解答题77分三轮冲刺保分强化训练(24)-2026届高三数学三轮冲刺复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(24) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·陕西咸阳·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，再利用辅助角公式求角即可； （2）利用正弦定理边化角，再利用角的范围求出边的范围. 【解析】（1）由正弦定理边化角代入已知等式可得， 因为在 中，所以， 因为，所以； （2）因为，结合三角形内角和定理可得， 又因为为锐角三角形，故，即 再由正弦定理可得：， 因为，所以. 2．（2026·贵州六盘水·一模）某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表： 单位：人 义肢类型 满意度 合计 满意 不满意 传统义肢 60 40 100 智能义肢 80 20 100 合计 140 60 200 (1)任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率； (2)依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？ 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)； (2)能认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关. 【解题思路】（1）根据二项分布的概率计算求解即可； （2）由题意的联表，计算，对比临界值即可判断； 【解析】（1）根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8， 则至少有2人能完成精细抓握的概率如下， 为； （2）零假设：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关， 根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关. 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现. (1)求点P到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1). (2). 【解题思路】（1）分析与的垂直关系，确定二面角的平面角，再结合线面垂直的判定，找到在平面内的射影，进而利用三角函数计算距离； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值，进而求出正弦值. 【解析】（1）由题设，可知， 取中点，连接，，故， 又，，平面， ∴平面， 又平面，故. 故为平面与平面所成二面角的平面角，则. 因为平面，故平面平面，平面平面， 过作交于， 故平面. ∵，∴， 因此点到平面的距离为. （2）以为坐标原点，直线，为x轴，y轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. ，，. 设平面的法向量为，则，即 取，∴， 设平面的法向量为，则，即 取，∴， ∴，故， 所以二面角的正弦值为. 4．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【解题思路】（1）求导，由，即可求解； （2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；（ii）将问题转换成所以，进而可求解. 【解析】（1）因为， 所以，       则， 所以． （2）（i）由（1）得， 则，       因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．       （ii）因为， ， 所以，       由（i）可知在上的最大值为， 由，       所以， 所以实数的取值范围为． 5．（2026·贵州六盘水·一模）已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆C的方程. (2)设B为椭圆C的右顶点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）． （ⅰ）记直线的斜率分别为，证明：为定值. （ⅱ）求的面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【解题思路】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（ⅰ）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证；（ⅱ）由（ⅰ）求出面积的函数关系，再借助对勾函数性质及不等式性质求出范围. 【解析】（1）由椭圆的焦距为2，得， 由点在椭圆上，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由（1）得，直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， 则， 所以为定值. （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 令，，函数在上单调递增， 函数的值域为，即，因此， 所以面积的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·西藏日喀则·模拟预测）为了检测流感疫苗的免疫效果，对100名志愿者注射流感疫苗，一段时间后，测量这100名志愿者的体内某项医学指标，现作出这100名志愿者年龄与医学指标的散点图： 其中，年龄小于40岁的志愿者中该项医学指标的有16人，的有32人；年龄不小于40岁的志愿者中该项医学指标的有40人，的有12人． (1)请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为该项医学指标与年龄有关？ 年龄 医学指标y 合计 合计 (2)已知这100名志愿者年龄与该项医学指标的方差分别为49与400，经计算y关于x的经验回归方程为，求变量x与变量y的样本相关系数r，并判断y与x的相关性强弱. 参考公式：，其中． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 经验回归方程为，其中，变量与变量的样本相关系数，若，则与有较强的相关性． 【答案】(1)表格见解析，该项医学指标与年龄有关． (2)-0.77，与的相关性较强． 【解题思路】（1）由题意补充列联表后计算卡方即可得； （2）由所给数据和公式计算出，即可得解. 【解析】（1）列联表如下： 年龄 医学指标 合计 32 16 48 12 40 52 合计 44 56 100 零假设为：该项医学指标与年龄没关系． 根据列联表中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故该项医学指标与年龄有关． （2）由与的方差分别为49与400得，，， 由，得， 所以， 则， 因为，所以与的相关性较强． 2．（2026·广东惠州·一模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据和的关系求解即可； （2）求出，采用裂项相消法求出前项和为，解，即可得到答案. 【解析】（1）由条件有时，， 又，所以，， 则， 经检验，满足， 所以的通项公式. （2）由（1）得数列 则 ， 因为，所以， 又，故的最大值为. 3．（2026·河南郑州·二模）如图，在四棱锥中，底面，平面平面，，，四棱锥的体积为2． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）设，连接，过点作于点，则可利用面面垂直性质定理得到平面，再利用线面垂直性质定理可得、，则可由线面垂直判定定理得到平面，再利用线面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可设出点坐标，结合（1）中所得与四棱锥的体积可计算出点坐标，再求出平面与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【解析】（1）设，连接，过点作于点 由平面平面，平面平面，平面， 故平面，又平面，故， 由底面，平面，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故； （2）由题意，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、， 设，则，又， 则由可得，即， 由四棱锥的体积为，即， 则，则， ， 则， 故， 故 ， 整理得，解得（负值舍去）， 故，即，则， 、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 取，则、，，， 即可取、， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 4．（2026·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点在轴上，满足，且. (1)求的标准方程； (2)过点的直线交于，两点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点，求出的坐标，根据可得，再由得，再结合、求出可得答案； （2）设直线的方程为，，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入解得，求出点到直线的距离、弦长，由的面积可得答案.. 【解析】（1）由已知得，设点， 则， 因为，所以， 可得，由得， 即，， 再由可得，， 则的标准方程为； （2）由（1）知的方程为，且， 设直线的方程为，， 由得， 所以， ， 因为，所以， 即，代入韦达定理得 ，化简得，解得， 此时，符合题意， 点到直线的距离， 弦长 ， 所以的面积 ，将代入得 , 所以的面积为. 5．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；② 【解题思路】（1）先求导，分和两种情况讨论即可求解； （2）①由（1）分和两种情况讨论，当时，的极大值为令，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可求解； ②由①知，又，得 ，即，令，则，又，令，利用导数研究单调性，进而得当取最小值时，取最小值，即取最小值，令，利用导数研究单调性即可求解. 【解析】（1）由题意得：， 当时，恒成立，此时单调递减，无极值； 当时，令，解得， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减． 在处取极大值，为，无极小值． 综上所述：当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）①由（1）知：当时，单调递减，此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，的极大值为． 令，则， 故在单调递减，在单调递增． ，即， 又，，故在存在一个零点． 又由对数函数及幂函数性质，当足够大时，， 故在存在一个零点． ∴若有两个零点，则． ②由①知在存在一个零点，在存在一个零点，且， 所以，， 得： ． 令，则， 又， 令，则， 令，则， 在单调递增，又，故，即在单调递增． ∴当取最小值时，取最小值，即取最小值． 令，则， 令，则， 在单调递增，又，， ，使得，当时，，当时，， 且有，即，此时， 且在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值， 故取得最小值时． $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(24) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·陕西咸阳·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 2．（2026·贵州六盘水·一模）某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表： 单位：人 义肢类型 满意度 合计 满意 不满意 传统义肢 60 40 100 智能义肢 80 20 100 合计 140 60 200 (1)任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率； (2)依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？ 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现. (1)求点P到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 4．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 5．（2026·贵州六盘水·一模）已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆C的方程. (2)设B为椭圆C的右顶点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）． （ⅰ）记直线的斜率分别为，证明：为定值. （ⅱ）求的面积的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·西藏日喀则·模拟预测）为了检测流感疫苗的免疫效果，对100名志愿者注射流感疫苗，一段时间后，测量这100名志愿者的体内某项医学指标，现作出这100名志愿者年龄与医学指标的散点图： 其中，年龄小于40岁的志愿者中该项医学指标的有16人，的有32人；年龄不小于40岁的志愿者中该项医学指标的有40人，的有12人． (1)请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为该项医学指标与年龄有关？ 年龄 医学指标y 合计 合计 (2)已知这100名志愿者年龄与该项医学指标的方差分别为49与400，经计算y关于x的经验回归方程为，求变量x与变量y的样本相关系数r，并判断y与x的相关性强弱. 参考公式：，其中． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 经验回归方程为，其中，变量与变量的样本相关系数，若，则与有较强的相关性． 2．（2026·广东惠州·一模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 3．（2026·河南郑州·二模）如图，在四棱锥中，底面，平面平面，，，四棱锥的体积为2． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 4．（2026·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点在轴上，满足，且. (1)求的标准方程； (2)过点的直线交于，两点，若，求的面积. 5．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． $