压轴01 函数性质及函数模型的9大核心题型（压轴题专练）（北京专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

压轴01 函数性质及函数模型的9大核心题型 北京高考数学对函数性质的考查核心：以单调性、奇偶性、周期性、对称性四大性质为基础，侧重多性质综合、数形结合与导数工具应用，稳定出现在选择、填空及压轴解答题中。。 试题考察综合性增强。 单调 、奇偶 、周期 、 对称几乎是必考组合。函数 、 方程、 不等式 、导数 、 三角函数、数列是跨模块综合的常见考察点。 数学思想方法以及数学能力集中在以下几方面： 1.数形结合：性质 ↔ 图像特征，特别是北京卷重图像分析。 2.分类讨论：含参函数单调性、零点问题、。 3.转化与化归：复杂函数→基本初等函数；不等式→函数最值。 4.逻辑推理：性质推导、定理应用。 5.数学运算：求导、解不等式、参数范围计算。 6.直观想象：图像特征与性质关联。 压轴题精讲 题型01 抽象函数对称性应用 技法指导 图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移 (1)平移变换：上加下减，左加右减 (2)对称变换 ①y＝f(x) y＝－f(x)； ②y＝f(x) y＝f(－x)； ③y＝f(x) y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)． ⑤y＝f(x) y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x) y＝f(|x|)． 1．设与其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在区间上单调递减，且，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C． D．的极小值为 【答案】D 【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解. 【详解】因为的图象关于对称，所以， 即，则为偶函数，故A错误； 由得，，两边取导数得，， 即，所以，则是奇函数，故B错误； 由上可知，，又由得， 所以，则， 所以有，即函数是一个周期函数且周期为8； 又由，令得，，则，故C错误； 因为是奇函数，所以的图象关于点对称， 又由在上单调递减，所以在上单调递减， 又，所以在上单调递减， 又A中知，故的图象关于对称， 所以在上单调递增， 由周期性可知，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，即， 由单调性和周期性可得的极小值只能为，故D正确， 故选：D 2．已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是（   ） A．3为的一个周期 B．关于点对称 C．是偶函数 D． 【答案】D 【分析】对于A，根据题目所给的两个等式，推导与的关系即可；对于B，证明是否成立即可；对于C，对含的表达式两边求导即可；对于D，结合周期性求解即可． 【详解】对于A，由，令，则，即函数关于点中心对称， 结合，， 所以， 因此，3是的一个周期，故A正确； 对于B，由A选项可知，且周期为3，令，得， 又因为，所以，也即关于点中心对称，故B正确； 对于C，由B选项可知，两边对x求导，得，即，因此是偶函数，故C正确； 对于D，由，令，得，即， 由周期为3，且，得， 由，令，可得， 进一步， 根据周期性， ，故D错误． 本题选择错误的，故选：D． 3．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得函数的周期为，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果. 【详解】由可得，即关于对称，即， 由可得关于对称，即，所以， 令，则，代入可得，即，则，所以的周期为，由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，，即，所以， 当时，，且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为，则的最小值为.故选：B 题型02 赋值与构造处理抽象函数 技法指导 几个特殊的构造： 1.反比例模型： 2.对数反比例型： 3.一元二次函数型模型： 模型特征：线性抽象+xy型 4.余弦与双余弦函数 4．已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】C 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：根据奇函数的性质即可判断；对于C：令后计算即可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解． 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则， 即，得。由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则， ，则， 所以，可得， 可知是周期为6的周期函数． 所以，故D错误． 故选：C． 5．悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（   ） A． B．函数的值域 C．，恒成立 D．方程有且只有一个实根 【答案】C 【分析】直接计算即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域，故B正确； 对于C，因为， 即，故C错误； 对于D，，令，函数为增函数，且， 而函数在上为增函数，所以函数是增函数， 令，因为函数都是增函数， 所以函数是增函数，又， 所以函数有唯一零点，且在上， 即方程有且只有一个实根，故D正确.故选：C. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 6．设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，即可求解， 令，，即可求出， 令，，可得结论， 令，，. 【详解】由题意，令，可得，， ，故A正确， 令，，可得， ，故B正确 令，，可得， ， ； ， ，故C正确， 令，，可得， ，故D错误， 故选D． 【点睛】本题考查抽象函数问题，考查了函数的奇偶性、对称性、单调性，同时也考查了学生解决探索性问题的能力，属于中档题. 题型03 构造函数型 技法指导 函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 7．已知函数，其中．若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将不等式变形为：恒成立，构造函数，转化为当时，恒成立，为了求的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围． 【详解】解：对于任意的，且，都有成立， 不等式等价为成立， 令，则不等式等价为当时，恒成立， 即函数在上为增函数； ， 则在上恒成立； ；即恒成立， 令，； 在上为增函数； ； ； ． 的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 8．已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围. 【详解】设，则，， 令，则，所以，函数在上为增函数， 对任意的，， 所以，函数为上的偶函数，且， 由可得，即， 即，所以，，即，解得. 故选：A 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 9．已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导确定在上单调递减，由得到，构造函数得在上单调递减，即在上恒成立，参变分离后求出a的取值范围即可. 【详解】由题意知，定义域为，，又，故，在上单调递减， 不妨设，对，恒有，即，， 令，由上可知在上单调递减，则在上恒成立， 从而恒成立，设，， 当时，单减；当时，单增； ，故. 故选：D. 【点睛】本题关键点在于由的单调性，将转化为，从而得到在上单调递减， 即在上恒成立，参变分离后求出a的取值范围即可. 题型04 指对幂中心与对称型 技法指导 中心对称： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 10．已知函数为偶函数，若，则的值为 （    ） A． B． C．2019 D．2025 【答案】B 【分析】由题意可得，利用定义法证明为奇函数，则，即可求解. 【详解】由，得， 设，易知函数的定义域为R， 则 ， 所以，即为奇函数. 所以，即， 所以，又， 所以. 故选：B 11．已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数的符号判断B，利用函数的单调性结合不等式的性质即可判断C，利用特例法排除选项D. 【详解】对于A，函数定义域为，，所以，错误； 对于B，因为，所以，由知，错误； 对于C，因为，，所以在上递增， 时，，故对，， 由不等式的性质可得，正确； 对于D，，，， 取，则，， 此时，，错误. 故选：C 12．已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是________. ①； ②是减函数： ③若，则； ④对任意，都存在使得. 【答案】①③ 【分析】根据函数有意义求解判断①；根据复合函数的单调性判断②；由，可得，，，进而得到，结合指数函数的值域及不等式的性质可判断③；取，可得，即可判断④. 【详解】由，得，则，故①正确； 由， 因为函数在和上为增函数， 且在和上为减函数， 则函数在和上为减函数，故②错误； 对于③，由，则，，， 则 ， 由，则且，所以且， 则或，即或， 所以，故③正确； 对于④，当时，， 对任意的，， 则，故④错误. 故答案为：①③. 13．已知函数，下面说法正确的有______. ①图象关于原点对称 ②的图象关于轴对称 ③的值域为 ④，，且，恒成立 【答案】②③ 【分析】通过函数的奇偶性判断①②，再根据对称性求解，的值域与单调性即可判断③④. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故②正确，①错误； 当时，， 当时，，，， 由函数为偶函数可知，当时，， 综上，的值域为，故③正确； 当时，是关于的增函数，是关于的增函数， 故根据复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，当时，单调递减，故④错误； 综上，说法正确的有：②③. 故答案为: ②③ 题型05 幂指对性质比大小 技法指导 有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 14．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 15．已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为正数可得，根据为正数及为上的增函数可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为为正数，故. 由题设有， 而，故，故， 故，且， 故 设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故， 故A正确，BCD错误. 16．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将与化简，分别可得与，再利用充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】由，，若，则，故； 若，则，故； 取，，此时有，但，不能得到， 故“”不是“”的充分条件； 若，则，即， 故“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的必要不充分条件. 题型06 函数零点求参 技法指导 利用函数的零点个数求参数的取值范围，主要从以下几个角度分析： （1）函数零点个数与图像交点的转化； （2）注意各段函数图像对应的定义域； （3）导数即为切线斜率的几何应用； （4）数形结合的思想的应用. 对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 17．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C 18．已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】别求得和，得出的单调性，作出函数的图象，得到或，求得，再由指数幂与对数的同构化简，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增； 又由，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 画出函数，和的图象，如图所示， 可得或， 可得， 又由， ①当时， 即，可得，即， 所以，所以. ②又由，可得，即， 所以，所以，综上可得：.故选：A. 19．已知函数若函数恰有三个零点，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数图像，可将零点情况转化为与的交点情况，即可得，即的取值范围，即可得解. 【详解】   作出的图象，如图所示， 因为，所以函数的图象关于直线对称， 当时，， 则函数在和上单调递减，在，和上单调递增，且，，则若有三个零点， 则函数与有三个交点，则，令，可知，， 且，得，则，故选：D. 题型07 函数性质放缩型 技法指导 函数放缩型，可以借助所给抽象函数不等式来放缩，也可以借助“类周期”性来传递放缩。 有，则称为优函数。 类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。 20．设函数，，若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是（   ） A．且， B．且， C．且， D．且， 【答案】D 【分析】将函数进行整理，先通过函数的单调性以及变化趋势判断的符号，再利用函数图象分析的符号，最后即可得到的符号. 【详解】依题意，由，整理得， 令，此时将条件转化为函数有且仅有两个不同的交点， 交点横坐标为，纵坐标满足， 若，的图象开口向下，在时，， ，如图所示，    因此此时有两个解满足，没有符合的选项，舍去； （左侧可能有一个交点，右侧无交点，不符合舍去）. 当时，的图象开口向上，关于轴对称的抛物线，且； 是向左或向右平移得到的单调递增的对数函数， 由得，则， 令，不妨设， 由得 得， 因为，且，， 所以. 又因为原函数的交点纵坐标，， 所以，由上已知，， 故， 故选： 21．对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论： ①在区间上优于； ②在区间上优于. 那么（    ） A．①､②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①､②均错误 【答案】B 【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解. 【详解】①：当时，；当时，， 所以函数图象都经过点， 则直线的方程为，即， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可知，， 即存在使得在区间上恒成立， 所以在区间上优于，故①正确； ②：问题等同于在区间上优于 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可得，，即， 所以直线的方程为，即. 设曲线在处且平行于直线的切线为， 由，，得，解得， 则切点， 所以，即， 取，则， 所以切线位于直线的下方，则不存在实数使得 ， 即在区间上优于，故②不正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数新定义，利用导数研究不等式恒成立，和导数的几何意义；在利用导数求切线方程时，可用导数的意义求出切线的斜率. 22．已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程（）有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当（）时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】分区间讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断①；由数形结合判断②③，借助图象归纳规律可判断④. 【详解】当时，； 当 时，； 当，则， ； 当，则， ； 当，则， ； 当，则，； 依次类推，作出函数的图像： 对于①：函数有4个零点，即与有4个交点， 如图，直线的斜率应该在直线m， l的斜率之间， 又因为，，所以，故①正确； 对于②：令，则，且， 当，时，与均有2个交点， 当时，与有1个交点， 所以有个交点，故②正确； 对于③：对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确； 对于④：当时， 由图象可知：所求图象为高为的三角形， 所以函数的图象与x轴围成的图形的面积为，故④正确； 综上所述：所有正确结论的个数为4. 题型08 函数最值与范围型 23．激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使神经网络能够学习和逼近复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．其中，就是一个常见的激活函数，它可以将输入的实数输出到区间上．若希望输出的值增加，即，则与的最小值最接近的是（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件得出的表达式，再结合建立等式，通过变形和对数运算求出的表达式，最后根据函数单调性求出其最小值. 【详解】已知，将其变形为：， 因为，所以， 化简得，进一步变形为， 整理得：， 令（），则，变形为， 因为，所以，即，，令，对其求导：， 令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 则。 因此，与的最小值最接近的是. 故选：C. 24．对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，，则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 25．已知函数的定义域为，定义集合.在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到最小值 【答案】B 【分析】取，根据集合的定义可得，与矛盾，即可判断A；构造函数即可判断B；根据严格增函数的定义可知，即可判断C；取，由集合的定义可得，与矛盾，即可判断D. 【详解】对于A，若存在是偶函数，取， 由集合的定义可知对于任意，， 这与矛盾，故A错误； 对于B，构造函数，则满足题意，且此时在处取最大值，故B正确； 对于C，假设存在，使得是严格增函数，则，与已知矛盾，故C错误； 对于D，假设存在，使得在处取到最小值， 取，由集合的定义可知对于任意，， 这与矛盾，故D错误.故选：B 题型09 函数应用：与数列知识交汇处应用 26．设是关于x的方程的正实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需要先求解方程的正实数根 ，再根据得到数列的通项，最后利用分组求和法求前 2025 项和. 【详解】设，则，记，显然在上单调递增，且，．所以， 当，时，，则； 当，时，，则， 则 故选：． 27．已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 【答案】B 【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误. 法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立. 【详解】法1：因为，故， 对于A ，若，可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故， 故为减数列，注意 故，结合， 所以，故，故， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，故恒成立仅对部分成立， 故A不成立. 对于B，若可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故，故为增数列， 若，则恒成立，故B正确. 对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为减数列， 又，结合可得：，所以， 若，若存在常数，使得恒成立， 则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误. 对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为增数列， 又，结合可得：，所以， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误. 故选：B. 法2：因为， 令，则， 令，得或； 令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 令，则，即，解得或或， 注意到，， 所以结合的单调性可知在和上，在和上， 对于A，因为，则， 当时，，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：，即， 因为在上，所以，则为递减数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故， 所以在上单调递增，故， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故A错误； 对于B，因为， 当时，，， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 又当时，，即， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 此时，取，满足题意，故B正确； 对于C，因为，则， 注意到当时，，， 猜想当时，， 当与时，与满足， 假设当时，， 当时，所以， 综上：， 易知，则，故， 所以， 因为在上，所以，则为递减数列， 假设存在常数，使得恒成立， 记，取，其中， 则， 故，所以，即， 所以，故不恒成立，故C错误； 对于D，因为， 当时，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故， 所以， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故D错误. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立. 28．函数是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知，．给出下列四个判断： （1）对于给定的正整数n，存在，使得成立； （2）当时，对于给定的正整数n，存在：，使得成立； （3）当时，函数既有对称轴又有对称中心； （4）当时，的值只有0或． 其中正确判断的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于（4），当时，，，求出的值域为，进而得到，即可判断； 对于（3），由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可，当时，，，推出关于轴对称，结合为奇函数，得到关于对称，同理可得也满足要求，即可判断； 对于（1），推出的图象关于点对称，的图象关于直线对称，故，分为偶数和为奇数两种情况，即可判断； 对于（2），先得到函数的图象关于轴对称，在（1）基础上，得到时，，此时，即可判断. 【详解】对于（4），当时，，， 当时，，当时，， 故时，的值域为，又为奇函数，故当时，的值域为， 故，为平移得到，故的最小正周期也为， 故函数的最小正周期为，故函数值域为，故（4）错误； 对于（3），由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可， 当时，，，当时，，此时，当时，，此时， 故，由于为连续函数，故，故的图象在上关于直线对称，又为奇函数，最小正周期为，结合图象可知，在图象在R上关于直线对称，所以，令，则， 将用替换，有，故， 所以关于轴对称，又为奇函数，故， 所以，又， 故， 故， 故关于对称，所以既有对称轴，又有对称中心， 当时，同理可得既有对称轴，又有对称中心，故（3）正确； 对于（1），取，则，由于为奇函数，故， 又的最小正周期为，故，即，即， 故的图象关于点对称， 由（3）知，的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称， 所以，， 所以， 当为偶数时，，所以， 当为奇数时，，所以，故（1）正确； 对于（2），由于，所以成立， ，故， 即，故在上， 又的图象关于直线对称，且最小正周期为，故函数的图象关于轴对称， 所以，而成立， 所以，故存在成立，故（2）正确. 故选：C. 压轴题强化训练 一、单选题 1．已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知函数，，则（   ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减 C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义求解的奇偶性，求出在范围内的表达式，利用导数法得到在范围内的单调性. 【详解】，的定义域为，， 是偶函数，当时，，当时，， ，，， ，，，在上是单调递增函数. 3．设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以,由函数的单调性可得即 4．已知函数．则下列结论中错误的是（   ） A．函数为单调减函数 B．函数的对称中心为 C．若对恒成立，则 D．函数与函数的图象所有交点纵坐标之和为20 【答案】A 【分析】去绝对值分类讨论可得函数解析式，易知在以及上是分别单调递减的，即A错误；易知满足，可知B正确；再利用函数单调性以及不等式恒成立计算可得C正确；画出两函数在同一坐标系下的图象根据周期性和对称性计算可得D正确. 【详解】对于A，易知当时，，时， 因此可得在以及上分别为单调递减函数，即A错误； 对于B，因函数满足，可得关于对称，即B正确； 对于C，由，即， 即在时恒成立，易知在上恒成立， 所以可得，解得，即C正确； 对于D，画出函数以及的图象如下图所示： 因， 即也关于对称，又的周期为， 由图知，在一个周期内该函数与有两个交点，则5个周期有10个交点， 则与在内共20个交点，则，故D正确.故选：A. 5．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反函数的性质以及对称性判断A；由基本不等式与判断B；由不等式性质和基本不等式可判断C；构造函数可得，再利用函数的单调性可判断D. 【详解】如图所示， 因为函数和互为反函数，所以其函数图象关于对称， 因为和垂直，且其交点为，所以点，关于点对称， 则，，故A正确； 因为，所以 ，故B项正确； 由图知：，， 则 ， 故C错误； 记，因为在上单调递减，且，， 则，又，因为在上单调递增，且函数值均为正数， 所以在上单调递增，故，故D正确． 故选：C 6．已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行分析得解. 【详解】充分性分析： ，，单调递减，， ，，，， ， “单调递减”是“存在，对任意的， 均有”的充分条件； 必要性分析：设，取，当时，，则， 此时； 当时，则，此时； 故存在，对任意的，均有， 但是不是单调递减函数，故 “单调递减”是“存在，对任意的， 均有”的不必要条件； 综上可知，“单调递减”是“存在，对任意的， 均有”的充分不必要条件.故选：A. 7．已知函数，若存在常数，使得对都有，则这个函数可以是（    ）（备注：不等式恒成立） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式满足的性质结合等式恒成立可得参数满足的条件，求出参数的值后可判断AB的正误，根据题干不等式结合放缩法可判断C的正误，对于D，根据值域的关系可求参数的值，检验后可判断D的正误. 【详解】对于A，由可得对任意恒成立， 故对任意恒成立，故，其中， 故，不合题意，故A错误； 对于B，由可得对任意恒成立， 故对任意恒成立， 故，其中，故即，矛盾，故B错误； 对于C，由可得对任意恒成立，其中， 故，其中， 因为，且，故， 而，故,故无正数解，故C不正确； 对于D，由可得对任意恒成立， 故对任意的恒成立， 而当时，的值域为， 而的值域为，故， 故此时， 故D正确， 故选：D. 8．设函数则“”是“在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先分析每一段的单调性，再分析分段点处的衔接条件，即可求出在上单调递减的充要条件. 【详解】当时，，这是底数为的指数函数，在上单调递减； 当时，，这是开口向上、对称轴为的二次函数，在上单调递减（对称轴左侧递减）； 充分性：若，则，即，因为，所以，又因为两段函数在各自区间上均单调递减，所以在上单调递减. 必要性：若在上单调递减，则分段点处必须满足，即. 故选：C. 9．已知在上满足，且方程只有一个根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得在上是减函数，当时，由单调递减得的范围，当时，，利用导数得在时恒成立，即， 又得，进而得的范围，又由只有一个根，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由可知，在上是减函数， 当时，是一次函数， 因为在上单调递减， 所以，即， 当时，，所以， 因为在时单调递减，所以在时恒成立， 即，变形为， 由于时，所以，即， 还要保证在分段点处，左侧的函数值不小于右侧的函数值， 即，化简得，即， 所以， 分析方程的根的个数， 当时，方程为，化简得，若，则方程对任意都成立，有无穷多个根，不合题意，故，此时方程在上无解，因此，方程的唯一根必在上取得，此时，， 当时，， 令， 要求只有一个根，， 令，，（舍）， ∵，∴，若，则， 此时，在上单调递减，由， 所以在上仅有一个零点，此时只有一个根， 若，则，此时，时，，在单调递增， 时，，在上单调递减，又，，而时，， ∴，使，∴在上存在两个零点，不符合题意， 综上所述. 故选：D. 10．关于x的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（    ） A．存在实数m使得方程无解 B．存在实数m使得方程有无数个解 C．存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数m使得方程只有2个解 【答案】C 【分析】原方程可化为，结合图象，即可判断选项. 【详解】因为，所以关于x的方程，可化为， 在上为周期为的函数，值域为， 在上单调递减，值域为，且时，时， 对于，在时，过程中与图象接近， 且过程中图象呈现周期性波动，第个周期值域为，()逐渐变小且接近于1，(逐渐变小且接近于， 综上，函数的大致图象如下， 当时，无解，A对； 当时，有无数个解，B对； 当且时，有个解，此时时，D对； 当且时，有个解， 当时，有1个解，C错； 故选：C. 二、填空题 11．已知定义在上的函数在上是减函数，且函数为偶函数，若，，，则的大小关系为__________. 【答案】 【详解】因为是偶函数，所以满足，说明函数的图像关于直线对称.   已知在上是减函数，由对称性可得：在上是增函数. 对于指数函数，由于底数，函数单调递减，因此； 对于指数函数，由于底数，函数单调递增，因此. 综上得. 在上是增函数，因此，即. 12．已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则m的取值范围是__________；的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分段画出函数图像，将方程不同的实数解转化为图象间的交点问题进行解答，之后使用二次函数的韦达定理和函数的单调性进行解答. 【详解】函数， 当时，， 令，即，图象为对勾函数向下平移个单位， 最低点是，即时取到，坐标为； 当时，， 当时，，即，可得， 这是单调递减的指数型函数，最低点坐标为，与轴交点为， 当时，，即，可得， 这是单调递增的指数型函数，从点开始，当时，，渐近线为， 分段画出函数图象， 由图象可知，有四个不等的实数解， 即函数和直线有四个交点，的取值范围是. 根据题目条件，， 因此由图象可知，和是方程的两个根，化简可得， 根据韦达定理，可得， 是方程的根， 可得，即， 是方程的根，可得，即， 所以， 因此， 设函数，配方可得， 当时，单调递减，值域为， 所以，即 ， 因此的取值范围是. 13．如果函数满足对任意s、，有，则称为优函数.给出下列四个结论： ①（）为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②④ 【分析】利用优函数的定义可判断①；利用赋值法推导出 ，逐项递推可判断②; 取 ，结合优函数的定义可判断③; 利用减函数的性质、不等式的基本性质结合优函数的定义可判断④. 【详解】对于①，因为、， 则. 很明显当时, 不满足优函数定义. 故不是优函数，①错误. 对于②，因为 是优函数，则 ，即 ， ，即 ， 同理可得 ，故②正确; 对于③，例如 ， 满足 ， 所以，，则 为优函数， 但 在 上单调递减，故③错误; 对于④，若 在 上单调递减， 任取 ，则 ， 所以，， 变形为 ， 两式相加得: ， 因为 ，所以，，所以， 为优函数，故④正确. 14．记表示不超过实数x的最大整数．设a，b为正整数，函数，给出以下四个结论： ①对于任意的，若，则； ②存在正整数a，b，使得曲线关于坐标原点对称； ③设，则方程有无数个解； ④设，则当时，函数的值域中有且仅有5个元素． 其中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【分析】根据题意，结合表示不超过实数x的最大整数，函数，以及为正整数，利用函数的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，因为表示不超过实数x的最大整数， 由为正整数，若，可得，则， 两式相加得，即，所以①正确； 对于②，当时，； 取，可得， 对于任意，可得， 当时，，可得； 而，显然， 对于任意正整数，取且非整数， 可得，所以， 又由，可得， 可得，此时， 所以不存在正整数，使得曲线关于坐标原点对称，所以②错误； 对于③，当时，， 设，可得， 所以， 令，可得，解得， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 设，由且为整数， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得； 所以当且时，满足，此时有无数个解，所以③正确； 对于④，当，且时，可得， 所以， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得， 所以在上的取值为，共有4个元素，所以④错误. 15．设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴01 函数性质及函数模型的9大核心题型 北京高考数学对函数性质的考查核心：以单调性、奇偶性、周期性、对称性四大性质为基础，侧重多性质综合、数形结合与导数工具应用，稳定出现在选择、填空及压轴解答题中。。 试题考察综合性增强。 单调 、奇偶 、周期 、 对称几乎是必考组合。函数 、 方程、 不等式 、导数 、 三角函数、数列是跨模块综合的常见考察点。 数学思想方法以及数学能力集中在以下几方面： 1.数形结合：性质 ↔ 图像特征，特别是北京卷重图像分析。 2.分类讨论：含参函数单调性、零点问题、。 3.转化与化归：复杂函数→基本初等函数；不等式→函数最值。 4.逻辑推理：性质推导、定理应用。 5.数学运算：求导、解不等式、参数范围计算。 6.直观想象：图像特征与性质关联。 压轴题精讲 题型01 抽象函数对称性应用 技法指导 图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移 (1)平移变换：上加下减，左加右减 (2)对称变换 ①y＝f(x) y＝－f(x)； ②y＝f(x) y＝f(－x)； ③y＝f(x) y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)． ⑤y＝f(x) y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x) y＝f(|x|)． 1．设与其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在区间上单调递减，且，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C． D．的极小值为 2．已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是（   ） A．3为的一个周期 B．关于点对称 C．是偶函数 D． 3．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型02 赋值与构造处理抽象函数 技法指导 几个特殊的构造： 1.反比例模型： 2.对数反比例型： 3.一元二次函数型模型： 模型特征：线性抽象+xy型 4.余弦与双余弦函数 4．已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 5．悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（   ） A． B．函数的值域 C．，恒成立 D．方程有且只有一个实根 6．设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是 A． B． C． D． 题型03 构造函数型 技法指导 函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 7．已知函数，其中．若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 指对幂中心与对称型 技法指导 中心对称： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 10．已知函数为偶函数，若，则的值为 （    ） A． B． C．2019 D．2025 11．已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．若，则 D．若，则 12．已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是________. ①； ②是减函数： ③若，则； ④对任意，都存在使得. 13．已知函数，下面说法正确的有______. ①图象关于原点对称 ②的图象关于轴对称 ③的值域为 ④，，且，恒成立 题型05 幂指对性质比大小 技法指导 有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 14．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 15．已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 16．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型06 函数零点求参 技法指导 利用函数的零点个数求参数的取值范围，主要从以下几个角度分析： （1）函数零点个数与图像交点的转化； （2）注意各段函数图像对应的定义域； （3）导数即为切线斜率的几何应用； （4）数形结合的思想的应用. 对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 17．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．已知函数若函数恰有三个零点，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 函数性质放缩型 技法指导 函数放缩型，可以借助所给抽象函数不等式来放缩，也可以借助“类周期”性来传递放缩。 有，则称为优函数。 类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。 20．设函数，，若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是（   ） A．且， B．且， C．且， D．且， 21．对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论： ①在区间上优于； ②在区间上优于. 那么（    ） A．①､②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①､②均错误 22．已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程（）有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当（）时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型08 函数最值与范围型 23．激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使神经网络能够学习和逼近复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．其中，就是一个常见的激活函数，它可以将输入的实数输出到区间上．若希望输出的值增加，即，则与的最小值最接近的是（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 24．对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 25．已知函数的定义域为，定义集合.在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到最小值 题型09 函数应用：与数列知识交汇处应用 26．设是关于x的方程的正实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则（     ） A． B． C． D． 27．已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 28．函数是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知，．给出下列四个判断： （1）对于给定的正整数n，存在，使得成立； （2）当时，对于给定的正整数n，存在：，使得成立； （3）当时，函数既有对称轴又有对称中心； （4）当时，的值只有0或． 其中正确判断的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 压轴题强化训练 一、单选题 1．已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数，，则（   ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减 C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 3．设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数．则下列结论中错误的是（   ） A．函数为单调减函数 B．函数的对称中心为 C．若对恒成立，则 D．函数与函数的图象所有交点纵坐标之和为20 5．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，若存在常数，使得对都有，则这个函数可以是（    ）（备注：不等式恒成立） A． B． C． D． 8．设函数则“”是“在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知在上满足，且方程只有一个根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．关于x的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（    ） A．存在实数m使得方程无解 B．存在实数m使得方程有无数个解 C．存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数m使得方程只有2个解 二、填空题 11．已知定义在上的函数在上是减函数，且函数为偶函数，若，，，则的大小关系为__________. 12．已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则m的取值范围是__________；的取值范围是__________. 13．如果函数满足对任意s、，有，则称为优函数.给出下列四个结论： ①（）为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数. 其中所有正确结论的序号是__________. 14．记表示不超过实数x的最大整数．设a，b为正整数，函数，给出以下四个结论： ①对于任意的，若，则； ②存在正整数a，b，使得曲线关于坐标原点对称； ③设，则方程有无数个解； ④设，则当时，函数的值域中有且仅有5个元素． 其中，所有正确结论的序号是_________． 15．设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $