解答题77分三轮冲刺保分强化训练(25)-2026届高三数学三轮冲刺复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(25) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 2．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）如图，直四棱柱中，底面ABCD为矩形，且，G是的中点，P、E、F分别是棱AB、、CD上的点，且． (1)证明：； (2)当时，求二面角的大小． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 5．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 2．（2026·河北沧州·一模）某学习小组收集到了类似于数列的“向量列”：满足，且，． (1)求，，的值，判断数列是否为等比数列.若是，请加以证明；若不是，请说明理由． (2)求数列的前n项和． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 4．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． (1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． (2)若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． (3)当时，证明：． 5．（2026·河北沧州·二模）已知函数． (1)若，，求的最小值； (2)若，当时，求a的取值范围； $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(25) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【解析】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得. 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 2．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解题思路】（1）由条件可得，求导函数及其零点，利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性，结合极值的定义求结论； （2）分别在条件，下化简函数解析式，结合对数函数性质导数与函数的单调性的关系判断函数的单调性即可. 【解析】（1）当时，， 所以. 令，得， 且当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）. 当时，， 因为，所以在上单调递减. 当时，， 由， 令，得. 当，即时，， 所以在上单调递增. 当，即时， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）如图，直四棱柱中，底面ABCD为矩形，且，G是的中点，P、E、F分别是棱AB、、CD上的点，且． (1)证明：； (2)当时，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解题思路】(1)由线面垂直证明线线垂直； (2)建立空间直角坐标系利用向量求解. 【解析】（1）因为，，所以四边形是平行四边形， 所以， 由题意知该四棱柱是长方体， 故平面，所以平面， 而平面，所以． （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，． 设平面的一个法向量为， 所以，则，令，得， 设平面的一个法向量为， 所以，则，令，得， ， 由题意知二面角为钝角，所以其大小为． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）4 【解题思路】（1）先设点，再应用点到直线距离公式计算求解得出参数即可得出双曲线方程； （2）（i）先设点的坐标，再应用斜率公式结合双曲线方程化简求值；（ii）结合对称性设直线的方程，再联立计算斜率乘积得出，最后应用定点得出距离的最大值. 【解析】（1）由题意知的渐近线方程为， 设，则. 因为，所以， 所以的方程为. （2）（i）证明：由（1），得，，设，，， 直线的斜率，直线的斜率. 因为，所以. 因为，， 所以. 因为，所以， 所以，即为定值. （ii）解：若直线的斜率为0，根据对称性，直线与直线的交点应在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率不为0，又，不重合，故可设直线的方程为. 联立得， 由题意得且，即， 由韦达定理，得，. 由（i）得， 故， 所以， 化简，得. 因为，所以，解得. 所以直线的方程为，因此直线恒过点， 所以当时，坐标原点到直线的距离取得最大值4. 5．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3) 【解题思路】（1）写出的取值可能为，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值． 【解析】（1）由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 故. （2）记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减： ， 即，所以． （3）记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ， 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值； （2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解. 【解析】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 2．（2026·河北沧州·一模）某学习小组收集到了类似于数列的“向量列”：满足，且，． (1)求，，的值，判断数列是否为等比数列.若是，请加以证明；若不是，请说明理由． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，，，数列是等比数列，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由向量数量积的运算律结合等比数列的概念即可求解； （2）由（1）求得通项公式，再由错位相减法即可求解. 【解析】（1）因为，所以； 由，，，可得，其中； 同理，，其中； 由，，，得数列是等比数列． 证明如下： ， 即， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列． （2）由（1）知， 所以， 所以， ， 两式相减可得， ， 则． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用椭圆过得，再利用得，即可写出椭圆方程； （2）设直线方程并联立方程组，用韦达定理结合斜率之和的条件求出斜率，再用弦长和距离公式即可求出面积. 【解析】（1）因为椭圆过点，所以，即， 又因为以长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且，即， 所以，故椭圆的方程为. （2）由（1）知，设过点的直线的方程为，设， 联立方程组，代入化简得：， 由韦达定理：， 又因为直线的斜率为：，直线的斜率为：， 且 所以， 解得，此时直线：， 方程变为， 判别式满足题意，且， 此时弦长， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 4．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． (1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． (2)若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)①；② (3)证明见解析. 【解题思路】（1）利用对立事件和差事件求概率：，计算两次有放回抽取的结果概率； （2）①标号不大于即每次抽取都不超过，用独立重复试验求概率；②用分布列或尾和公式求期望，化简得到结果； （3）先写出期望表达式，再构造对称和式，结合函数单调性放缩证明不等式. 【解析】（1）表示最大标号为，等价于所有抽取结果都不超过，且至少有一次等于， 则两次都不超过2； 两次都不超过2两次都不超过1. （2）①最终标号不大于等价于次抽取的所有结果都不大于，每次抽到不大于的概率为， 因此. ②由于， 随机变量的期望得 . （3）， 则随机变量的期望为 . 设，， 当时，，等号成立； 当时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 设， 又因为， 所以，所以． 综上所述，. 5．（2026·河北沧州·二模）已知函数． (1)若，，求的最小值； (2)若，当时，求a的取值范围； 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）求导，利用导数确定函数单调性，进而求出最小值； （2）把恒成立问题转化为端点分析，利用单调性判断趋势； 【解析】（1）当，时，，求导得 ， 令，均在上单调递增， 在上单调递增，且， 当时，，，故单调递减； 当时，，，故单调递增， 在处取得极小值，也是最小值， ． （2）由得，代入函数得：， 注意到，需保证时， 求导得， 在处，， 令，求导得，则在时单调递增， 且， 当时，，即， 令，则， 故在上单调递增， 时，，单调递增，， 满足条件； 当时，，即，由连续性可知，存在， 当时，，单调递减， 故存在，不满足条件； 综上，的取值范围为． $