专题3.3 等可能事件的概率【高效同步培优讲义】知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共47题-2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册

本讲义聚焦等可能事件的概率这一核心知识点，系统梳理概率的定义、等可能结果下的概率公式（P(A)=m/n）及频率与概率的关系，搭建从概念理解到计算应用的学习支架，衔接概率初步的基础内容。 资料特色在于知识梳理与11类题型讲练结合，涵盖列举结果、判断等可能、游戏公平性等实际应用，通过中考真题和分层训练（基础夯实、创新拓展），培养抽象能力、运算能力与应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.3 等可能事件的概率『第三章 概率初步』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共47题） 〔解析版〕 1 知识点一 概率 1 知识点二 频率与概率 2 重点难点 考点讲练 2 题型1：列举随机实验的所有可能结果 2 题型2：判断实验所得结果是否是等可能的 3 题型3：列举法求概率 4 题型4：根据概率公式计算概率 6 题型5：根据概率作判断 6 题型6：已知概率求数量 8 题型7：游戏的公平性 10 题型8：几何概率 11 题型9：概率在转盘抽奖中的应用 12 题型10：概率在比赛中的应用 14 题型11：概率的其他应用 15 中考真题 实战演练 17 难度分层 闯关训练 20 【基础夯实 能力提升】 20 【创新拓展 拔尖冲刺】 26 知识点一 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点二 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 题型1：列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（24-25七年级下·西藏·自主招生）班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【思路点拨】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 【变式训练】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）自五月中旬开始，教育局开始组织县域内各校八年级学生进行生物实验加试，某校把参加加试的学生分成5个组，以抽签方式决定各组加试顺序，工作人员准备背面完全一样的5张纸牌，在纸牌的另一面分别写上1，2，3，4，5，将纸牌洗均后背面朝上，由每个组的带队老师随机抽取一张纸牌，请思考以下问题： (1)抽到的数字有几种可能的结果？ (2)抽到纸牌数字是1的概率是多少？ (3)抽到纸牌数字大于3的概率是多少？ 【答案】(1)有5种结果 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了简单事件的概率，求出所有可能结果数及事件发生的可能结果数，即可求得概率． （1）根据纸牌数即可确定抽到的可能结果数； （2）由简单事件概率公式即可求解； （3）由简单事件概率公式即可求解． 【规范解答】（1）解：背面朝上且完全一样的5张纸牌随机抽取，有5种结果，且被抽取的可能性是相同的． （2）解：共有5种结果，每种结果出现的可能性是相同的， 所以抽纸牌1的概率为； （3）解：有5种等可能结果，大于3的有4和5两种结果， 所以抽纸牌大于3的概率为． 题型2：判断实验所得结果是否是等可能的 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【思路点拨】根据概率和事件的分类进行逐项分析即可． 【规范解答】解：A、天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，只是可能性较大，非必然事件，原说法错误，不符合题意； B、某彩票中奖率为5%，即为每张彩票的中奖率均为5%，则最后一张中奖的概率仍为5%，原说法正确，符合题意； C、任意抛掷一枚图钉10次，不能代表全部情况，则抛掷一枚图钉针尖向上不是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，但是这两种情况不是等可能的情况，所以中靶的概率不为，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【规范解答】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 题型3：列举法求概率 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 【答案】 【思路点拨】本题考查了列举法求概率，列举出所有组合，再由概率公式求解即可． 【规范解答】解：4人中选2人，基本事件有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，抽中甲乙只是其中的一种，所以抽中甲乙的概率：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；若抽到所印数字比6小，则小亮去． (1)求抽到印有6的卡片的概率； (2)求抽到所印数字为偶数的概率； (3)你认为这个办法对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)游戏公平，理由见解析 【思路点拨】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）直接利用概率公式求解； （2）直接利用概率公式求解； （3）分别计算出小明和小亮到社区服务的概率，然后比较两概率的大小可判断此游戏是否公平． 【规范解答】（1）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到印有6的卡片的有种， ∴抽到印有6的卡片的概率为； （2）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字为偶数的有种， ∴抽到所印数字为偶数的概率为； （3）解：游戏公平，理由为： 抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字比6大的有种，抽到所印数字比6小的有种， ∴抽到所印数字比6大的概率为；抽到所印数字比6小的概率为； 故小明和小亮到社区服务的可能性相同，游戏公平． 题型4：根据概率公式计算概率 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某校举行演讲比赛，计划在七年级选取1名主持人，报名情况如下：七年级（1）班有2人报名，七年级（2）班有4人报名，七年级（3）班有6人报名．若从报名的同学中随机选取1名主持人，则七年级（1）班同学当选的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式，用七年级（1）班的报名人数除以总报名人数即可求解 【规范解答】解：∵总报名人数为人，七年级（1）班有人报名， ∴概率为． 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·重庆·期末）一个不透明的袋子中装有5个黑球，6个白球，1个黄球，每个球除颜色外均相同．任意摸出一个球，是黄球的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是求解随机事件的概率，总球数为12，黄球有1个，结合概率公式计算摸到黄球的概率即可． 【规范解答】解：袋子中球的总数为5个黑球、6个白球和1个黄球，即总数为12个球． ∵黄球有1个， ∴摸到黄球的概率为． 故答案为：． 题型5：根据概率作判断 【典例精讲】（24-25七年级下·广东佛山·期末）某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1-9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中为石湾公仔，为佛山剪纸，为盲公饼，为木版年画，为谢谢参与． (1)事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ (2)若“②奖牌反面”中出现的次数是的2倍，则（抽到）________； (3)请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“”； *（抽到） （抽到） （抽到） （抽到）． 【答案】(1)随机事件； (2)； (3)详见解答． 【思路点拨】本题考查概率公式，随机事件． （1）根据随机事件的定义进行判断即可； （2）根据题意得到“A出现2次，B出现1次”，再根据概率的定义进行计算即可； （3）根据“格子的总数”，包含“A、B、C、E”，且（抽到） （抽到） （抽到） （抽到）调查答案即可． 【规范解答】（1）解：事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是随机事件； （2）若“②奖牌反面”中A出现的次数是B的2倍，根据图②奖牌反面的分布情况可知，A出现2次，B出现1次， 所以P（抽到A） ， 故答案为：； （3）由于一共是9个格，包含“A、B、C、E”，且（抽到） （抽到） （抽到） （抽到）． 所以C和E各占一格，还剩7格，B占4格，A占3格即可．（答案不唯一） 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）如图是一个材质均匀的转盘，转盘被等分成8个扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，转动一次转盘，转盘停止后（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘）： (1)求指针指向红色扇形的概率． (2)指针指向红色扇形的概率大，还是绿色扇形的概率大？为什么？ 【答案】(1) (2)指向绿色扇形的概率大，理由见解析 【思路点拨】本题考查了根据概率公式计算概率． 如果一次试验中，包含n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率． （1）将红色扇形的结果数和总结果数代入上述公式即可． （2）分别求出指针指向红色扇形的概率和绿色扇形的概率，比较大小即可． 【规范解答】（1）解：被等分的8个扇形中，红色扇形有2个， 指针指向红色扇形的概率为． （2）指针指向绿色扇形的概率大． ∵指针指向红色扇形的概率为，指针指向绿色扇形的概率为， ∵， ∴指针指向绿色扇形的概率大． 题型6：已知概率求数量 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）一个袋子中装有红、白、黄三种颜色的球（这些球除颜色外其余完全相同），小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球的频率分别稳定在和，且白球有8个． (1)求袋子中球的总数； (2)求摸到黄球的概率． 【答案】(1)20 (2) 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率． （1）根据摸到白球的频率稳定在，且白球有8个，列式计算即可； （2）先根据红球的频率求出红球的个数，再求出黄球的个数，最后利用概率公式即可得到结论． 【规范解答】（1）解：因为摸到白球的频率稳定在 ，且白球有8个， 则球的总数为（个）； （2）解：红球频率为， 则红球个数为（个）， 黄球个数为（个）， 摸到黄球的概率． 【变式训练】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一个不透明盒子中装有8张红色卡牌和6张白色卡牌，两种卡牌除颜色外完全相同，将盒子中的卡牌充分摇匀． (1)求随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率； (2)为了使取出两种卡牌的概率相同，再向盒子中放入红色卡牌和白色卡牌共6张，求再放入的白色卡牌的张数． 【答案】(1) (2)再放入的白色卡牌的张数为4张 【思路点拨】本题考查求概率，利用概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）设再放入的白色卡牌张，进而得到放入红色卡牌张，根据取出两种卡牌的概率相同，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率为； （2）设再放入的白色卡牌张，则放入红色卡牌张，由题意，得： ， 解得：； 答：再放入的白色卡牌的张数为4张． 题型7：游戏的公平性 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说， （填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【思路点拨】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 计算甲获胜和乙获胜的概率，比较两者是否相等． 【规范解答】解：总牌数为张，甲获胜需抽到至的牌，共张； 乙获胜需抽到以下的牌，共张； 甲获胜概率为，乙获胜概率为，两者不相等，故不公平． 故答案为：不公平． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了简单的概率公式及游戏公平性的判断，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据简单的概率公式求解即可； （2）根据题意，转出的数字是的倍数只有两个，不是的倍数有四个，从而判断得出答案． 【规范解答】（1）解：随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平，理由如下： 转盘中的倍数有和两个数，而不是的倍数有共四个数， ∴小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 题型8：几何概率 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的知识点是几何概率，解题关键是理解飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 根据几何概率的定义：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 【规范解答】解：总面积为， 其中阴影部分的面积为， 飞镖停留在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·广东茂名·期末）如图，在的正方形网格中，已将部分小正方形涂上阴影，有一只小虫自由地落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是几何概率，用到的知识点是概率公式．求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值即可求解． 【规范解答】解：小虫落到阴影部分的概率， 故答案为： 题型9：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【规范解答】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)商家不会亏本，理由见解析 【思路点拨】本题考查了概率在转盘抽奖中的应用，熟练掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题的关键． （1）根据事件的概率可以用部分区域的面积和整个区域的面积的比来表示，分别求得红色、白色、黄色的小的扇形个数即可； （2）设有人参与，当指针落在红色区域，商家的收益为，同理可得当指针落在其它两种颜色区域时，商家需要付出多少，再和收益比较即可得到结论． 【规范解答】（1）解：转盘被等分成12个小扇形． 若要使指针落在红色区域的概率为，，因此，有6个小的扇形是红色的； 指针落在白色区域的概率为，， 因此，有4个小的扇形是白色的； 指针落在黄色区域的概率为，， 因此，有2个小的扇形是黄色的． 如图所示即为所求： （2）解：从概率的角度，商家不会亏本，理由如下： 设有人参与，则有， 指针落在红色区域的概率为，商家的收益为； 指针落在白色区域的概率为，商家需要付出； 指针落在黄色区域的概率为，商家需要付出； 商家的最终收益为：． 所以，商家不会亏本． 题型10：概率在比赛中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 【答案】(1) (2)小丽获胜的概率大 【思路点拨】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式是解答本题的关键． （1）先确定中3的倍数的个数，再依据概率公式计算即可． （2）确定小丽抽到6后剩余卡片情况，共9张，数字为、、、、、、、、； 分别找出小亮获胜（抽到、、、 ）和小丽获胜（抽到、、、、 ）对应的数字个数； 依据概率公式分别计算小亮和小丽获胜的概率，比较大小得出谁获胜概率大． 【规范解答】（1）解：在1到10这10个数字中，3的倍数有3、6、9，共3个． 所以抽出卡片上的数字是3的倍数的概率， 故答案为：； （2）在数字1到10中，比6小的数字有1，2，3，4，5， 所以小丽获胜的概率是．           比6大的数字有7，8，9，10， 所以小亮获胜的概率是．           因为， 所以小丽获胜的概率大． 【变式训练】（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【答案】盈利了，理由见解析 【思路点拨】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【规范解答】解：盈利了． 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 题型11：概率的其他应用 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州毕节·期中）下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)60件 【思路点拨】本题考查用频率估计算概率，频率计算公式，求出合格品的频率是解题的关键． （1）根据合格率，计算即可； （2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率； （3）根据次品数，计算即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：． （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 【答案】(1)0.02 (2)16 【思路点拨】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率； （2）需要准备兑换的节能灯数＝销售的节能灯×次品的概率，依此计算即可． 【规范解答】（1）抽查总体数m＝50+100+200+300+400+500＝1550， 次品件数n＝1+3+5+6+7+9＝31， 这批节能灯中任抽1个是次品的概率为0.02； （2）根据（1）的结论：这批节能灯中任抽1件是次品的概率为0.02， 则800×0.02＝16（个）． 答：准备16个兑换的节能灯． 1．（2024·山东济南·中考真题）如图在4×4的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影小正方形组成轴对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查设计轴对称图形，求概率，先求出补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影小正方形组成轴对称图形的结果数，再除以原来空白小正方形的个数，进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，补画一个有阴影的小正方形，共有13种等可能结果，其中使四个阴影小正方形组成轴对称图形的结果有4种，如图： 故； 故选B． 2．（2024·陕西汉中·中考真题）在一个神秘的探索之旅中，有个特殊的项目正在筹备，这个项目叫“秘境探寻者”，项目组共10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了2名男生，1名女生，现从该项目组全体成员中随机抽取1人来担任极为重要的宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用、概率的应用等知识点，根据概率列出方程是解题的关键． 设第一批确定的女生人数为，则男生人数为．结合第二批确定的2男1女，总男生数为，总人数为10．根据抽中男生的概率为列方程求解即可． 【规范解答】解：设第一批确定的女生人数为，则男生人数为．结合第二批确定的2男1女，总男生数为， 由题意可得： ，解得：． 故选B． 3．（2024·河南郑州·中考真题）商城路和管城街交叉口的交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了概率的基本计算，解题的关键是明确概率的计算公式，即某一事件发生的概率等于该事件发生的时间与总时间的比值． 先算出一分钟内信号灯亮的总时间，再用红灯亮的时间除以总时间，即可得到看到红灯的概率． 【规范解答】已知交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，那么一分钟（60秒）内信号灯亮的总时间为秒． 根据概率的计算公式，随机事件发生的概率等于该事件发生的时间除以总时间，所以抬头看信号灯时是红灯的概率为红灯亮的时间除以总时间，即． 故答案为：． 4．（2024·全国·中考真题）在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为，摸出的球上的数字小于4的概率记为，摸出的球上的数字为5的概率记为，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，掌握以上知识是解答本题的关键．分别求出，，的概率，然后进行比较，即可求解； 【规范解答】解：∵在1、2、3这3个小球中，数字为2的只有1个、数字小于4的有3个、数字为5的个数为0， ∴、、， ∴， 故答案为：． 5．（2024·上海·中考真题）文具店购进了20盒“”铅笔，但在销售过程中，发现部分盒子中混入若干“”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“”铅笔，具体的统计图如图所示： (1)填空：_________________； (2)从这20盒铅笔中任意选取1盒； ①求“盒中没有混入‘’铅笔”的概率； ②若“盒中混入1支‘’铅笔”的概率，求n的值． 【答案】(1)14 (2)①，②9 【思路点拨】本题考查了数据的统计与分析及概率的基本概念． （1）根据统计图中的已知数6及总数20即可求得的值； （2）①根据已知条件“盒中没有混入‘’铅笔的有6盒，即可计算出“盒中没有混入‘’铅笔”的概率； ②设“盒中混入1支‘’铅笔的有m盒，由已知条件列出方程求解m的值，再由即可求得n的值． 【规范解答】（1）解：由题意知，， 故答案为：14． （2）解：①由统计图可知“盒中没有混入‘’铅笔的有6盒， ∴从这20盒铅笔中任意选取1盒，“盒中没有混入‘’铅笔”的概率为； ②∵“盒中混入1支‘’铅笔”的概率为，“盒中混入1支‘’铅笔的有m盒， ∴，解得， ∴． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列四个游戏盘，若扔一粒黄豆落在涂色部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了概率与面积占比的关系，掌握通过计算涂色部分的面积占比来判断中奖概率大小是解题的关键． 分别计算每个游戏盘涂色部分的面积占整个盘面积的比例，比例越大，中奖概率越高，选择比例最大的游戏盘． 【规范解答】解：A、游戏盘的中奖概率为：； B、游戏盘的中奖概率为：； C、游戏盘的中奖概率为：； D、游戏盘的中奖概率为：； ∴C游戏盘的中奖概率最大． 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南常德·期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了几何概率，依据阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值解答即可得解． 【规范解答】解：∵阴影部分占36°， ∴阴影部分占整个圆面积的：， ∴该顾客获奖的概率为． 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．从，，，，这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性较小 B．抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 C．如果，那么是必然事件 D．掷一枚骰子，掷出的是大于的点的可能性和掷出的是小于的点的可能性相同 【答案】B 【思路点拨】本题考查事件发生的可能性与概率．根据事件发生的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【规范解答】解：A选项： ，，，，这个数字中有个奇数，个偶数， 任取一个数，取到奇数的可能性是，取到偶数的可能性是， ， 从这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性较大， 故A选项错误； B选项：抛掷一枚质量均匀的硬币， 硬币落地时可能正面朝上也可能反面朝上， 硬币落地时正面朝上是随机事件， 故B选项正确； C选项：如果， 那么可能，也可能， 如果，那么是随机事件， 故C选项错误； D选项：一枚骰子有个面，每个面上一个数字，分别是、、、、、， 其中大于的数有个，小于的数有个， 掷出的是大于的点的可能性是，掷出的是小于的点的可能性是， 掷出的是大于的点的可能性和掷出的是小于的点的可能性不相同， 故D选项错误． 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影区域内的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，掌握面积的转换是解答本题的关键． 先根据正方形的对角线所分的四个三角形面积相等，再求出阴影部分的面积，然后根据概率公式计算即可． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴对角线把正方形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积， ∴针头扎在阴影区域内的概率为． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个路口的红绿灯时长为红灯30 s、黄灯5 s、绿灯40 s．当某人到达该路口时，看见红灯的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了概率的计算，掌握用事件发生的时间除以总时间来计算概率是解题的关键． 根据概率的定义，看见红灯的概率等于红灯时长除以红绿灯总时长． 【规范解答】解：红绿灯总时长为 ， 红灯时长为 ， 因此概率为 ． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）火车站显示屏每次显示火车班次信息持续1分钟，两次显示之间的间隔为4分钟．某人到达车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求时间长度÷总时间周期长度是解题的关键． 根据概率的计算公式，所求概率等于显示时间与总时间周期的比值． 【规范解答】解：显示屏的显示周期由显示时间和间隔时间组成，总周期为． 显示信息的时间为，因此概率为． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）中国象棋文化历史久远，棋子“馬”走的规则是沿“日”形的对角线走．如图，在部分棋盘中，“馬”的位置在图中虚线的下方，则“馬”随机移动一次，到达的位置在虚线上方的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查概率公式，理解题意，掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式直接计算即可． 【规范解答】解：∵“馬”移动一次能够到达的所有位置共有个，位于虚线上方的有个， ∴“馬”随机移动一次，到达的位置在虚线上方的概率是． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键； （1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解； （2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解． 【规范解答】（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客未获奖的概率为． （2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2)见详解 【思路点拨】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某小型植物可能开出多种颜色的花朵，为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的5个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，种植在劳动实践基地，最后统计各组数据，进行实验研究． 各组植株总数量m 100 150 200 300 500 开红花的植株数量n 39 54 82 120 b 出现红花的频率 0.39 a 0.41 0.40 0.40 (1)填空：________，________； (2)当试验次数很大时，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是概率的估计值．根据表中数据，可估计这种植物开红花的概率为________； (3)若要得到320株开红花的植株，试估计要准备种植多少株该种植物幼苗？ 【答案】(1)0.36，200 (2)0.4 (3)要准备种植800株该种植物幼苗 【思路点拨】本题主要考查利用频率估算概率，解题的关键是理解题意； （1）根据频率公式可进行求解； （2）根据表格可直接利用频率估算概率； （3）根据（2）及题意可直接进行求解． 【规范解答】（1）解：由表可知：，； 故答案为0.36，200； （2）解：由题意可知：这种植物开红花的概率估计值为0.4； 故答案为0.4； （3）解：由（2）及题意可得： （株）； 答：要准备种植800株该种植物幼苗． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列说法正确的是（　　） A．成语“水中捞月”是必然事件 B．“郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天一定有雨 C．“在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数一定是100次 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了概率的意义、随机事件、概率公式等知识点，掌握相关概念是解题的关键． 根据概率的意义、随机事件、概率公式逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A、成语“水中捞月”是不可能事件，故A不符合题意； B、“郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天下雨的可能性很大，故B不符合题意； C、“在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件，故C符合题意； D、任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数不一定是100次，故D不符合题意． 故选：C． 2．（2025·广东佛山·二模）“二十四节气”是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，不仅是指导农耕生产的时间体系，还蕴含着丰富的民俗文化和生活智慧．一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片（除了画面内容外其他都相同），其中有1张“霜降”，1张“惊蛰”，2张“小满”，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小满”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了运用概率公式求概率，根据在一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“小满”，然后运用概率公式计算即可，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比成为解题的关键． 【规范解答】解：在一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“小满”， 从中随机摸出一张卡片，恰好是“小满”的概率为， 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）从长度分别为的三条线段中任选2条，与长度为的线段首尾相连，则能连成三角形的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查直接列举法求等可能事件的概率，组成三角形的条件，不重不漏地列举出所有等可能的情况，以及发现能组成三角形的情况是解题的关键． 首先利用列举法列举出任选三条线段的所有等可能的结果，从中找出能构成三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【规范解答】解：①若选择和的线段， ∵， ∴不能与长度为的线段连成三角形； ②若选择和的线段， ∵， ∴不能与长度为的线段连成三角形； ③若选择和的线段， ∵， ∴能与长度为的线段连成三角形． 综上，共有3种等可能情况，符合条件的情况只有1种，其概率为． 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 【答案】 4 3 【思路点拨】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求情况数÷总情况数是解题的关键． 根据概率=所求情况数÷总情况数的公式，用总扇形数分别乘以红、蓝两种颜色对应的概率，计算出各自需要涂的扇形个数． 【规范解答】解：设个扇形涂上红色，个扇形涂上蓝色． 由P（指向红色扇形），P（指向蓝色扇形）， 得，， 解得，． 故答案为：4；3． 5．（24-25七年级下·江西萍乡·期中）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是 方格． 【答案】 【思路点拨】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率为，根据图形发现、中只有一个地雷，所以知道必为雷，则可得到答案． 【规范解答】解：由图形及题意可知：、中只有一个有地雷， 所以必定有地雷， 所以、、三个方格中有地雷的概率最大的方格是，概率为 1 ． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某校开设京剧、武术、中医和书法这四门课程供学生选修，小圣同学随机选修一门，则小圣同学恰好选修了武术的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了简单的概率公式，根据简单的概率公式求解即可，掌握简单的概率公式是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，共有四种等可能得情况，所以小圣同学恰好选修了武术的概率是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查几何概率，解题的关键掌握根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案． 【规范解答】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 【答案】(1)不公平．因为小花获胜的概率为，小佳获胜的概率为，所以这个游戏对双方不公平． (2)①③公平，②④不公平 【思路点拨】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）（2）通过计算小佳获胜的概率和小花获胜的概率，从而可判断游戏规则是否公平． 【规范解答】（1）解：这个游戏对双方不公平．理由如下： ∵小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∴这个游戏对双方不公平． （2）解：①因为个数中奇数和偶数各个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则①公平； ②因为个数中为的倍数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则②不公平； ③因为个数中大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则③公平； ④因为个数中不大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则④不公平； 故①③公平，②④不公平． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 【答案】(1)随机 (2) (3)4 【思路点拨】本题考查事件的分类，根据概率公式求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【规范解答】（1）解：事件“随机抽取3张，全是写有‘县’字的卡片”为随机事件． 故答案为：随机． （2）由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， 所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为． （3）由题意可知：，解得， 所以m的值为4． 10．（24-25七年级下·四川达州·期末）小宁在学校进行了学生了解亚运会的方式的调查，他随机抽取了100位同学进行问卷调查，并绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请回答下列问题： (1)请分别求出选择C，E的人数并补全条形统计图； (2)若在调查的100人中任意抽取1人进行深度调查，请求出选到的人选择的是“文章宣传”或“现场观看”的概率； (3)若该抽取人数占全校人数的，请估计全校选择“海报宣传”的人数． 【答案】(1)选择C的人数为35，选择E的人数为10，见解析 (2) (3)估计全校选择“海报宣传”的人数为140 【思路点拨】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及概率公式，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． （1）先根据的百分比求出的人数，然后用总人数减去各个小组的人数即可得出的人数，补全条形统计图即可； （2）得出“文章宣传”和“现场观看”两部分的人数，用概率公式计算即可； （3）用样本估计总体即可． 【规范解答】（1）解：的人数：（人， 的人数：（人， 补全条形统计图如图： （2）解：“文章宣传”的人数为25人，“现场观看”的人数为10人， 选择的概率为； （3）解：（人， 即估计全校选择海报宣传的人数为140人． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.3 等可能事件的概率『第三章 概率初步』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共47题） 〔原卷版〕 1 知识点一 概率 1 知识点二 频率与概率 2 重点难点 考点讲练 2 题型1：列举随机实验的所有可能结果 2 题型2：判断实验所得结果是否是等可能的 3 题型3：列举法求概率 3 题型4：根据概率公式计算概率 4 题型5：根据概率作判断 4 题型6：已知概率求数量 5 题型7：游戏的公平性 5 题型8：几何概率 6 题型9：概率在转盘抽奖中的应用 6 题型10：概率在比赛中的应用 8 题型11：概率的其他应用 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 闯关训练 10 【基础夯实 能力提升】 10 【创新拓展 拔尖冲刺】 14 知识点一 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点二 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 题型1：列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（24-25七年级下·西藏·自主招生）班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式训练】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）自五月中旬开始，教育局开始组织县域内各校八年级学生进行生物实验加试，某校把参加加试的学生分成5个组，以抽签方式决定各组加试顺序，工作人员准备背面完全一样的5张纸牌，在纸牌的另一面分别写上1，2，3，4，5，将纸牌洗均后背面朝上，由每个组的带队老师随机抽取一张纸牌，请思考以下问题： (1)抽到的数字有几种可能的结果？ (2)抽到纸牌数字是1的概率是多少？ (3)抽到纸牌数字大于3的概率是多少？ 题型2：判断实验所得结果是否是等可能的 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 题型3：列举法求概率 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 【变式训练】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；若抽到所印数字比6小，则小亮去． (1)求抽到印有6的卡片的概率； (2)求抽到所印数字为偶数的概率； (3)你认为这个办法对双方公平吗？为什么？ 题型4：根据概率公式计算概率 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某校举行演讲比赛，计划在七年级选取1名主持人，报名情况如下：七年级（1）班有2人报名，七年级（2）班有4人报名，七年级（3）班有6人报名．若从报名的同学中随机选取1名主持人，则七年级（1）班同学当选的概率是 ． 【变式训练】（23-24七年级下·重庆·期末）一个不透明的袋子中装有5个黑球，6个白球，1个黄球，每个球除颜色外均相同．任意摸出一个球，是黄球的概率是 ． 题型5：根据概率作判断 【典例精讲】（24-25七年级下·广东佛山·期末）某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1-9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中为石湾公仔，为佛山剪纸，为盲公饼，为木版年画，为谢谢参与． (1)事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ (2)若“②奖牌反面”中出现的次数是的2倍，则（抽到）________； (3)请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“”； *（抽到） （抽到） （抽到） （抽到）． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）如图是一个材质均匀的转盘，转盘被等分成8个扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，转动一次转盘，转盘停止后（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘）： (1)求指针指向红色扇形的概率． (2)指针指向红色扇形的概率大，还是绿色扇形的概率大？为什么？ 题型6：已知概率求数量 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）一个袋子中装有红、白、黄三种颜色的球（这些球除颜色外其余完全相同），小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球的频率分别稳定在和，且白球有8个． (1)求袋子中球的总数； (2)求摸到黄球的概率． 【变式训练】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一个不透明盒子中装有8张红色卡牌和6张白色卡牌，两种卡牌除颜色外完全相同，将盒子中的卡牌充分摇匀． (1)求随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率； (2)为了使取出两种卡牌的概率相同，再向盒子中放入红色卡牌和白色卡牌共6张，求再放入的白色卡牌的张数． 题型7：游戏的公平性 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说， （填“公平”或“不公平”） 【变式训练】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 题型8：几何概率 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·广东茂名·期末）如图，在的正方形网格中，已将部分小正方形涂上阴影，有一只小虫自由地落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是 ． 题型9：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 题型10：概率在比赛中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 【变式训练】（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 题型11：概率的其他应用 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州毕节·期中）下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 1．（2024·山东济南·中考真题）如图在4×4的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影小正方形组成轴对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西汉中·中考真题）在一个神秘的探索之旅中，有个特殊的项目正在筹备，这个项目叫“秘境探寻者”，项目组共10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了2名男生，1名女生，现从该项目组全体成员中随机抽取1人来担任极为重要的宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·河南郑州·中考真题）商城路和管城街交叉口的交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率是 ． 4．（2024·全国·中考真题）在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为，摸出的球上的数字小于4的概率记为，摸出的球上的数字为5的概率记为，则，，的大小关系是 ． 5．（2024·上海·中考真题）文具店购进了20盒“”铅笔，但在销售过程中，发现部分盒子中混入若干“”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“”铅笔，具体的统计图如图所示： (1)填空：_________________； (2)从这20盒铅笔中任意选取1盒； ①求“盒中没有混入‘’铅笔”的概率； ②若“盒中混入1支‘’铅笔”的概率，求n的值． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列四个游戏盘，若扔一粒黄豆落在涂色部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南常德·期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．从，，，，这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性较小 B．抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 C．如果，那么是必然事件 D．掷一枚骰子，掷出的是大于的点的可能性和掷出的是小于的点的可能性相同 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影区域内的概率为 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个路口的红绿灯时长为红灯30 s、黄灯5 s、绿灯40 s．当某人到达该路口时，看见红灯的概率是 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）火车站显示屏每次显示火车班次信息持续1分钟，两次显示之间的间隔为4分钟．某人到达车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）中国象棋文化历史久远，棋子“馬”走的规则是沿“日”形的对角线走．如图，在部分棋盘中，“馬”的位置在图中虚线的下方，则“馬”随机移动一次，到达的位置在虚线上方的概率是 ． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某小型植物可能开出多种颜色的花朵，为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的5个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，种植在劳动实践基地，最后统计各组数据，进行实验研究． 各组植株总数量m 100 150 200 300 500 开红花的植株数量n 39 54 82 120 b 出现红花的频率 0.39 a 0.41 0.40 0.40 (1)填空：________，________； (2)当试验次数很大时，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是概率的估计值．根据表中数据，可估计这种植物开红花的概率为________； (3)若要得到320株开红花的植株，试估计要准备种植多少株该种植物幼苗？ 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列说法正确的是（　　） A．成语“水中捞月”是必然事件 B．“郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天一定有雨 C．“在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数一定是100次 2．（2025·广东佛山·二模）“二十四节气”是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，不仅是指导农耕生产的时间体系，还蕴含着丰富的民俗文化和生活智慧．一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片（除了画面内容外其他都相同），其中有1张“霜降”，1张“惊蛰”，2张“小满”，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小满”的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）从长度分别为的三条线段中任选2条，与长度为的线段首尾相连，则能连成三角形的概率是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 5．（24-25七年级下·江西萍乡·期中）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是 方格． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某校开设京剧、武术、中医和书法这四门课程供学生选修，小圣同学随机选修一门，则小圣同学恰好选修了武术的概率是 ． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 10．（24-25七年级下·四川达州·期末）小宁在学校进行了学生了解亚运会的方式的调查，他随机抽取了100位同学进行问卷调查，并绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请回答下列问题： (1)请分别求出选择C，E的人数并补全条形统计图； (2)若在调查的100人中任意抽取1人进行深度调查，请求出选到的人选择的是“文章宣传”或“现场观看”的概率； (3)若该抽取人数占全校人数的，请估计全校选择“海报宣传”的人数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $