高中数学单元测试——第七章复数（较难版01）

高中数学单元测试 —— 第七章 复数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 2．（本题5分）已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（本题5分）复数，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知复数z满足，则（   ） A．4 B． C．2 D． 6．（本题5分）设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（本题5分）若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 8．（本题5分）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆. B．复数的虚部为. C．若，则复平面内对应的点位于第二象限. D． 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中正确的是（　　） A．若x是实数，则x是复数 B．若z是虚数，则z不是实数 C．复数与（R）不可能相等 D．没有平方根 10．（本题6分）若的两根为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D． 11．（本题6分）若，是关于的方程的两个虚根，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）若，其中为虚数单位，则______. 13．（本题5分）设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 14．（本题5分）计算 __________. 四、解答题 15．（本题13分）计算： (1) (2) 16．（本题15分）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 17．（本题15分）已知是复数，，均为实数，且复数在复平面上对应的点在第四象限． (1)求复数； (2)试求实数的取值范围． 18．（本题17分）已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 19．（本题17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 复数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据复数的共轭复数的概念和复数虚部的概念即可解答. 【详解】，其虚部为. 故选：D. 2．（本题5分）已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】按照复数的乘法法则，计算，只需保证复数实部为，虚部不为即可. 【详解】由于复数，， 则， 若为纯虚数，只需， 解得. 故选：A. 3．（本题5分）复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，故. 故选：D. 4．（本题5分）已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义得，，然后利用向量的共线坐标运算列式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得. 故选：A. 5．（本题5分）已知复数z满足，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用复数运算法则计算可得，再利用共轭复数定义计算即可得解. 【详解】，则， 故， 故. 故选：C. 6．（本题5分）设i是虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算，利用复数相等列出等式求解即可. 【详解】假设，则， 所以，解得， 故，，复数对应的点为，在第一象限 故选：A 7．（本题5分）若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由复数除法、共轭复数的概念、模的计算公式即可求解. 【详解】，. 故选：A. 8．（本题5分）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆. B．复数的虚部为. C．若，则复平面内对应的点位于第二象限. D． 【答案】D 【分析】对于A：由减法的几何意义判断出的轨迹是线段的垂直平分线，故A选项不正确； 对于B：利用复数的定义直接判断； 对于C：利用复数的几何意义直接判断； 对于D：直接计算可得. 【详解】对于A：表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故A选项不正确. 对于B：的虚部为，故B选项错误. 对于C：，对应坐标为在第三象限，故C选项错误. 对于D：，故D选项正确. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中正确的是（　　） A．若x是实数，则x是复数 B．若z是虚数，则z不是实数 C．复数与（R）不可能相等 D．没有平方根 【答案】ABC 【分析】利用复数的概念及复数相等的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，实数集是复数集的真子集，A正确； 对于B，若z是虚数，则z一定不是实数，B正确； 对于C，由a，b均为实数，且这两个复数的虚部不相等，得这两个复数不可能相等，C正确； 对于D，因为的平方根为，D错误． 故选：ABC 10．（本题6分）若的两根为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出判断BD；借助韦达定理求出判断A；由复数的意义判断C. 【详解】由的两根为，且，则， 对于A，，即，因此，A正确； 对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B错误； 对于C，的虚部为，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 11．（本题6分）若，是关于的方程的两个虚根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解方程可得，不妨令，分别计算各选项即可判断. 【详解】因为，所以， 根据求根公式可得， 又，是关于的方程的两个虚根，不妨令. 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）若，其中为虚数单位，则______. 【答案】7 【分析】根据复数的乘法法则及复数相等求出即可得解. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：7 13．（本题5分）设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 【答案】0或2 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【详解】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 14．（本题5分）计算 __________. 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为 ， 所以. 所以 . 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用复数的乘方运算、乘法运算计算即得. （2）利用复数的乘方运算、除法运算计算即得. 【详解】（1） . （2）. 16．（本题15分）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）由题意得且，解得； （2）由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 17．（本题15分）已知是复数，，均为实数，且复数在复平面上对应的点在第四象限． (1)求复数； (2)试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，代入，化简后，根据均为实数，列出关于，的方程组求解即可； （2）由复数在复平面上对应的点在第四象限，化简后根据实部大于，虚部小于，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）设，，， 由，均为实数，得到，解得，， 所以. （2）由（1）得到复数， 因为在复平面上对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 18．（本题17分）已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，得到，再利用虚数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用复数的运算及复数相等，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义得构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环，即可求解. 【详解】（1）因为，则，所以. （2）将代入方程得，整理得到， 则，得． （3）设，则， 所以点构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环， 所以面积为． 19．（本题17分）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $