可 【详解】对A，，故A正确； 对B，为纯虚数，故B正确； 对C，在复平面内对应的点在第一象限，C错误； 对D，，故D错误； 故选：AB 11．（本题6分）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 【答案】AD 【分析】根据复数相等的概念解方程即可判断AB，根据共轭复数也是对应的方程的根判断CD. 【详解】由于是关于的方程的根， 所以，即， 因为， 所以，解得，故A正确，B错误； 所以关于的方程 将代入上述方程得：， 即也是关于的方程的根，故C错误； 所以， 则，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）已知，则复数_______． 【答案】 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为： 13．（本题5分）在复数范围内分解因式______． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 14．（本题5分）已知，则______. 【答案】 【分析】先根据复数的乘法及除法运算化简复数，再代入计算乘方得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】， ， . 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算化简得复数z； （2）利用复数的四则运算和复数的相等，列方程求实数a，b的值． 【详解】（1）； （2），则有， 解得. 16．（本题15分）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）由题意得且，解得； （2）由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 17．（本题15分）已知复数，且，a为实数. (1)求实数a的值； (2)若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数运算化简条件，结合复数模的公式列方程求； （2）由条件，根据纯虚数的定义求，结合共轭复数定义，复数运算法则再求，根据复数的几何意义列不等式求的范围； 【详解】（1），      （2）为纯虚数， ，且 ∴， 又 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则， 解得.因此，实数的取值范围是. 18．（本题17分）已知复数（）. (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求出对应点的坐标，再出不等式求解. （2）（i）由复数相等求出，利用方程根的意义，结合复数相等求出另一根；（ii）由（i）的信息，结合复数的几何意义求出范围. 【详解】（1）复数在复平面上对应点落在第四象限， 则，解得， 所以实数m的范围是. （2）（i）由，得， 由，得，解得， 则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根， 则，即， 于是，解得，，原方程为， 即，解得， 所以该方程的另一复数根为. （ii）由（i）知，为，表示复平面内复数对应点与点的距离为1， 因此在复平面内复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示点到原点的距离，又， 则，即， 所以的范围是. 19．（本题17分）已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为．复数单位根在代数、分析、信号处理和几何学等领域都有广泛的应用．例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点逆时针旋转得到，则对应的复数为．此外，在数字信号处理中，单位根用于设计滤波器，以选择或抑制特定频率的示性信号． (1)方程在复数域上的两根为，将对应的向量逆时针旋转后得到，记对应的复数为，请求出（结果用代数形式表示）； (2)已知定义在整数集上的示性函数，在复平面上的正三角形顶点三点分别对应的复数为，若存在使得，则称为正三角形数．若为正三角形数，求； (3)一个圆环上系有个绳结，且圆环上每个绳结的位置都不相同，现有两种打结方式分别可以得到型绳结，每个绳结等可能地采用两种打结方式．记顺序相邻的5个绳结中恰有1，2，3，4个型绳结的组数分别为，证明：是5的倍数． 【答案】(1) (2)1 (3)证明过程见解析 【分析】（1）直接计算即可求解； （2）合理的取，根据新定义求得，进一步得，从而即可求解； （3）把原式变成，故只需想办法证明是5的倍数即可. 【详解】（1）对于，它的两个根为， 不妨设， 从而； （2）由题意不妨设正的边长为，它的三个顶点分别为， 则， 若存在使得， 即若存在使得， 注意到，从而有， 对两边同时乘以，可得； 对两边同时乘以，可得， 观察发现具有轮换对称性，从而地位一样， 故， 又因为， 所以， 当时， 设， 此时； 当时， 设， 此时； 当时， 设， 此时； 综上所述，； （3）为了方便起见，记顺序相邻的5个绳结中恰有1，2，3，4个型绳结的组数分别为， 故只需证明是五的倍数， 所以， 设圆环上总共有个型绳结，由于每个型绳结属于5个不同的顺序相邻的5个绳结组， 故所有顺序相邻的5个绳结组中绳结的总数为，其中表示顺序相邻的5个绳结中全是绳结的绳结组的组数， 所以，也就是说是5的倍数， 又因为也是5的倍数， 从而是5的倍数，命题得证. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 复数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 2．（本题5分）复数是纯虚数的充要条件是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（本题5分）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 4．（本题5分）已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 6．（本题5分）若复数的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（本题5分）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．实轴上的点表示的数均为实数 B．虚轴上的点表示的数均为纯虚数 C．共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 D．若为实数，则为纯虚数 10．（本题6分）若复数z满足，则（    ） A． B．是纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则 11．（本题6分）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 三、填空题 12．（本题5分）已知，则复数_______． 13．（本题5分）在复数范围内分解因式______． 14．（本题5分）已知，则______. 四、解答题 15．（本题13分）已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值． 16．（本题15分）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 17．（本题15分）已知复数，且，a为实数. (1)求实数a的值； (2)若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 18．（本题17分）已知复数（）. (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 19．（本题17分）已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为．复数单位根在代数、分析、信号处理和几何学等领域都有广泛的应用．例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点逆时针旋转得到，则对应的复数为．此外，在数字信号处理中，单位根用于设计滤波器，以选择或抑制特定频率的示性信号． (1)方程在复数域上的两根为，将对应的向量逆时针旋转后得到，记对应的复数为，请求出（结果用代数形式表示）； (2)已知定义在整数集上的示性函数，在复平面上的正三角形顶点三点分别对应的复数为，若存在使得，则称为正三角形数．若为正三角形数，求； (3)一个圆环上系有个绳结，且圆环上每个绳结的位置都不相同，现有两种打结方式分别可以得到型绳结，每个绳结等可能地采用两种打结方式．记顺序相邻的5个绳结中恰有1，2，3，4个型绳结的组数分别为，证明：是5的倍数． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $