专题3.2 频率的稳定性【高效同步培优讲义】知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共40题-2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册

本讲义聚焦初中数学“频率的稳定性”核心知识点，系统梳理概率的定义、求法及频率与概率的关系，构建从理论概率计算到通过实验频率估计概率的学习支架，衔接概率初步的基础概念与实际应用。 资料通过知识梳理强化抽象能力与符号意识，考点讲练结合真题案例培养推理意识与运算能力，分层训练满足不同学生需求。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过真题演练与分层练习查漏补缺，提升数据意识与应用意识。

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.2 频率的稳定性『第三章 概率初步』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共40题） 〔原卷版〕 1 知识点一 概率 1 知识点二 频率与概率 2 重点难点 考点讲练 2 题型1：求某事件的频率 2 题型2：概率的意义理解 2 题型3：关于频率与概率关系说法的正误 4 题型4：由频率估计概率 4 题型5：用频率估计概率的综合应用 5 中考真题 实战演练 6 难度分层 闯关训练 8 【基础夯实 能力提升】 9 【创新拓展 拔尖冲刺】 9 知识点一 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点二 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 题型1：求某事件的频率 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)计算：______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 【变式训练2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）李伟在寒假期间进行了前掷实心球训练，训练结果如下： 投掷次数 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数 7 14 30 46 76 153 385 得满分的频率 0.700 0.750 0.767 0.760 0.765 0.770 (1)计算：________； (2)估计李伟前掷实心球得满分的概率是________（精确到0.01）； (3)当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 题型2：概率的意义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）下列说法合理的是（ ） A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B．某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小张进行投壶训练，经过大量重复的练习后，他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（   ） A．小张投壶1次，一定投不中 B．小张投壶10次，一定可以投中4次 C．小张投壶6次，至少可以投中2次 D．小张投壶3次，不一定能投中 【变式训练2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）天气预报显示，某地明天降水概率是15%，后天降水概率是75%，那么当地居民在 （填“明天”或“后天”）更有可能会带伞． 题型3：关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其 的估计值． 题型4：由频率估计概率 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·月考）实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_____，_____． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第_____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一株该植物开出红花的概率是_____（结果精确到0.1）． (3)某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）数学兴趣小组做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 B．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球 D．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花 【变式训练2】（24-25七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 题型5：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·河南郑州·期末）某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图． (1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1） (2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？ 【变式训练1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 1．（2024·全国·中考真题）下列叙述中正确的是（   ） A．“如果a、b是实数，那么”是不确定事件 B．某种彩票的中奖概率为，则买7张彩票一定有1张中奖 C．“某班50名同学中至少有2名同学的生日是同一天”是随机事件 D．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的调查方式比较合适 2．（2024·河南周口·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．“抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖 B．小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是 C．“任意画一个四边形，其内角和是”是随机事件 D．“天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大 3．（2024·江苏镇江·中考真题）我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，可以怎样放球： (只写一种即可)． 5．（2024·陕西宝鸡·中考真题）从一副扑克牌（张，没有大王和小王）中每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到部分数据，如表所示： 试验次数 抽出红心牌的频数 抽出红心牌的频率 (1)表中______，由表中数据可以得出的结论是：______． (2)若从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是多少？ 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·全国·周测）结果期，研究人员对该试验田中圣女果每株的结果个数统计如下表，则该品种圣女果每株的结果个数在60以上的概率为（    ） 测试的圣女果总株数m 200 400 600 800 1000 结果个数在60以上的株数n 169 339 511 681 850 结果个数在60以上的频率 0.845 0.848 0.852 0.851 0.850 A．0.80 B．0.84 C．0.85 D．0.90 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（    ） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）任意抛掷一只纸杯进行重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 杯口朝上的频率 杯口朝下的频率 横卧的频率 100 0.21 0.38 0.41 200 0.22 0.38 0.40 500 0.22 0.38 0.40 根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率是 ． 5．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是 ．（精确到） 6．（24-25七年级下·陕西西安·期末）兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示，通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为 ．（精确到0.1） 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数m 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91 7．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）一个袋中装有若干个红球、黄球和蓝球，每个球除颜色外都相同．某兴趣小组开展摸球试验；每次摸出一个球记录下颜色后放回摇匀，重复试验，并统计了蓝球出现的频率，如图所示．再摸一次，估计摸到蓝球的概率为 ．（结果精确到0.1） 8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）七年级（1）班同学做抛纪念币的试验，如表是试验中的一组统计数据： 抛掷次数 500 1000 1500 2500 3000 4000 5000 “正面朝上”的次数 255 512 765 1260 1510 2001 2500 “正面朝上”的频率 0.51 0.512 0.504 0.503 0.50 (1)上述表中，_____，_____；（保留两位小数） (2)根据频率的稳定性，估计这枚纪念币抛掷1次出现“正面朝上”的概率．（保留一位小数） 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验得到数据如下表所示： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 0.095 0.103 0.100 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中_____，_____； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，估计打捞到带标记的鱼的概率．（结果精确到0.1） 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·四川达州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．“大海捞针”是不可能事件 B．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 C．“成都某地明天降雨的概率为0.8”，表示该地明天一定降雨 D．任意投掷一枚质地均匀的硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、6个白球、7个蓝球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 3．（24-25七年级下·重庆·月考）下列说法正确的是（   ） A．“手可摘星辰”是不可能事件 B．概率是随机的，与频率无关 C．抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的必有次 D．小明做了次抛瓶盖试验，发现次盖口向上，由此他得出盖口向上的概率是 4．（23-24七年级下·山西太原·期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 5．（2024·辽宁沈阳·三模）在一个不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小东向其中投入8个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到黑球．请你估计这个袋中有 个白球． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有 枚白棋子． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球 个． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）某工厂接到一批8000块电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量m 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量n 982 1464 1956 2452 2940 3430 电池合格率 0.982 0.976 0.978 0.981 0.980 0.980 (1)根据表格数据，估计该工厂生产电池的合格率约为多少（精确到0.01）？ (2)结合你的估计，帮助工厂计算，至少需要生产多少块电池才能完成这批订单？ 10．（24-25七年级下·广东清远·期末）某校生物兴趣小组为了解在相同的实验条件下，某植物种子发芽率，进行了相关的实验研究．下表是进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 400 600 1000 3000 5000 发芽的粒数m a 382 570 954 2859 4750 发芽频率 0.930 0.955 0.950 b 0.953 0.950 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它不能发芽的概率．（结果精确到0.01） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.2 频率的稳定性『第三章 概率初步』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共40题） 〔解析版〕 1 知识点一 概率 1 知识点二 频率与概率 2 重点难点 考点讲练 2 题型1：求某事件的频率 2 题型2：概率的意义理解 4 题型3：关于频率与概率关系说法的正误 6 题型4：由频率估计概率 7 题型5：用频率估计概率的综合应用 10 中考真题 实战演练 12 难度分层 闯关训练 15 【基础夯实 能力提升】 15 【创新拓展 拔尖冲刺】 21 知识点一 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点二 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 题型1：求某事件的频率 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【答案】(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【思路点拨】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)计算：______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 【思路点拨】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式求，根据优秀数量抽取作业数量×优秀频率求即可； （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 【变式训练2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）李伟在寒假期间进行了前掷实心球训练，训练结果如下： 投掷次数 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数 7 14 30 46 76 153 385 得满分的频率 0.700 0.750 0.767 0.760 0.765 0.770 (1)计算：________； (2)估计李伟前掷实心球得满分的概率是________（精确到0.01）； (3)当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 【答案】(1)0.700 (2)0.77 (3)李伟得满分的次数是462次 【思路点拨】本题考查的是利用频率估计概率的思想，解题的关键是能熟记相关的知识点． （1）根据频率计算公式即可求解； （2）根据频率估计概率的思想进行解答，实验次数越多，某事件发生的频率越稳定在相应的概率附近； （3）由频率计算公式即可求解． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：0.700； （2）解：由表格可得：当实验500次时，得满分的频率都在0.770附近波动， ∴估计李伟前掷实心球得满分的概率是0.77， 故答案为：0.77； （3）解：由题意得，当李伟投掷600次时，他得满分的次数为． 题型2：概率的意义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）下列说法合理的是（ ） A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B．某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【思路点拨】本题考查了概率的意义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据概率的意义，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：A、小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是，是错误的，3次试验不能总结出概率，故A不符合题意； B、某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票不一定会有5张中奖，故B不符合题意； C、某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是，是错误的，“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，故C不符合题意； D、小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是，故D符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小张进行投壶训练，经过大量重复的练习后，他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（   ） A．小张投壶1次，一定投不中 B．小张投壶10次，一定可以投中4次 C．小张投壶6次，至少可以投中2次 D．小张投壶3次，不一定能投中 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【规范解答】解：A、小张投壶1次，不一定投不中，故不符合题意； B、小张投壶10次，不一定投中4次，故不符合题意； C、小张投壶6次，不一定至少可以投中2次，故不符合题意； D、小张投壶3次，不一定能投中，故符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）天气预报显示，某地明天降水概率是15%，后天降水概率是75%，那么当地居民在 （填“明天”或“后天”）更有可能会带伞． 【答案】后天 【思路点拨】本题考查了概率的大小． 比较概率作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴当地居民在后天更有可能会带伞． 故答案为：后天． 题型3：关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了概率与频率的定义及关系．根据概率与频率的定义及关系，逐一分析选项．概率是理论值，频率是试验结果，当试验次数足够多时，频率会接近概率，即可解答． 【规范解答】解：A选项：中奖概率并不意味着买100张必中6张，概率仅表示可能性，实际结果可能波动，故本选项错误，不符合题意； B选项：当试验次数大时，频率会稳定在概率附近，而非概率稳定在频率附近，故本选项错误，不符合题意； C选项：频率，故本选项正确，符合题意；． D选项：试验频率与概率可能相等，例如多次试验后频率可能恰好等于理论概率，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【思路点拨】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【规范解答】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其 的估计值． 【答案】概率 【思路点拨】本题考查了频率与概率，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【规范解答】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值． 故答案为：概率． 题型4：由频率估计概率 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·月考）实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_____，_____． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第_____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一株该植物开出红花的概率是_____（结果精确到0.1）． (3)某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】(1)， (2)二，试验的植株数太少，； (3)估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 【思路点拨】本题考查了频率，用频率估计概率，样本估计总体数量等知识，理解大量重复试验中，频率趋向于一个稳定的数，这个数即为概率是解题的关键． （1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【规范解答】（1）解：，． （2）解：第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少；除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为． （3）解：（棵）； 答：估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）数学兴趣小组做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 B．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球 D．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了利用频率估计概率，利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案． 【规范解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面为，符合这一结果，故此选项符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“剪刀”的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； C、不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； D、一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花为，不符合这一结果，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】(1)0.25 (2)5 (3)①④ 【思路点拨】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． （1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数=球的总数×得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在0.67附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案． 【规范解答】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25； 故答案为：0.25； （2）解：根据题意得：（个）， 所以，盒子里白球有5个； （3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 题型5：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·河南郑州·期末）某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图． (1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1） (2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)8000株 【思路点拨】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可； （2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可． 【规范解答】（1）解：由统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）解：（株） 答：估计第二批需购入8000株． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【答案】D 【思路点拨】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【规范解答】解：试验结果在附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 【答案】(1)475， (2) 【思路点拨】本题考查了总数，频数，频率之间的数量关系，以及用频率估计概率，解题的关键在于掌握利用频率估计概率的方法． （1）根据总数，频数，频率之间的数量关系计算，即可解题； （2）根据频率估计概率的方法求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：， 故答案为475，． （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为． 1．（2024·全国·中考真题）下列叙述中正确的是（   ） A．“如果a、b是实数，那么”是不确定事件 B．某种彩票的中奖概率为，则买7张彩票一定有1张中奖 C．“某班50名同学中至少有2名同学的生日是同一天”是随机事件 D．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的调查方式比较合适 【答案】C 【思路点拨】本题考查了考查统计调查，随机事件及概率的意义，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 根据抽样调查和普查的定义，确定事件、随机事件的定义，以及概率的意义即可作出判断． 【规范解答】A．如果a，b是实数，那么是必然事件，选项不符合题意； B．某种彩票的中奖概率为，因为每次买彩票的中奖结果都是相互独立的随机事件，则买7张彩票可能中奖，也可能不中奖，故选项不符合题意； C．“某班50位同学中至少有2位同学生日是同一天”一年最多366天（闰年），50名同学有可能生日都不同，也有可能至少2有名同学生日在同一天，所以这是一个随机事件是随机事件，故选项符合题意； D．为了了解一批炮弹的杀伤力，调查具有破坏性，应采用抽样调查方式比较合适．故选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024·河南周口·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．“抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖 B．小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是 C．“任意画一个四边形，其内角和是”是随机事件 D．“天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了概率的意义，根据相应的概率判断出事件类型再进行解答即可． 【规范解答】解：A. “抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖，故此选项错误； B、小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是，故此选项错误； C、“任意画一个四边形，其内角和是”是确定事件，故原说法错误， D. “天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大，说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ． 【答案】/0.625 【思路点拨】根据“2”出现的次数除以总个数即可． 【规范解答】解：“20220202”，共有8个数字，其中2出现的次数为：5次， ∴“2”出现的频率为：， 故答案为：． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，可以怎样放球： (只写一种即可)． 【答案】放入4个黄球，1个白球（答案不唯一） 【思路点拨】根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，只需使白球占总数的即可． 【规范解答】解：根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，只需使白球占总数的即可，例如：在袋中放入4个黄球，1个白球， 故答案为：放入4个黄球，1个白球（答案不唯一）． 5．（2024·陕西宝鸡·中考真题）从一副扑克牌（张，没有大王和小王）中每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到部分数据，如表所示： 试验次数 抽出红心牌的频数 抽出红心牌的频率 (1)表中______，由表中数据可以得出的结论是：______． (2)若从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是多少？ 【答案】(1)；随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据频率和频数的关系求得的值，利用频率估计概率即可得出结论； （）利用频率估计概率即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 由表中数据可以得出的结论是：随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近； 故答案为：，随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近； （2）解：从表中得出，从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·全国·周测）结果期，研究人员对该试验田中圣女果每株的结果个数统计如下表，则该品种圣女果每株的结果个数在60以上的概率为（    ） 测试的圣女果总株数m 200 400 600 800 1000 结果个数在60以上的株数n 169 339 511 681 850 结果个数在60以上的频率 0.845 0.848 0.852 0.851 0.850 A．0.80 B．0.84 C．0.85 D．0.90 【答案】C 【思路点拨】根据频率稳定性原理，当试验次数足够大时，频率趋于概率. 由表可知，随着测试株数增加，频率稳定在0.85附近． 【规范解答】解：∵ 测试总株数m增大时，频率在0.85附近波动， 且当时，， ∴ 概率估计值为0.85． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（    ） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 【答案】C 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右，据此求解即可． 【规范解答】解：由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右． ∴估计这一类新品种苹果树成活的概率约为0.91． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【思路点拨】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【规范解答】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）任意抛掷一只纸杯进行重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 杯口朝上的频率 杯口朝下的频率 横卧的频率 100 0.21 0.38 0.41 200 0.22 0.38 0.40 500 0.22 0.38 0.40 根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率是 ． 【答案】0.22 【思路点拨】本题考查了用频率估计概率，掌握当试验次数大量增加时，频率会逐渐稳定在概率附近是解题的关键． 根据频率的稳定性，当试验次数大量增加时，频率趋近于概率，因此取稳定值． 【规范解答】解：从表格数据可知，抛掷次数为和时，杯口朝上的频率均为，且抛掷次数越多，频率越稳定， 因此估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率是． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是 ．（精确到） 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是根据每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【规范解答】解：由击中靶心频率都在上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期末）兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示，通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为 ．（精确到0.1） 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数m 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91 【答案】0.9 【思路点拨】本题考查了用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定于某一个固定值，这个值是概率；据此即可求解． 【规范解答】解：由题意知，发芽的频率约为0.9，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为0.9； 故答案为：0.9． 7．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）一个袋中装有若干个红球、黄球和蓝球，每个球除颜色外都相同．某兴趣小组开展摸球试验；每次摸出一个球记录下颜色后放回摇匀，重复试验，并统计了蓝球出现的频率，如图所示．再摸一次，估计摸到蓝球的概率为 ．（结果精确到0.1） 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率，由题意可知频率稳定在附近，根据频率估计概率即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可知频率稳定在附近，则可估计摸到蓝球的概率为． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）七年级（1）班同学做抛纪念币的试验，如表是试验中的一组统计数据： 抛掷次数 500 1000 1500 2500 3000 4000 5000 “正面朝上”的次数 255 512 765 1260 1510 2001 2500 “正面朝上”的频率 0.51 0.512 0.504 0.503 0.50 (1)上述表中，_____，_____；（保留两位小数） (2)根据频率的稳定性，估计这枚纪念币抛掷1次出现“正面朝上”的概率．（保留一位小数） 【答案】(1)0.51，0.50 (2)0.5 【思路点拨】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）频率等于频数除以数据总数，由此求解； （2）用频率估计概率即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：0.51，0.50； （2）解：根据频率的稳定性，估计这枚纪念币抛掷1次出现“正面朝上”的概率是0.5． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验得到数据如下表所示： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 0.095 0.103 0.100 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中_____，_____； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，估计打捞到带标记的鱼的概率．（结果精确到0.1） 【答案】(1)0.11；50 (2)0.1 【思路点拨】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可． 【规范解答】（1）解：，； 故答案为：0.11，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为0.1． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①；② 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中获取需要的信息是解题的关键． （1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用乘以利用“微信”沟通人数占被调查人数的比例即可； （2）先求出短信沟通的人数，再根据种方式的人数之和等于总人数求出使用“微信”的人数，从而补全条形统计图； （3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例即可； ②先求出抽取的恰好使用“”的频率，再用频率估计概率即可． 【规范解答】（1）解：∵喜欢用“电话”进行沟通的人数为，所占百分比为， ∴此次共抽查了（人）， 表示“微信”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；； （2）解：喜欢用“短信”进行沟通的人数为：（人）， 喜欢用“微信”进行沟通的人数为：（人）， 补充条形统计图： （3）解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有人， ∴该某市的万人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（万人）， 故答案为：； ②由（1）可知：参与这次调查的共有人，其中喜欢用“”进行沟通的人数为人， ∴在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的频率是， ∴用频率估计概率，在该市使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的概率是， 故答案为：． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·四川达州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．“大海捞针”是不可能事件 B．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 C．“成都某地明天降雨的概率为0.8”，表示该地明天一定降雨 D．任意投掷一枚质地均匀的硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25 【答案】B 【思路点拨】本题考查概率事件的基本概念，包括不可能事件、必然事件、概率的意义以及实际试验中的频率与概率的关系． 【规范解答】A． “大海捞针”虽然可能性极小，但存在发生的可能，属于随机事件而非不可能事件，故A错误． B． 普通正方体骰子的点数范围为1到6，因此点数一定小于7，属于必然事件，故B正确． C． 概率0.8表示降雨的可能性较大，但并非“一定”发生，故C错误． D． 硬币质地均匀时，正面朝上的概率为0.5，但实际试验中次数有限，结果可能偏离理论值，因此“一定是25次”的结论不成立，故D错误． 故选B． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、6个白球、7个蓝球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 【答案】A 【思路点拨】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可知，袋子中的球共有： （个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， ∴该种球的颜色最有可能是黑球， 故选：A． 3．（24-25七年级下·重庆·月考）下列说法正确的是（   ） A．“手可摘星辰”是不可能事件 B．概率是随机的，与频率无关 C．抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的必有次 D．小明做了次抛瓶盖试验，发现次盖口向上，由此他得出盖口向上的概率是 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了事件的分类，概率与频率，概率的意义，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据事件的分类，概率与频率，概率的意义逐项排除即可． 【规范解答】解：、“手可摘星辰”是不可能事件，原选项说法正确，符合题意； 、概率不是随机的，与频率无关，原选项说法错误，不符合题意； 、抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的未必有次，原选项说法错误，不符合题意； 、小明做了次抛瓶盖试验，发现次盖口向上，由此他得出盖口向上的概率不一定是，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 4．（23-24七年级下·山西太原·期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键． 【规范解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为， 故答案为：． 5．（2024·辽宁沈阳·三模）在一个不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小东向其中投入8个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到黑球．请你估计这个袋中有 个白球． 【答案】32 【思路点拨】根据黑球的个数和出现的频率求得球的总个数，然后计算出白球的个数即可． 【规范解答】解；由题意可得：摸球100次，有20次摸到黑球，则黑球的占比为：， ∵黑球有8个， ∴白球和黑球的总数为：（个）， ∴白球的个数为：（个）， 故答案为：32． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有 枚白棋子． 【答案】 【思路点拨】根据一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，求出取到黑棋子的概率，再计算盒中约共有棋子数，最后计算白棋子数限可． 【规范解答】取到黑棋子的概率为：， 盒中约共有棋子：（枚）， 其中约有白棋子：（枚）． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球 个． 【答案】15 【思路点拨】根据题意和题目中的数据，可以计算出球的总数，然后即可计算出盒子中白球的个数即可． 【规范解答】解：设盒子中大约有白球有x个，根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴估计盒子中大约有白球15（个）， 故答案为：15． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 【答案】(1)随机 (2)3 【思路点拨】本题考查了随机事件的概念、用频率估计概率的方法，掌握随机事件的定义，以及用频率估计概率的步骤是解题的关键． （1）根据必然、随机、不可能事件的定义，结合图中面的内容，判断抽到写有文具的面是否具有不确定性； （2）先计算获得钢笔的频率，用频率估计概率，再结合总面数计算写有钢笔的面数． 【规范解答】（1）解：∵图②中既有写文具的面，也有写零食、图书的面，随机挑选时，可能抽到文具，也可能抽到其他内容， ∴这是随机事件． （2）解：先计算获得钢笔的频率：试验次数越多，频率越接近概率，取160次试验的数据，频率为． ∵总面数为8，用频率估计概率， ∴写有钢笔的面数为． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）某工厂接到一批8000块电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量m 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量n 982 1464 1956 2452 2940 3430 电池合格率 0.982 0.976 0.978 0.981 0.980 0.980 (1)根据表格数据，估计该工厂生产电池的合格率约为多少（精确到0.01）？ (2)结合你的估计，帮助工厂计算，至少需要生产多少块电池才能完成这批订单？ 【答案】(1)0.98 (2)8164块 【思路点拨】（1）解题思路是观察抽检数据中电池合格率的变化，取其稳定的数值作为这批电池的合格率估计值； （2）解题思路是用订单所需的合格电池数量除以估计的合格率，得到需要生产的电池数量． 【规范解答】（1）解：观察表格中电池合格率的数据，随着抽检数量增加，合格率逐渐稳定在0.98附近， 故估计这一批电池的合格率约为0.98． （2）解：设至少需要生产块电池， 则应满足， 解得 ， 由于电池数量需为整数， 故至少取8164． 10．（24-25七年级下·广东清远·期末）某校生物兴趣小组为了解在相同的实验条件下，某植物种子发芽率，进行了相关的实验研究．下表是进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 400 600 1000 3000 5000 发芽的粒数m a 382 570 954 2859 4750 发芽频率 0.930 0.955 0.950 b 0.953 0.950 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它不能发芽的概率．（结果精确到0.01） 【答案】(1)93，0.954 (2)0.05 【思路点拨】本题考查频率，利用频率估计概率，理解频率与概率的关系是解题的关键． （1）根据频数、频率、总数的关系求解； （2）利用频率估计概率． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：93，0.954． （2）解：由题意知，试验总数足够大时，发芽频率稳定在0.95附近， ， 所以估计它不能发芽的概率为0.05． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $