第7章 一元一次不等式与不等式组（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版七年级下册

第7章 一元一次不等式与不等式组（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．随着AI技术广泛应用于人们日常生活，为更好地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．经市场调研发现：甲种型号机器人的单价为13万元，乙种型号机器人的单价为10万元，图书馆准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲种型号的智能机器人多少套时，所花资金最少？（） A．4套 B．5套 C．6套 D．7套 6．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算．运算进行了次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了20道选择题，答对1道得5分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于85分，则他至少要答对的题数是_______． 12．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 13．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，如：，则不等式的负整数解的积是______． 14．定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． （1）在不等式，，中，是的蕴含不等式的是_____； （2）若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，则n的取值范围是_____． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解下列不等式（组），并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)． (2) 16．某中学计划租用A，B两种型号的客车共10辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，这两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如下表所示，已知该中学租车的总费用不超过5600元． A型号客车 B型号客车 载容量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 600 450 (1)至少要租用多少辆B型客车？ (2)若七年级的师生共有370人，请写出所有可能得租车方案，并确定最省钱的租车方案． 17．阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为______，不等式的解集为______； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 18．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 19．“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 20．已知方程组的解满足x为正数，y为非负数． (1)用含m的代数式分别表示x和y； (2)求m的取值范围； (3)在m的取值范围内，是否存在一个整数使不等式的解集为．若不存在，请说明理由，若存在，请求出这样的整数值m． 21．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过6630元的金额采购这两种型号的电风扇共50台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和3台B型号电风扇，共获得销售收入810元；销售5台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入1050元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这50台电风扇能否实现利润超过1780元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 22．阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 23．对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 一元一次不等式与不等式组（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、 只是一个代数式，不含不等号，不符合题意； B、 是方程，不是不等式，不符合题意； C、 含有两个未知数，不符合“一元”条件，不符合题意； D、 含有一个未知数，次数为1，且用“”连接，符合定义，符合题意； 故选：D． 2．若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、∵， ∴或或，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B符合题意； C、∵， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴或或，故D不符合题意． 3．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则，不等式组的解集为， 故选：B． 4．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 将方程①和方程②相加得：， ， 关于，的方程组的解满足， ， 解不等式得的取值范围为， 故选：A． 5．随着AI技术广泛应用于人们日常生活，为更好地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．经市场调研发现：甲种型号机器人的单价为13万元，乙种型号机器人的单价为10万元，图书馆准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲种型号的智能机器人多少套时，所花资金最少？（） A．4套 B．5套 C．6套 D．7套 【答案】B 【详解】设购买甲种型号机器人套，则购买乙种型号机器人套，为正整数，且， 总资金， ∵资金不低于114万元， ∴， 解得， ∴当取满足条件的最小值时，所花资金最小， ∵为正整数， ∴的最小值为5， 即购买甲种型号智能机器人5套时，所花资金最少． 6．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 由①得 由②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组只有3个整数解， ∴3个整数解为1，0，， ∴． 7．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 8．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算．运算进行了次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由运算程序可得，第次运算结果为，第次运算结果为， ∵运算进行了次才停止， ∴第次运算结果不大于，且第次运算结果大于， ， 解得 ， ∴的取值范围是． 9．若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小整数值为2． 10．已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】B 【详解】解：，， ，， ， ， ，，是三个非负数， ， 解得， ∴ ∴ ∴ ∴的最大值，最小值为 ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了20道选择题，答对1道得5分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于85分，则他至少要答对的题数是_______． 【答案】18 【详解】解：设他答对的题数为，则答错或不答的题数为，根据题意列不等式得： ， 解得：， 为正整数， 的最小值为， 即他至少要答对的题数是18． 12．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②： 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 关于的不等式组有解 解得． 13．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，如：，则不等式的负整数解的积是______． 【答案】2 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的负整数解为：，， 不等式的负整数解的积是：， 故答案为： 14．定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． （1）在不等式，，中，是的蕴含不等式的是_____； （2）若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，则n的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：（1）∵不等式的解都是不等式的解， ∴不等式是不等式的蕴含不等式； 而分别是不等式，的解，但不是不等式的解， ∴，不是的蕴含不等式； （2）∵是的蕴含不等式， ∴， 解得：； ∵是的蕴含不等式， ∴， 解得：； 综上可知，． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解下列不等式（组），并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)． (2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：， 在数轴上表示如下： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 16．某中学计划租用A，B两种型号的客车共10辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，这两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如下表所示，已知该中学租车的总费用不超过5600元． A型号客车 B型号客车 载容量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 600 450 (1)至少要租用多少辆B型客车？ (2)若七年级的师生共有370人，请写出所有可能得租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【详解】（1）解：设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 最小值为， 答：至少要租用辆B型客车； （2）解：设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车， 根据题意得：， 解得：， 由（1）可知， ， 又为整数， ， 则共有三种租车方案： 方案一：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，则费用为：（元）， 方案二：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，则费用为：（元）， 方案三：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，则费用为：（元）， ， 租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，最省钱． 17．阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为______，不等式的解集为______； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【详解】（1）解：在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， 所以方程的解为或， 因此不等式的解集为或． 故答案为：或，或； （2）解：在数轴上找出的解，如图： ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 18．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”； （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得； （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2． 19．“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 【详解】（1）解：设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨， 依题意得，， 解得， 答：1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； （2）解：由题意得， 解得， ∴，且n为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； （3）解：由题意得，， 解得， ∵仅有两种方案可供选择，且，且n为整数， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 20．已知方程组的解满足x为正数，y为非负数． (1)用含m的代数式分别表示x和y； (2)求m的取值范围； (3)在m的取值范围内，是否存在一个整数使不等式的解集为．若不存在，请说明理由，若存在，请求出这样的整数值m． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得； （2）解：由（1）得方程组的解为， ∵方程组的解满足x为正数，y为非负数， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵不等式的解集为， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴满足题意的整数m的值为0或， ∴在m的取值范围内，存在一个整数使不等式的解集为，此时m的值为0或． 21．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过6630元的金额采购这两种型号的电风扇共50台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和3台B型号电风扇，共获得销售收入810元；销售5台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入1050元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这50台电风扇能否实现利润超过1780元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设、两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元， 由题意可得方程组， 解得， 答：、两种型号的电风扇的销售单价分别为180元、150元； （2）设种型号的电风扇采购台，则种型号的电风扇采购台， 由题意可得不等式， 解得， 因为为正整数，所以的最大值为31， 答：种型号的电风扇最多能采购31台； （3）设总利润为元， 则 ， 要使利润超过1780元，则，得， 由（2）可知，且为正整数，所以可以取29、30、31， 当时，； 当时，； 时，； 该电器商城销售完这50台电风扇能实现利润超过1780元的目标，采购方案有三种： 方案一，采购型号电风扇29台，型号电风扇21台； 方案二，采购型号电风扇30台，型号电风扇20台； 方案三，采购型号电风扇31台，型号电风扇19台． 22．阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 【详解】（1）解：，解得：， ①， 解得：， 不是此不等式的解； ②，解得：， 是此不等式的解； ③， 解得：， 是此不等式组的解； 方程的解是此方程与②③的“理想解”； （2）是方程组与不等式的“理想解”， ，， 解方程组，得：， ， ， 即q的取值范围为； （3）解方程组，得：， 关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数）， ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， 不等式组的解集为， 即a的取值范围． 23．对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 【详解】（1）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， 解方程得， 解方程得， ∴只有方程是不等式组的“子方程”； （2）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个“子方程”的解是整数， ∴该“子方程”的解是， ∴该“子方程”可以为； （3）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， ∵方程，是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $