专题4.5 三角形【章节复习培优讲义】知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共65题-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.5 三角形『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共65题） 〔解析版〕 2 知识点一 三角形的概念 2 知识点二 三角形的分类 2 知识点三 三角形的三边关系 2 知识点四 三角形的稳定性 3 知识点五 三角形的重要线段 3 知识点六 三角形的内角 3 知识点七 直角三角形 3 知识点八 全等图形 4 知识点九 全等三角形 4 知识点十 全等三角形的性质 5 知识点十一 判定全等三角形 5 知识点十二 尺规作图 8 重点难点 考点讲练 10 题型1：三角形的识别与有关概念 10 题型2：三角形的个数问题 10 题型3：三角形的分类 11 题型4：构成三角形的条件 12 题型5：确定第三边的取值范围 13 题型6：等腰三角形的定义 14 题型7：画三角形的高 15 题型8：三角形角平分线的定义 16 题型9：三角形三边关系的应用 17 题型10：与三角形的高有关的计算问题 18 题型11：利用网格求三角形面积 19 题型12：全等三角形的概念 22 题型13：全等三角形的性质 23 题型14：用SSS证明三角形全等(SSS) 23 题型15：全等的性质和SSS综合(SSS) 24 题型16：尺规作图——作三角形 26 题型17：三角形的稳定性及应用 27 题型18：用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 28 题型19：全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 29 题型20：用SAS证明三角形全等(SAS) 31 题型21：全等的性质和SAS综合(SAS) 32 题型22：灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 34 题型23：添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 35 题型24：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 37 题型25：全等三角形综合问题 39 中考真题 实战演练 44 难度分层 闯关训练 50 【基础夯实 能力提升】 50 【创新拓展 拔尖冲刺】 52 知识点一 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点二 三角形的分类 知识点三 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点四 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点五 三角形的重要线段 知识点六 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点七 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点八 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点九 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点十 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点十一 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点十二 尺规作图 题型1：三角形的识别与有关概念 【典例精讲】（23-24七年级下·山东德州·月考）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【规范解答】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 【答案】 【思路点拨】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【规范解答】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 题型2：三角形的个数问题 【典例精讲】（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 【答案】14 【思路点拨】本题考查了三角形．分层计算即可求解． 【规范解答】解：单独的小三角形有8个， 两层小三角形有4个， 三层小三角形有2个， 共有个， 故答案为：14． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的概念即可求解． 【规范解答】解：以为边的三角形有， 所以有3个， 故选：C． 题型3：三角形的分类 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知的两边长分别为和，且是等腰三角形，则的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【规范解答】解：当为底时，三角形的三边为，，，由于，不能构成三角形； 当为底时，三角形的三边为，，，可以构成三角形，周长为：． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形的边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论． 【规范解答】解：由题意得，， 因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0， 所以，，， 解得，， 因此，的三边长均为2，满足等边三角形的定义． 故选：B． 题型4：构成三角形的条件 【典例精讲】（24-25七年级下·四川乐山·期末）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【规范解答】解：A、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段能构成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·月考）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（   ） A．2，3，6 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，1，3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的三边关系．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【规范解答】解：A、，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意； B、，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意； C、，能构成三角形支架，故本选项符合题意； D、，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型5：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）已知三角形两边长分别为4和9，则此三角形的周长C的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了三角形的三边关系，熟记关系求出第三边的取值范围是解题的关键．根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的范围，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴第三边， ∴ 即． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可． 【规范解答】解：设第三边为， ∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边， ∴，即， ∵第三边是偶数， ∴， ∴此三角形的周长为． 故答案为： 题型6：等腰三角形的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（    ） A．3，3，5 B．2，2，4 C．1，1，2 D．3，4，5 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义等知识，逐项根据三角形三边关系先判定是否构成三角形，再判断是否是等腰三角形即可求解﹒ 【规范解答】解：A. ∵，∴3，3，5三条线段可以构成等腰三角形，符合题意； B. ∵，∴2，2，4三条线段无法构成三角形，不合题意； C. ∵，∴1，1，2三条线段无法构成三角形，不合题意； D. ∵，∴3，4，5可以构成三角形，但不是等腰三角形，不合题意﹒ 故选：A. 【变式训练】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【思路点拨】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【规范解答】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 题型7：画三角形的高 【典例精讲】（23-24七年级下·山东德州·月考）作的边上的高，下列作法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键. 根据三角形的高线的定义即可解答． 【规范解答】解：如图：作边上的高，是从顶点A出发，引对边的垂线段． 即D选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，的边上的高是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的高，从顶点作的垂线段即为边上的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 【规范解答】解：边上的高是， 故答案为：． 题型8：三角形角平分线的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查垂线段最短，高、中线、角平分线的定义，熟练掌握连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．利用垂线段最短即可解决． 【规范解答】解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 可得最短， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【规范解答】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 题型9：三角形三边关系的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【答案】A 【思路点拨】本题考查三角形三边的关系． 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可． 【规范解答】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏南通·开学考试）已知是的三条边长，化简的结果为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出，是解题的关键． 先根据三角形的三边关系得出，再化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【规范解答】解：∵是的三条边长， ∴， 即， ∴ . 故答案为：． 题型10：与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）如图是梯形转化成三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形的底是（    ）． A．16 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形，梯形面积的计算，理解图示中两个图形面积的关系，面积公式是解题的关键． 根据题意，三角形的面积和梯形的面积相等，根据三角形的面积公式，梯形的面积公式计算即可求解． 【规范解答】解：根据题意，梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形面积是，高是， ∴， 解得，三角形底， 故选：B ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，在三角形中，，点P为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是 （    ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是面积法求三角形的高．熟练掌握三角形的面积公式，垂线段最短．是解题的关键． 当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出． 【规范解答】解：当时，最小， ∵三角形中，， ∴， ∴． 故选：A． 题型11：利用网格求三角形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【思路点拨】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 【规范解答】（1）解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形、垂线段最短、三角形的面积公式，求得的面积是解题的关键． 过A点作轴于点E，过点B作轴于点F，结合点的坐标得，，，进而可解得，结合垂线段最短可知当时，取最小值，结合三角形面积公式解得的值，即可． 【规范解答】解：如图，过A点作轴于点E，过点B作轴于点F， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时， 如图所示，取最小值， 此时可有，即， 解得， ∴长度的最小值是． 故答案为：． 题型12：全等三角形的概念 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 【规范解答】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 【变式训练】（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可． 【规范解答】解：观察图形可知：，， ∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为． 故选D． 题型13：全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26七年级下·山东泰安·月考）已知，如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】该题考查了全等三角形的性质，根据得出，即可得． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得． 【规范解答】解：∵，， ∴． 故答案为： 题型14：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，由作图可知，，，根据证明三角形全等即可解决问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练】（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【规范解答】证明：在和中， ， ∴． 题型15：全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，E是的中点，，，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由中点定义得出，再用“”证明，即可由全等三角形的性质得出结论． 【规范解答】解：，理由如下： ∵E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·山东菏泽·月考）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定与性质，根据题意先整理得，再证明，即可作答． 【规范解答】解：点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， ∴ 故答案：B． 题型16：尺规作图——作三角形 【典例精讲】（24-25七年级下·广东揭阳·月考）作图：已知线段a和，作一个，使得，．． 【答案】答案见解析 【思路点拨】本题考查了作角等于已知角，作线段等知识，熟练掌握作角等于已知角，作线段是解题的关键． 本题根据作角等于已知角，作线段等知识，进行画图，即可求解； 【规范解答】解：①先作线段， ②然后以点为顶点，以为边作， ③以点为顶点，以为边作，射线、相交于点C，就是所求作的三角形；如图： ； 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了作图，全等三角形的判定方法．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是可以判定是运用，答案可得． 【规范解答】解：从作图可知，，， 在与， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 题型17：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【规范解答】解：由“放一个三脚架来固定和支撑相机”可知，这里用到的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质． 【答案】具有稳定性 【思路点拨】本题考查三角形具有稳定性的性质，根据三角形具有稳定性的性质，即可解答． 【规范解答】解：根据三角形具有稳定性，可知，她用到了三角形具有稳定性的性质． 故答案为：稳定性． 题型18：用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题的关键． 根据题意易得出，进而可求出即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查三角形全等；先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据可证2个三角形全等，依此即可求解． 【规范解答】解：①中未知角的度数为：； ②中未知角的度数为； ③中未知角的度数为； ④中未知角的度数为； 因为三角形中边长为25所相邻的角分别为： ①、；②、；③、；④、； 根据可证2个三角形全等是③和④； 故选：D． 题型19：全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（23-24七年级下·安徽合肥·月考）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． (1)求证：； (2)请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由，，根据同角的余角相等即可求解； （2）证明，由全等三角形的性质得，最后由线段和差即可求解 【规范解答】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：在和中： ， ， ， ， ． 【变式训练】（22-23七年级下·陕西铜川·期末）如图所示，小语同学为了测量教学楼的高度，在旗杆与教学楼之间选定一点P，测得与地面夹角与测得PA与地面夹角互余，量得点P到楼底的距离与旗杆的高度都是，量得旗杆与教学楼之间的距离，已知，求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【思路点拨】本题考查全等三角形的实际应用，证明，得到，根据线段的和差关系进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴教学楼的高度为． 题型20：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可知，根据平角定义即可求解． 【规范解答】如图：    在和中， （SAS） ， ． 故答案为： 【变式训练】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【规范解答】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 题型21：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，和 相交于点O．   (1)求证： ； (2)判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟悉三角形全等的判定（SAS、AAS）是解题的关键． （1）根据题意通过证明即可证明； （2）先得到，再根据AAS证明即可判断是等腰三角形． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ， ， （2）是等腰三角形，理由如下， 由（1）知， ，， ， 在和中， ， ， ， 即是等腰三角形． 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知：点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【规范解答】证明：， ， ， 即， 在和中，， ， ， ． 题型22：灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：根据“”可证第②个三角形和全等， 根据“”可证第③个三角形和全等， 故选：B． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【答案】选择的三个条件是①②③或①③④，理由见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 题型23：添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．求出，根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【规范解答】解：， ， 即， A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．， ， ，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法可以由证明． 【规范解答】解：添加， 在和中， ， ， 故答案为：． 题型24：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（24-25七年级下·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【规范解答】解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在中，，，边上的中线的范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的不等关系；延长至E，使，连接，证明，再由三角形三边不等关系即可求解．倍长中线是关键． 【规范解答】解：延长至E，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， 即， 故． 故答案为：． 题型25：全等三角形综合问题 【典例精讲】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】(1)， (2)，；， 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 【规范解答】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时， ；当时， ． 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或18 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【规范解答】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（    ）． A．9 B．8 C．5 D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，进行作答，即可求解； 【规范解答】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 逐一核对选项，只有选项C符合， 故选：C. 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【思路点拨】A、根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、用反证法即可判断；C、延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；D、作的平分线交于点G，证明，可得，进而可以判断 【规范解答】解：A、在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故正确，不符合题意； B、若， ∴， ∴， ∴， 而由已知条件无法证明， 故错误，符合题意； C、如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故正确，不符合题意； D、如图，作的平分线交于点G， 由选项A得， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故正确，不符合题意； 故选B． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，小刚站在河边的点处，在河正对岸（小刚的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他先向正西方向走了20步到达一棵树（点）处，接着又向前走了20步到达点处，然后再左转直行35步到达点处，此时，电线塔、树与小刚现在所处的位置在同一条直线上．若小刚走一步的长度约为，则两点间的距离约为 m． 【答案】21 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意可得（米），（米），（米），再证，得到（米），由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得（米），（米），（米）， ∴， 在与中， ， ∴， ∴（米）， ∴A，B两点间的距离为21米． 故答案为：21． 4．（2024·山西晋中·中考真题）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出 时，最小，即可求出答案． 【规范解答】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 5．（2024·福建泉州·中考真题）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含t的式子表示）； (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2)解：当时，；当时，． (3)或 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定定理，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等，以及三角形全等的判定定理． （1）证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据路程速度时间以及几何关系即可解答； （3）先求出，证明得到，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ， ， ． （2）解：当时，； 当时，， ． （3）解：根据题意得，则， 由（1）得，， 在和中， ， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当线段经过点时，的值为或． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可． 【规范解答】解：A、，能组成三角形，故A符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（   ） A．40米 B．25米 C．10米 D．5米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【规范解答】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故，间的距离不可能是5米． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以为 （只填符合条件的一个即可）． 【答案】3（答案不唯一，还可以是5或7） 【思路点拨】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行作答即可． 【规范解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于，而小于． 又因为三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，所以第三边应是奇数． 所以第三边为3或5或7． 故答案为：3（答案不唯一，还可以是5或7）． 4．（24-25七年级下·上海·月考）在等腰三角形中，若，，则 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识，根据等腰三角形的性质，三角形的三边关系分情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：当时， ∵， ∴不能组成三角形， 当时， ∵， ∴能组成三角形， 综上所述，， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，分别延长，至点，，过点，分别作，，垂足分别为点，，，与相等吗？为什么？ 【答案】，原因见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，通过证明和全等，利用全等三角形的性质来判断与是否相等．关键在于根据已知条件找出全等三角形所需的条件，如角相等、边相等． 【规范解答】解：∵，， ∴， 在和中： ， ∴ ∴． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【规范解答】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据得，进而依据“”判定和全等得，，，进而得选项B，，一定成立，对于选项A当时成立，由此即可得出答案． 【规范解答】解：， ， 即， 在和中，， ， ，，， 故选项B，，一定成立，不符合题意， 当时，， 因此选项A不一定成立． 故选：A． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【答案】/105度 【思路点拨】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【规范解答】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，连接，点为上一点且，垂直于交于，点在线段上（与，不重合），连接，并将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则和的面积和为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，涉及长方形的判定与性质，旋转的性质，正确作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 过点Q作于G，过点P作于M，延长、相交于N，证明四边形是长方形，得到，再证明，得到，从而求得，然后根据求解即可． 【规范解答】解：过点Q作于G，过点P作于M，延长、相交于N，如图， ∵长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：8． 5．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）已知和位置如图所示，．试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）由证明，得出对应边相等即可； （2）由推出，由全等三角形的性质得出，由证明，得出对应边相等即可． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，即， 由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.5 三角形『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共65题） 〔原卷版〕 2 知识点一 三角形的概念 2 知识点二 三角形的分类 2 知识点三 三角形的三边关系 2 知识点四 三角形的稳定性 3 知识点五 三角形的重要线段 3 知识点六 三角形的内角 3 知识点七 直角三角形 3 知识点八 全等图形 4 知识点九 全等三角形 4 知识点十 全等三角形的性质 5 知识点十一 判定全等三角形 5 知识点十二 尺规作图 7 重点难点 考点讲练 8 题型1：三角形的识别与有关概念 8 题型2：三角形的个数问题 8 题型3：三角形的分类 9 题型4：构成三角形的条件 9 题型5：确定第三边的取值范围 9 题型6：等腰三角形的定义 9 题型7：画三角形的高 10 题型8：三角形角平分线的定义 10 题型9：三角形三边关系的应用 11 题型10：与三角形的高有关的计算问题 11 题型11：利用网格求三角形面积 11 题型12：全等三角形的概念 12 题型13：全等三角形的性质 12 题型14：用SSS证明三角形全等(SSS) 13 题型15：全等的性质和SSS综合(SSS) 13 题型16：尺规作图——作三角形 14 题型17：三角形的稳定性及应用 14 题型18：用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 15 题型19：全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 16 题型20：用SAS证明三角形全等(SAS) 17 题型21：全等的性质和SAS综合(SAS) 17 题型22：灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 18 题型23：添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 18 题型24：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 19 题型25：全等三角形综合问题 19 中考真题 实战演练 21 难度分层 闯关训练 22 【基础夯实 能力提升】 22 【创新拓展 拔尖冲刺】 23 知识点一 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点二 三角形的分类 知识点三 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点四 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点五 三角形的重要线段 知识点六 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点七 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点八 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点九 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点十 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点十一 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点十二 尺规作图 题型1：三角形的识别与有关概念 【典例精讲】（23-24七年级下·山东德州·月考）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 题型2：三角形的个数问题 【典例精讲】（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3：三角形的分类 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知的两边长分别为和，且是等腰三角形，则的周长为 ． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 题型4：构成三角形的条件 【典例精讲】（24-25七年级下·四川乐山·期末）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·月考）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（   ） A．2，3，6 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，1，3 题型5：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）已知三角形两边长分别为4和9，则此三角形的周长C的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 题型6：等腰三角形的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（    ） A．3，3，5 B．2，2，4 C．1，1，2 D．3，4，5 【变式训练】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 题型7：画三角形的高 【典例精讲】（23-24七年级下·山东德州·月考）作的边上的高，下列作法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，的边上的高是 ． 题型8：三角形角平分线的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型9：三角形三边关系的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【变式训练】（25-26七年级下·江苏南通·开学考试）已知是的三条边长，化简的结果为 ． 题型10：与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）如图是梯形转化成三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形的底是（    ）． A．16 B．12 C．6 D．3 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，在三角形中，，点P为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是 （    ） A．12 B．15 C．20 D．25 题型11：利用网格求三角形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是 ． 题型12：全等三角形的概念 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【变式训练】（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 题型13：全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26七年级下·山东泰安·月考）已知，如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，，若，，则的长为 ． 题型14：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 题型15：全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，E是的中点，，，与相等吗？为什么？ 【变式训练】（24-25七年级下·山东菏泽·月考）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 题型16：尺规作图——作三角形 【典例精讲】（24-25七年级下·广东揭阳·月考）作图：已知线段a和，作一个，使得，．． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是 ． 题型17：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【变式训练】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质． 题型18：用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 题型19：全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（23-24七年级下·安徽合肥·月考）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． (1)求证：； (2)请求出的长． 【变式训练】（22-23七年级下·陕西铜川·期末）如图所示，小语同学为了测量教学楼的高度，在旗杆与教学楼之间选定一点P，测得与地面夹角与测得PA与地面夹角互余，量得点P到楼底的距离与旗杆的高度都是，量得旗杆与教学楼之间的距离，已知，求教学楼的高度． 题型20：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ．    【变式训练】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（   ） A． B． C． D． 题型21：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，和 相交于点O．   (1)求证： ； (2)判断 的形状，并说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知：点在同一条直线上，．求证：． 题型22：灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 题型23：添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（添加一个即可） 题型24：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（24-25七年级下·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在中，，，边上的中线的范围为 ． 题型25：全等三角形综合问题 【典例精讲】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（    ）． A．9 B．8 C．5 D．2 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，小刚站在河边的点处，在河正对岸（小刚的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他先向正西方向走了20步到达一棵树（点）处，接着又向前走了20步到达点处，然后再左转直行35步到达点处，此时，电线塔、树与小刚现在所处的位置在同一条直线上．若小刚走一步的长度约为，则两点间的距离约为 m． 4．（2024·山西晋中·中考真题）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 5．（2024·福建泉州·中考真题）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含t的式子表示）； (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（   ） A．40米 B．25米 C．10米 D．5米 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以为 （只填符合条件的一个即可）． 4．（24-25七年级下·上海·月考）在等腰三角形中，若，，则 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，分别延长，至点，，过点，分别作，，垂足分别为点，，，与相等吗？为什么？ 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，连接，点为上一点且，垂直于交于，点在线段上（与，不重合），连接，并将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则和的面积和为 ． 5．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）已知和位置如图所示，．试说明： (1)； (2)． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $