专题34 基本初等函数、函数的应用-2026届高考数学三轮冲刺

专题34　基本初等函数、函数的应用 题型01 基本初等函数图象与性质 1．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性判断A，构造且，导数研究其单调性得到大小关系判断B，应用不等式的性质判断C，由余弦、正切函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，则，故，A为假命题， 令且，则，故在上单调递增， 由，则，B为真命题， 由，则，故，即，C为假命题， 若，反例：如，则，D为假命题. 2．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 3．（25-26高三下·江苏扬州·月考）（多选）已知函数，满足，且函数无零点，则（    ） A．方程有解 B．恒成立 C．方程有解 D．恒成立 【答案】BD 【分析】先由无零点且，判断恒成立；再推出以及，从而逐项判断各选项. 【详解】设，则. 又为二次函数，且无零点，所以在实数范围内恒正或恒负. 由于，故，. 于是，，即，. 对于 D，由于对任意实数都成立，所以把换成，得恒成立，故 D 正确. 对于 B，由可得，即. 再由知恒成立，故 B 正确. 对于 A，方程若有解，则有零点，这与题意矛盾，故 A 错误. 对于 C，若方程有解，则由 B 可知应有，矛盾，故 C 错误. 综上，正确选项为 BD. 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若对任意的，均有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将待求不等式转化为成立，通过构造一次函数，结合单调性列不等式组求解即可. 【详解】由，得， 整理得，即，即. 设，这是关于的一次函数， 要对任意，， 需满足两个等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围为. 5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 6．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和特殊值计算，可求得和，再由函数的单调性和零点存在定理推理得到即可. 【详解】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 7．（2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用函数零点思想，结合图象逐一判断即得. 【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象， 依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为， 则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系. 由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：； 当直线在②位置时，显然有：； 当直线在③位置时，显然有：，故D错误. 8．（25-26高三下·河北衡水·期中）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】已知是定义在上的偶函数，故； 又，代入得， 因此，即是周期为的周期函数， 当时，， 因此：， ， 已知，代入得：， 利用对数运算化简： ， 可得：，整理得，解得或， 由对数真数要求对成立，故，舍去， 所以. 题型02 函数模型及其应用 9．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 【答案】C 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 10．（25-26高三下·四川成都·月考）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（   ） A．10000 B．15000 C．20000 D．30000 【答案】A 【详解】依题意，得， 则有，解得，. 当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得. 11．（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约（     ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：） A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年 【答案】B 【分析】根据题意得，解不等式得，再结合区间的中点进行估计，近似到十年即可求解. 【详解】根据题意，，即， 所以，即， 所以，即， 所以区间的中点为，近似到十年为2580年. 12．（25-26高三下·江西抚州·月考）（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（    ） （参考数据：） A．经过年后，样本中的氚会全部消失 B．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的氚的质量变为原来的 D．若年后，样本中氚的质量为，则 【答案】BD 【分析】根据对数函数的性质计算即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故B正确； 对于C，当时，，即经过74.58年后，样本中的氚的质量变为原来的，故C错误； 对于D，由题意，化简得， 将代入其中，可得，故D正确. 13．（2026·北京西城·一模）如图所示的沙漏是由上下两个相同的圆锥形容器组成，其内细沙的总体积为．假设上方容器中细沙的堆积体一直近似为一个倒置的圆锥，初始时细沙都在上方容器内，且此时沙堆的高度为，在重力和限流片的作用下细沙徐徐流入下方容器，经过分钟后剩余沙堆的体积（为常数）．已知初始时细沙都在上方容器内，经过10分钟后上方沙堆的高度降为，此时将沙漏上下颠倒，若倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为，则需再经过的时间约为（   ）（参考数据：） A．8.0分钟 B．8.6分钟 C．9.4分钟 D．10.6分钟 【答案】C 【详解】初始时，上方沙堆高度为，体积为， 体积比等于高度比的立方， 经过10分钟后上方沙堆的高度降为，上方剩余沙堆的体积， 经过分钟后上方剩余沙堆的体积， 经过分钟后上方剩余沙堆的体积， ，，，， 经过分钟后上方剩余沙堆的体积为， 下方容器内的体积为， 将沙漏上下颠倒，此时上方容器内的沙堆体积为， 设此时上方容器的高度为， ，，， 倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为时，上方容器剩余沙堆的体积为， 设从倒置后到高度再次降为需要的时间为， 则，即，， ，分钟. 14．（2026·江苏·二模）随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（   ） A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.6 【答案】B 【分析】由题可得，，代值化简即可求解./ 【详解】已知工时递减速率，且, 所以， 由于生产前件产品的平均工时：， 生产前件产品的平均工时：， 所以， 将​，代入：， 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8 15．（2026·北京海淀·一模）在某密码系统中，生成密码需要从含有94个符号的字符集中随机选择字符.密码熵H（单位：比特）的计算公式为，其中l为密码长度.根据密码熵估计表，当时，比特.若某用户将密码长度从增加到，则密码熵的增加量约为（   ） A．78.6比特 B．86.4比特 C．99.0比特 D．104.8比特 【答案】A 【分析】通过对数运算法则对密码熵公式进行变形，利用已知条件求出单长度对应的熵值，进而计算出长度变化后的熵增. 【详解】根据密码熵计算公式 ，利用对数运算法则将其变形为 . 当密码长度 时，密码熵 ； 当密码长度 时，密码熵 . 密码熵的增加量 . 已知当 时，，即 ，由此可得 . 将 代入 ，解得 . 16．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 题型03 函数的综合运用 17．（25-26高一下·安徽蚌埠·月考）设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出函数的图像，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可. 【解答】函数的图像如图所示， ，，， ，，，， ， 又因为，所以. 18．（2026·安徽·三模）已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，， 所以，即①，因为 是奇函数，所以， 所以，即②， ①+②，并整理得． 19．（2026·贵州六盘水·一模）（多选）记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 【答案】ACD 【分析】构造函数，利用导数，由题意可得是减函数，由此判断A，B；若为偶函数，则，两边求导，可得为奇函数，由此判断C，用特殊值法，可判断D. 【详解】由，得， 因为，所以， 即，所以是减函数， 所以，即，所以A正确； ，即，所以B不正确； 若为偶函数，则. 两边求导，得，所以是奇函数. 由，，得. 所以，所以C正确； 假设，则. 由，得. 由，得，所以. 由，得，即恒成立； 则，即. 令，则成立， 所以可能为二次函数，所以D正确. 20．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，且为奇函数，其中在上，若，恒成立，则实数能取到的最小整数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质可得，进而将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求解单调性即可求解. 【详解】， 由于为奇函数，故，即， 因此恒成立， 故恒成立， 记，，则， 由于均在单调递减，故在单调递减，因此，故在上恒成立， 故在单调递增，故， 由于，且，因此能取到的最小整数为0. 21．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对 化简：. 求导：. 令，得； 时，此时单调递减； 时，此时单调递增， ， ， 显然， 故的图象关于直线对称, 且在上单调递减，上单调递增. 所以等价于， 平方得， 整理得，解得. 22．（25-26高三下·河北·开学考试）（多选）若存在，使，称为“xf点”，为“xf函数”，则（    ） A．是“xf函数” B．是“xf函数” C．最多存在4个不同的“xf点” D．存在幂函数，使得对任意， 【答案】BCD 【分析】A：假设是“xf函数”，得出存在，，构造函数研究其零点即可；B：利用零点存在性定理判断；C：化简即可；D：设，根据条件解方程即可. 【详解】A选项，若是“xf函数”， 则存在，使，显然，则有， 令，则，其在上单调递减， 因为，， 所以存在使得，， 则当时，单调递增；当时，单调递减； 故， 因为在上单调递增， 所以， 则方程无解，故A错误； B选项，若是“xf函数”， 则存在，使， 令， 因为，， 所以由零点存在性定理可知，存在，使，故B正确； C选项，若是“xf函数”， 则存在，使， 即，该四次方程，最多有四个不同的实根， 故最多存在4个不同的“xf点”，故C正确； D选项，假设存在幂函数，使得对任意，， 可设，则对任意，， 则，即，得，故D正确. 23．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数满足：①，都有；②，，恒有．则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．若，则 【答案】D 【分析】由条件①，可判断是上的增函数，利用单调性可判断A；结合换元法将复杂的自变量的范围求出来，利用的单调性可判断B；对于条件②，通过赋值法，给、赋特殊值，推导函数的性质，进而分析的奇偶性，可判断C；可结合函数单调性或构造函数，利用基本不等式判断自变量的关系，进而推导函数值的关系可判断D. 【详解】对于A，由，令，得，则． 因为，都有，所以在上单调递增，故，故A错误． 对于B，设，令，所以， 可知在上单调递增，所以， 所以，即，故B错误． 对于C，由，令，，得， 所以．因为， 所以， 所以函数为奇函数，故C错误． 对于D，令，，则， 所以，因为， 当且仅当时等号成立，又在上单调递增， 所以， 即，故D正确． 24．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．是奇函数 D．的图象在区间上仅有一个最高点和一个最低点 【答案】AD 【分析】利用二倍角公式、三角函数的图象与性质求解即可. 【详解】A，因为，所以由最小正周期，解得，故A正确． B，，当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误． C，为偶函数，故C错误． D，当时，．令，则在区间上， 当时取得唯一最大值，当时取得唯一最小值，故D正确． 强化训练 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化，结合的单调性得到，再由指数函数的性质得，利用的单调性得，最后由对数函数的单调性即可得. 【详解】由，且， 由对勾函数单调性在上单调递增，都在内， 所以， 由，结合指数函数的单调性知，则， 由在上单调递减， 所以，则， 所以， 综上，. 2．（2026·山东泰安·二模）实数满足，则（    ） A．2025 B．2026 C．2026 D．2028 【答案】C 【详解】设，因为，所以当时，，即， 又函数和函数在上都单调递增， 故在上也单调递增， 又，，， . 3．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（k为参数）．已知刚开始退潮时水面高度为100cm，若从到，水面高度下降了16cm，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 4．（25-26高三下·北京·开学考试）某药在病人血液中的量低于时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）.（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为药在血液中以每小时的比例衰减，所以设小时后，血液中的药量. 根据题意，整理得，两边取对数有， 由对数性质，又因为，所以， 所以再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过7.0. 5．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为是增函数，所以需保证相邻区间的函数值满足递增关系，根据已知时的函数表达式求出该区间的最大值，再结合递推关系，建立关于不等式求解. 【详解】当时，，和都是单调递增函数，因此在内单调递增， 左端点； 在区间内，对任意，都有， 由递推关系： 当时，，因此， 若整体递增，则必有，若，函数值正负交替，不可能递增， 则该区间内部同样单调递增；而区间左端点， 区间内任意，都有， 函数整体为增函数，必须满足的最大上限值的最小起点值， 得到，解得. 再看区间，左端点， 要保持递增，需的上限值，得，和之前结论一致， 以此类推，对所有后续区间，只要，分段衔接处永远满足递增，每一段内部也保持递增. 6．（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】先根据奇函数的对称性求得函数的单调区间，再结合函数图象平移求解即可. 【详解】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，的图象是一条连续的曲线， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 7．（2026·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数，则下列正确的是（   ） A．为奇函数 B．3是的极小值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上一定存在最大值 【答案】ABC 【分析】化简，根据函数解析式可判断A；求导，根据极小值点的定义可判断B；根据导数的几何意义计算可判断C；根据函数单调性定义可判断D. 【详解】对于A，， 显然是奇函数，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，故B正确； 对于C，，， 故曲线在点处的切线方程为，即，故C正确； 对于D， ， 在处左增右减，故为极大值点，极大值， 在上单调递增，且时，， 所以在上不一定存在最大值，故D错误. 8．（2026·湖南衡阳·二模）（多选）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A：因为为偶函数，当时，， 所以，故A正确； 对于B：因为函数为偶函数，所以， 所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 对于C：因为和均为偶函数，所以， 在中，将替换为，得，故， 所以的一个周期为2，故C正确； 对于D：当时，， 故， 故当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 9．（2026·甘肃酒泉·二模）（多选）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数都是偶函数 B．若，则函数在上存在唯一极小值点 C．若，则函数在上存在极值点 D．若，且方程有且仅有一个实数解，则 【答案】ABD 【详解】A选项：函数的定义域为，关于原点对称， 且， 故对任意，为偶函数，A正确. B选项：当时，， 求导得， 令则，故在上单调递增， 又，所以当 时 ， 时 ， 因此是在上唯一的极小值点，B正确. C选项：当时，， ，当时，，， 故，在上单调递减，无极值点，C错误. D选项：当时，结合B选项可知，在处取得最小值， 方程有且仅有一个解，则最小值为，即，解得，D正确. 10．（25-26高三下·四川成都·开学考试）（多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 【答案】AC 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于A，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，A正确； 对于B，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，B错误； 对于C，，即2年后预测种群数量约为1061，C正确； 对于D，，即2年后预测种群数量约为2881，D错误. 故选：AC 11．（2026·湖南·一模）（多选）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 【答案】AD 【详解】，由，解得， 由，解得或， 所以在和上单调递减，在区间上单调递增， 所以，分别为的极小值点和极大值点， 则有两个极值点，故A正确； 因为，所以， 根据在区间上单调递增，所以，故B错误； ，，， 结合的单调性，作出的大致图象，由下图可知，有两个零点，故C错误； 结合图象可知不等式的解集为且，故D正确． 12．（25-26高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 【答案】600 【详解】因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，则， 即，又因， 所以. 13．（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则__________. 【答案】 【详解】，，， ，， ，，，， ，. 14．（25-26高三下·河南·月考）已知正数，，均不等于1，且，，则________． 【答案】6 【详解】方法一：，即． 方法二：由，，得，，则，所以． 15．（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 【答案】3 【详解】因为为偶函数，故， 即， 即， 所以，即，所以，则． 16．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】若函数为偶函数，则为奇函数， 而为偶函数，则,即， ，故， 当时，，即函数在单调递减， 由为偶函数，则， 结合单调性可知，即，解得或, 故不等式的解集为. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $专题34基本初等函数、函数的应用 题型01基本初等函数图象与性质 1.(2026四川泸州·模拟预测)下列命题为真命题的是() A.若a>b>1'则>5： B.若a>b>1,则nbna C.若a<b<0 ,，则<ab< D.若a<b<0,则osa<tamb, 2°=m,3=n 2.(2026陕西安康三模)若 40.27b= ,则 ·(用m,n表示) 3.(25,26高三下-江苏扬州月考)（多选）已知函数/d=ar+r+a+0,满足f刊=2，且函数 g(刘=f八-x无零点，则() A.方程8f()=0有解 B.f()>x恒成立 C.方程八=有解 D.8f刃>0恒成立 4.(2026海南省直辖县级单位模拟预测）已知函数f)-+,若对任意的x≥0：均有 f（x+m)-f(x)>ln2 则实数m的取值范围是() B.4In 2,+o) C.[2h2,+∞) D.（-o,2ln2 5.(2526高三上天津滨海新区月考》已知a=07,6=2,c=lea2,那么a,C的大小为() A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 6.(25-26高三上-四川绵阳月考)已知函数)=+-80=3+K-l)=g1+-的零点分别为 a,b,c,则a,b,c的大小顺序为() A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 1/9 7.(2026上海普陀·二模)设x、八、z∈R,若10=y2=1og,2,则下列结论中不可能成立的是（) A.y<x<z B.x<y<z C.x<z<y D.z<y<x 8.(25-26高三下河北衡水期中)设x是定义在R上的偶函数，且=f4-,当x0,2刘时， 13 f(x=log,(x+a,若 f0=f八) 则a=() A.-1 B.1 C.2 D.3 题型02函数模型及其应用 9.(2026·湖北十堰·二模)冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终 处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋 等)、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y(单位：小时)与 贮藏温度x(单位：℃)之间满足：y=e6 (其中a,b为常数).若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为 261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏 温度不能超过() A.12C B.14C C.16C D.18C 10.(25-26高三下·四川成都·月考)人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与 能力迭代的复杂过程在一定条件下，某人工智能大语言模型训练V个单位的数据量所需的时间 T=mo lg N (单位： h),，其中"”为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为8h 当训练m个单位的数据量所需的时间为16h时，m=() A.10000 B.15000 C.20000 D.30000 11.(2026四川成都模拟预测)2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利 用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足 N=N (八，表示碳14原有的质量)经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量 2/9 V23 约是原来的2至4，据此推测青铜布币生产的时期距今约()年（按区间的中点进行估计，近似到十年）？ 1og23≈1.6 (参考数据： A.1880年 B.2580年 C.3550年 D.4150年 12.(25-26高三下·江西抚州：月考)（多选)氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变若样本 中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足关系式N-N。2243,其中N表示氚原有的质量，则() (参考数据：lg2≈0.301) A.经过24.86年后，样本中的氚会全部消失 B.样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为12.43年 C.经过74.58年后，样本中的氚的质量变为原来的32 D.若年后，样本中氚的质量 为04，则x<17 13.(2026北京西城一模)如图所示的沙漏是由上下两个相同的圆锥形容器组成，其内细沙的总体积为'0.假设 上方容器中细沙的堆积体一直近似为一个倒置的圆锥，初始时细沙都在上方容器内，且此时沙堆的高度为h,在重 (t≤30) V=Voe 力和限流片的作用下细沙徐徐流入下方容器，经过 分钟后剩余沙堆的体积 ”(为常数)·已知初 始时细沙都在上方容器内，经过10分钟后上方沙堆的高度降为2九，此时将沙漏上下颠倒，若倒置后的上方容器 内沙堆高度再次降为2h,则需再经过的时间约为(）（参考数据：n2≈0.69，n31.10,n7≈1.95） 限流片 A.8.0分钟 B.8.6分钟 C.9.4分钟 D.10.6分钟 14.(2026江苏·二模)随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高.该技术下生产第一件产品的工时为 ,生产件产品的平均工时'=”，其中“=-0,5(“为产品工时递减速率).现有一条工时递减速率为8O% 3/9 的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为() A.0.6 B.0.8 C.1.25 D.1.6 15.(2026北京海淀一模)在某密码系统中，生成密码需要从含有94个符号的字符集中随机选择字符.密码熵 H(单位：比特)的计算公式为月=，94)，其中1为密码长度根据密码熵估计表，当=8时，H≈524比特若 某用户将密码长度从1=6增加到1=18，则密码嫡的增加量约为() A.78.6比特B.86.4比特 C.99.0比特 D.104.8比特 16.(2026·北京平谷·一模)近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用.科 学研究表明，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q=Qe·,其中Q,是臭氧的初始含量，a为常数.经过 测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.按照这样变化规 律，若经过n年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n约为()（参考数据：n2≈0.7，ln10≈2.3） A.448 B.392 C.360 D.640 题型03函数的综合运用 1og2x(0<x≤2) 17.(25-26高一下安徽蚌埠月考)设= 智}<x0,若存在实数x”马'5'与满足 sm4） (x-2)(x4-2) x<2<<x4,且f()=f(x)=f(x)=f(x4),则 Xx2 的范围是() A.(0,12) B.(4,16 C.(92) D.(1525) 18.(2026·安微徽·三模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)+sinx为偶函数， A.2-21g2B.1 c.e,2 D.log;2 19.(2026贵州六盘水一模)（多选）记函数的导函数为八，已知f0=e,且xeR,()<, 4/9 则下列结论正确的是() A.f0)>1 B.I(2)>e2 C.若为偶函数，则>-D.f刊可能为二次函数 20.(2026陕西成阳二模)已知函数-兮-a2+b,且y=x+-%为奇函数，其中5必)在了冈上， 若a-3,-,e+s血6+%>0恒成立，则实数b能取到的最小整数是() A.-18 B.-17 C.-1 D.0 21(2026河南洛阳-模拟预测)已知函数)=血©+c-￥，实数m满足fm>2m+2,则m的取值范 围是() A. B.(0,2 c. D.-2,0j 22.(2526高三下河北开学考试)（多选）若存在∈R,使=[/(x门，称为“可点”，f为 “xf函数”，则() A.f(x)=e 是“xf函数” B.f)=cosx是“对函数” C.f=r+ceR最多存在4个不同的“对点” D.存在幂函数f,使得对任意x∈(0，+w),d=f[f] f-以，0，@Na 23.(2026陕西西安模拟预测)已知定义在R上的函数fx)满足：①x≠y,都有x-y b∈R,恒有2a=f八a+)+/八a-b)-1.则下列结论正确的是() A.f2)<1 B.f2x2+1-Vx2+1≤1 C.函数gx)=x-1为偶函数 2+21之f D.若meR,则2 5/9 24.(2026陕西西安·模拟预测)（多选)已知函数 八=1-2simo-o>0 的最小正周期为1，则() A.0=1 「13 B.f(x)在区间4'4上单调递减 D.f的图象在区间0,1上仅有一个最高点和一个最低点 强化训练 1.（2026重庆沙坪坝模拟预测)已知实数4，b满足“=1o8:5+1o2,6=1o8,2+3),则（) A.a<b<1 B.b<a<l C.1<a<b D.I<b<a 2.（2026山东素安二模)实数a,b满足a+11og,a-)=6-川2+刊=2026，则b-a+b=（) A.2025 B.2026 C.2026 D.2028 3.(2026·辽宁抚顺·一模)一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h(单位：cm)关于时间t （单位：s》的函数解析式为= 2t+1 +k(k为参数)·已知刚开始退潮时水面高度为100cm,若从1=a到 t=a+10,水面高度下降了16cm,则a=（) A.2 B.4 C.6 D.8 00mg 4.(25-26高三下·北京·开学考试)某药在病人血液中的量低于 时病人就有危险现给某病人的静脉注射了 2500mg 这种药 如果药在血液中以每小时20的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过 （)h.(精确到h,参考数据： 1g2≈0.30,1g3≈0.48 A.7.0 B.5.7 C.3.6 D.2.2 5.(2026安徽马鞍山二模)已知函数'=/( 的定义域为+w,当e,3时，f到=2(x+,对任意 6/9 x≥1，有x+2列=(a≠0).若'=f是增函数，则实数“的取值范围是（) A.(4,+∞) B.4,+o) C.(8+o∞) D.8,+o 6.(2026陕西交底三模)已知函数为奇函数，且在0,2)上单调递增，在3+切)上单调递减，若的图 象是一条连续的曲线，则8)=f(x+2)-1 () A.在0,4)上单调递增 B.在4,0)上单调递增 C.在o,0) 上单调递减 D.在4+w) 上单调递减 7。(2026-四川泸州模拟预)（多选）已知函数)}--3x 3,则下列正确的是() A.少=fx+)+4 为奇函数 B.3是四的极小值点 C.曲线y=f)在点4，f4圳处的切线方程为5x-y-27=0 D.若a>-1,则在-2，a上一定存在最大值 &。(206演南衡附二模》（多选）已知届数份定义域为R.分儿+川均为偶两藏，且当0川 和 时 f=-x-+2,则() A. B.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 C.函数四 f(x)（-2,-1), 是周期为2的周期函数D.函数”在 上单调递增 9.(2026-甘肃酒泉二模)（多选）已知函数/=cosr+a+6a,beR 下列说法正确的有() A,对任意a,b∈R,函数八刊都是偶函数 B.若a=2,则函数fx)在R上存在唯一极小值点 7/9 C.若a=,则函数在0，上存在极值点 1 D.若Q=2,且方程f八x=0有且仅有一个实数解，则b=-1 10.(25-26高三下·四川成都·开学考试)（多选)某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式： P=P1+k)"(k>-1) 来研究种群数量的变化趋势，其中P为最终预测数量，B为初始数量，k为种群数量的年增 长率，n为预测的年数，则（) k∈(-1,0) A.当 ,则这期间种群数呈下降趋势 k∈(0,1) B.当 ，则这期间种群数呈下降趋势 P=100 C.若初始数量 0,年增长率为k=0.03,则2年后预测种群数量约为1061 D.若初始数量 B=3000 年增长率为k=0.02,则2年后预测种群数量约为2991 1山.(2026湖南一模)（多选）已知函数)=-r+3x-2。 ,则() f(x) A. 有两个极值点 B.当0<x<1时，f<f) C.(r) 的零点个数为3 D.不等式)<0的解集为>-2且x≠1 12.(25-26高三下·上海·月考)自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖 后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型： N=N,e”,其中为种群起始个体数量，·为增长系数，N川为时刻的种群个体数量.当=3时，种群个体数 量是起始个体数量的2倍.若N4刊=150，则N10)= 13。(2026山东泰安二模)已知实数m>0,且m1, 若4m=mlog.2= ,则 14.(25-26高三下河南月考)已知正数“，6，C均不等于1，且9 loga=2 log b=3 loga= ,则 8/9 15.(2026-山西运城二模)若=t+(a-r+2(xeR为偶函数，则a= 16.(2026上海普陀二模)设定义域为R的函数y=x的导函数为y=川y,令8=了x+x+VP+, 若函数”=八国和函数”=g(皆为偶函数，则不等式川x+2引>2x-3的解集为 9/9 专题34　基本初等函数和函数的应用 题型01 基本初等函数图象与性质 1．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性判断A，构造且，导数研究其单调性得到大小关系判断B，应用不等式的性质判断C，由余弦、正切函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，则，故，A为假命题， 令且，则，故在上单调递增， 由，则，B为真命题， 由，则，故，即，C为假命题， 若，反例：如，则，D为假命题. 2．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 3．（25-26高三下·江苏扬州·月考）（多选）已知函数，满足，且函数无零点，则（    ） A．方程有解 B．恒成立 C．方程有解 D．恒成立 【答案】BD 【分析】先由无零点且，判断恒成立；再推出以及，从而逐项判断各选项. 【详解】设，则. 又为二次函数，且无零点，所以在实数范围内恒正或恒负. 由于，故，. 于是，，即，. 对于 D，由于对任意实数都成立，所以把换成，得恒成立，故 D 正确. 对于 B，由可得，即. 再由知恒成立，故 B 正确. 对于 A，方程若有解，则有零点，这与题意矛盾，故 A 错误. 对于 C，若方程有解，则由 B 可知应有，矛盾，故 C 错误. 综上，正确选项为 BD. 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若对任意的，均有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将待求不等式转化为成立，通过构造一次函数，结合单调性列不等式组求解即可. 【详解】由，得， 整理得，即，即. 设，这是关于的一次函数， 要对任意，， 需满足两个等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围为. 5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 6．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和特殊值计算，可求得和，再由函数的单调性和零点存在定理推理得到即可. 【详解】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 7．（2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用函数零点思想，结合图象逐一判断即得. 【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象， 依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为， 则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系. 由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：； 当直线在②位置时，显然有：； 当直线在③位置时，显然有：，故D错误. 8．（25-26高三下·河北衡水·期中）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】已知是定义在上的偶函数，故； 又，代入得， 因此，即是周期为的周期函数， 当时，， 因此：， ， 已知，代入得：， 利用对数运算化简： ， 可得：，整理得，解得或， 由对数真数要求对成立，故，舍去， 所以. 题型02 函数模型及其应用 9．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 【答案】C 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 10．（25-26高三下·四川成都·月考）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（   ） A．10000 B．15000 C．20000 D．30000 【答案】A 【详解】依题意，得， 则有，解得，. 当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得. 11．（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约（     ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：） A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年 【答案】B 【分析】根据题意得，解不等式得，再结合区间的中点进行估计，近似到十年即可求解. 【详解】根据题意，，即， 所以，即， 所以，即， 所以区间的中点为，近似到十年为2580年. 12．（25-26高三下·江西抚州·月考）（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（    ） （参考数据：） A．经过年后，样本中的氚会全部消失 B．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的氚的质量变为原来的 D．若年后，样本中氚的质量为，则 【答案】BD 【分析】根据对数函数的性质计算即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故B正确； 对于C，当时，，即经过74.58年后，样本中的氚的质量变为原来的，故C错误； 对于D，由题意，化简得， 将代入其中，可得，故D正确. 13．（2026·北京西城·一模）如图所示的沙漏是由上下两个相同的圆锥形容器组成，其内细沙的总体积为．假设上方容器中细沙的堆积体一直近似为一个倒置的圆锥，初始时细沙都在上方容器内，且此时沙堆的高度为，在重力和限流片的作用下细沙徐徐流入下方容器，经过分钟后剩余沙堆的体积（为常数）．已知初始时细沙都在上方容器内，经过10分钟后上方沙堆的高度降为，此时将沙漏上下颠倒，若倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为，则需再经过的时间约为（   ）（参考数据：） A．8.0分钟 B．8.6分钟 C．9.4分钟 D．10.6分钟 【答案】C 【详解】初始时，上方沙堆高度为，体积为， 体积比等于高度比的立方， 经过10分钟后上方沙堆的高度降为，上方剩余沙堆的体积， 经过分钟后上方剩余沙堆的体积， 经过分钟后上方剩余沙堆的体积， ，，，， 经过分钟后上方剩余沙堆的体积为， 下方容器内的体积为， 将沙漏上下颠倒，此时上方容器内的沙堆体积为， 设此时上方容器的高度为， ，，， 倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为时，上方容器剩余沙堆的体积为， 设从倒置后到高度再次降为需要的时间为， 则，即，， ，分钟. 14．（2026·江苏·二模）随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（   ） A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.6 【答案】B 【分析】由题可得，，代值化简即可求解./ 【详解】已知工时递减速率，且, 所以， 由于生产前件产品的平均工时：， 生产前件产品的平均工时：， 所以， 将​，代入：， 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8 15．（2026·北京海淀·一模）在某密码系统中，生成密码需要从含有94个符号的字符集中随机选择字符.密码熵H（单位：比特）的计算公式为，其中l为密码长度.根据密码熵估计表，当时，比特.若某用户将密码长度从增加到，则密码熵的增加量约为（   ） A．78.6比特 B．86.4比特 C．99.0比特 D．104.8比特 【答案】A 【分析】通过对数运算法则对密码熵公式进行变形，利用已知条件求出单长度对应的熵值，进而计算出长度变化后的熵增. 【详解】根据密码熵计算公式 ，利用对数运算法则将其变形为 . 当密码长度 时，密码熵 ； 当密码长度 时，密码熵 . 密码熵的增加量 . 已知当 时，，即 ，由此可得 . 将 代入 ，解得 . 16．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 题型03 函数的综合运用 17．（25-26高一下·安徽蚌埠·月考）设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出函数的图像，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可. 【解答】函数的图像如图所示， ，，， ，，，， ， 又因为，所以. 18．（2026·安徽·三模）已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，， 所以，即①，因为 是奇函数，所以， 所以，即②， ①+②，并整理得． 19．（2026·贵州六盘水·一模）（多选）记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 【答案】ACD 【分析】构造函数，利用导数，由题意可得是减函数，由此判断A，B；若为偶函数，则，两边求导，可得为奇函数，由此判断C，用特殊值法，可判断D. 【详解】由，得， 因为，所以， 即，所以是减函数， 所以，即，所以A正确； ，即，所以B不正确； 若为偶函数，则. 两边求导，得，所以是奇函数. 由，，得. 所以，所以C正确； 假设，则. 由，得. 由，得，所以. 由，得，即恒成立； 则，即. 令，则成立， 所以可能为二次函数，所以D正确. 20．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，且为奇函数，其中在上，若，恒成立，则实数能取到的最小整数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质可得，进而将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求解单调性即可求解. 【详解】， 由于为奇函数，故，即， 因此恒成立， 故恒成立， 记，，则， 由于均在单调递减，故在单调递减，因此，故在上恒成立， 故在单调递增，故， 由于，且，因此能取到的最小整数为0. 21．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对 化简：. 求导：. 令，得； 时，此时单调递减； 时，此时单调递增， ， ， 显然， 故的图象关于直线对称, 且在上单调递减，上单调递增. 所以等价于， 平方得， 整理得，解得. 22．（25-26高三下·河北·开学考试）（多选）若存在，使，称为“xf点”，为“xf函数”，则（    ） A．是“xf函数” B．是“xf函数” C．最多存在4个不同的“xf点” D．存在幂函数，使得对任意， 【答案】BCD 【分析】A：假设是“xf函数”，得出存在，，构造函数研究其零点即可；B：利用零点存在性定理判断；C：化简即可；D：设，根据条件解方程即可. 【详解】A选项，若是“xf函数”， 则存在，使，显然，则有， 令，则，其在上单调递减， 因为，， 所以存在使得，， 则当时，单调递增；当时，单调递减； 故， 因为在上单调递增， 所以， 则方程无解，故A错误； B选项，若是“xf函数”， 则存在，使， 令， 因为，， 所以由零点存在性定理可知，存在，使，故B正确； C选项，若是“xf函数”， 则存在，使， 即，该四次方程，最多有四个不同的实根， 故最多存在4个不同的“xf点”，故C正确； D选项，假设存在幂函数，使得对任意，， 可设，则对任意，， 则，即，得，故D正确. 23．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数满足：①，都有；②，，恒有．则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．若，则 【答案】D 【分析】由条件①，可判断是上的增函数，利用单调性可判断A；结合换元法将复杂的自变量的范围求出来，利用的单调性可判断B；对于条件②，通过赋值法，给、赋特殊值，推导函数的性质，进而分析的奇偶性，可判断C；可结合函数单调性或构造函数，利用基本不等式判断自变量的关系，进而推导函数值的关系可判断D. 【详解】对于A，由，令，得，则． 因为，都有，所以在上单调递增，故，故A错误． 对于B，设，令，所以， 可知在上单调递增，所以， 所以，即，故B错误． 对于C，由，令，，得， 所以．因为， 所以， 所以函数为奇函数，故C错误． 对于D，令，，则， 所以，因为， 当且仅当时等号成立，又在上单调递增， 所以， 即，故D正确． 24．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．是奇函数 D．的图象在区间上仅有一个最高点和一个最低点 【答案】AD 【分析】利用二倍角公式、三角函数的图象与性质求解即可. 【详解】A，因为，所以由最小正周期，解得，故A正确． B，，当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误． C，为偶函数，故C错误． D，当时，．令，则在区间上， 当时取得唯一最大值，当时取得唯一最小值，故D正确． 强化训练 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化，结合的单调性得到，再由指数函数的性质得，利用的单调性得，最后由对数函数的单调性即可得. 【详解】由，且， 由对勾函数单调性在上单调递增，都在内， 所以， 由，结合指数函数的单调性知，则， 由在上单调递减， 所以，则， 所以， 综上，. 2．（2026·山东泰安·二模）实数满足，则（    ） A．2025 B．2026 C．2026 D．2028 【答案】C 【详解】设，因为，所以当时，，即， 又函数和函数在上都单调递增， 故在上也单调递增， 又，，， . 3．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（k为参数）．已知刚开始退潮时水面高度为100cm，若从到，水面高度下降了16cm，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 4．（25-26高三下·北京·开学考试）某药在病人血液中的量低于时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）.（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为药在血液中以每小时的比例衰减，所以设小时后，血液中的药量. 根据题意，整理得，两边取对数有， 由对数性质，又因为，所以， 所以再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过7.0. 5．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为是增函数，所以需保证相邻区间的函数值满足递增关系，根据已知时的函数表达式求出该区间的最大值，再结合递推关系，建立关于不等式求解. 【详解】当时，，和都是单调递增函数，因此在内单调递增， 左端点； 在区间内，对任意，都有， 由递推关系： 当时，，因此， 若整体递增，则必有，若，函数值正负交替，不可能递增， 则该区间内部同样单调递增；而区间左端点， 区间内任意，都有， 函数整体为增函数，必须满足的最大上限值的最小起点值， 得到，解得. 再看区间，左端点， 要保持递增，需的上限值，得，和之前结论一致， 以此类推，对所有后续区间，只要，分段衔接处永远满足递增，每一段内部也保持递增. 6．（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】先根据奇函数的对称性求得函数的单调区间，再结合函数图象平移求解即可. 【详解】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，的图象是一条连续的曲线， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 7．（2026·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数，则下列正确的是（   ） A．为奇函数 B．3是的极小值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上一定存在最大值 【答案】ABC 【分析】化简，根据函数解析式可判断A；求导，根据极小值点的定义可判断B；根据导数的几何意义计算可判断C；根据函数单调性定义可判断D. 【详解】对于A，， 显然是奇函数，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，故B正确； 对于C，，， 故曲线在点处的切线方程为，即，故C正确； 对于D， ， 在处左增右减，故为极大值点，极大值， 在上单调递增，且时，， 所以在上不一定存在最大值，故D错误. 8．（2026·湖南衡阳·二模）（多选）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A：因为为偶函数，当时，， 所以，故A正确； 对于B：因为函数为偶函数，所以， 所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 对于C：因为和均为偶函数，所以， 在中，将替换为，得，故， 所以的一个周期为2，故C正确； 对于D：当时，， 故， 故当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 9．（2026·甘肃酒泉·二模）（多选）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数都是偶函数 B．若，则函数在上存在唯一极小值点 C．若，则函数在上存在极值点 D．若，且方程有且仅有一个实数解，则 【答案】ABD 【详解】A选项：函数的定义域为，关于原点对称， 且， 故对任意，为偶函数，A正确. B选项：当时，， 求导得， 令则，故在上单调递增， 又，所以当 时 ， 时 ， 因此是在上唯一的极小值点，B正确. C选项：当时，， ，当时，，， 故，在上单调递减，无极值点，C错误. D选项：当时，结合B选项可知，在处取得最小值， 方程有且仅有一个解，则最小值为，即，解得，D正确. 10．（25-26高三下·四川成都·开学考试）（多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 【答案】AC 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于A，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，A正确； 对于B，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，B错误； 对于C，，即2年后预测种群数量约为1061，C正确； 对于D，，即2年后预测种群数量约为2881，D错误. 故选：AC 11．（2026·湖南·一模）（多选）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 【答案】AD 【详解】，由，解得， 由，解得或， 所以在和上单调递减，在区间上单调递增， 所以，分别为的极小值点和极大值点， 则有两个极值点，故A正确； 因为，所以， 根据在区间上单调递增，所以，故B错误； ，，， 结合的单调性，作出的大致图象，由下图可知，有两个零点，故C错误； 结合图象可知不等式的解集为且，故D正确． 12．（25-26高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 【答案】600 【详解】因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，则， 即，又因， 所以. 13．（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则__________. 【答案】 【详解】，，， ，， ，，，， ，. 14．（25-26高三下·河南·月考）已知正数，，均不等于1，且，，则________． 【答案】6 【详解】方法一：，即． 方法二：由，，得，，则，所以． 15．（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 【答案】3 【详解】因为为偶函数，故， 即， 即， 所以，即，所以，则． 16．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】若函数为偶函数，则为奇函数， 而为偶函数，则,即， ，故， 当时，，即函数在单调递减， 由为偶函数，则， 结合单调性可知，即，解得或, 故不等式的解集为. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题34　基本初等函数和函数的应用 题型01 基本初等函数图象与性质 1．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 2．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 3．（25-26高三下·江苏扬州·月考）（多选）已知函数，满足，且函数无零点，则（    ） A．方程有解 B．恒成立 C．方程有解 D．恒成立 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若对任意的，均有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·河北衡水·期中）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型02 函数模型及其应用 9．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 10．（25-26高三下·四川成都·月考）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（   ） A．10000 B．15000 C．20000 D．30000 11．（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约（     ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：） A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年 12．（25-26高三下·江西抚州·月考）（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（    ） （参考数据：） A．经过年后，样本中的氚会全部消失 B．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的氚的质量变为原来的 D．若年后，样本中氚的质量为，则 13．（2026·北京西城·一模）如图所示的沙漏是由上下两个相同的圆锥形容器组成，其内细沙的总体积为．假设上方容器中细沙的堆积体一直近似为一个倒置的圆锥，初始时细沙都在上方容器内，且此时沙堆的高度为，在重力和限流片的作用下细沙徐徐流入下方容器，经过分钟后剩余沙堆的体积（为常数）．已知初始时细沙都在上方容器内，经过10分钟后上方沙堆的高度降为，此时将沙漏上下颠倒，若倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为，则需再经过的时间约为（   ）（参考数据：） A．8.0分钟 B．8.6分钟 C．9.4分钟 D．10.6分钟 14．（2026·江苏·二模）随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（   ） A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.6 15．（2026·北京海淀·一模）在某密码系统中，生成密码需要从含有94个符号的字符集中随机选择字符.密码熵H（单位：比特）的计算公式为，其中l为密码长度.根据密码熵估计表，当时，比特.若某用户将密码长度从增加到，则密码熵的增加量约为（   ） A．78.6比特 B．86.4比特 C．99.0比特 D．104.8比特 16．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 题型03 函数的综合运用 17．（25-26高一下·安徽蚌埠·月考）设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·安徽·三模）已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 19．（2026·贵州六盘水·一模）（多选）记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 20．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，且为奇函数，其中在上，若，恒成立，则实数能取到的最小整数是（    ） A． B． C． D．0 21．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三下·河北·开学考试）（多选）若存在，使，称为“xf点”，为“xf函数”，则（    ） A．是“xf函数” B．是“xf函数” C．最多存在4个不同的“xf点” D．存在幂函数，使得对任意， 23．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数满足：①，都有；②，，恒有．则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．若，则 24．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．是奇函数 D．的图象在区间上仅有一个最高点和一个最低点 强化训练 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·二模）实数满足，则（    ） A．2025 B．2026 C．2026 D．2028 3．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（k为参数）．已知刚开始退潮时水面高度为100cm，若从到，水面高度下降了16cm，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26高三下·北京·开学考试）某药在病人血液中的量低于时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）.（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 5．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 7．（2026·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数，则下列正确的是（   ） A．为奇函数 B．3是的极小值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上一定存在最大值 8．（2026·湖南衡阳·二模）（多选）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 9．（2026·甘肃酒泉·二模）（多选）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数都是偶函数 B．若，则函数在上存在唯一极小值点 C．若，则函数在上存在极值点 D．若，且方程有且仅有一个实数解，则 10．（25-26高三下·四川成都·开学考试）（多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 11．（2026·湖南·一模）（多选）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 12．（25-26高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 13．（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则__________. 14．（25-26高三下·河南·月考）已知正数，，均不等于1，且，，则________． 15．（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 16．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $