精品解析：广东省中山市南峰中学2025-2026学年上学期1月九年级数学学情自测

2025-2026年广东省中山市南峰中学初三上1月数学月考 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程．根据一元二次方程的定义（整式方程，只含一个未知数且最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A、 是二次多项式，但无等号，不是方程，故本选项不符合题意． B、是整式方程，仅含未知数，且最高次数为2，符合定义，故本选项符合题意． C、 展开后为，最高次数为4，不符合，故本选项不符合题意． D、 含分式，非整式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意； B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，不合题意； D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7， 故选A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4. 已知抛物线的顶点在第四象限，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式写出顶点坐标，再根据第四象限点的坐标特点做出判定即可． 【详解】∵抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为 ∵第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0 ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式和第四象限点的坐标特点，正确理解定义，性质是解题的关键． 5. 将二次函数y=2x2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ） A. y=2(x+1)2+1 B. y=2(x+1)2+3 C. y=2(x-3)2+1 D. y=-2(x-3)2+3 【答案】A 【解析】 【分析】先配方成顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可． 【详解】由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2-4x+4配方成的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得以新的抛物线的表达式是y=2(x+1)2+1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，由y=ax2平移得到y=a（x-h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可． 6. 边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（）cm． A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示： △ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm， ∵62+82=102，即AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， 设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F， ∵CD=CE，BE=BF，AF=AD， ∵OD⊥AC，OE⊥BC， ∴四边形ODCE是正方形，即CD=CE=R， ∴AC﹣CD=AB﹣BF，即6﹣R=10﹣BF①， BC﹣CE=AB﹣AF，即8﹣R=BF②， ①②联立得，R=2cm． 故选B． 7. 已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 24或 D. 48或 【答案】B 【解析】 【分析】解，可得，，如图，，，则，由，可得，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，，， 如图，，，则， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，菱形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8. 若一个圆锥的底面积为，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数． 【详解】解：∵圆锥的底面积为4πcm2， ∴圆锥的底面半径为2cm， ∴底面周长为4π， 圆锥的高为4cm， ∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm， 设侧面展开图的圆心角是n°， 根据题意得：=4π， 解得：n=120． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 9. 某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为(　　) A. 5000元 B. 8000元 C. 9000元 D. 10000元 【答案】C 【解析】 【详解】设单价定为x，总利润为W， 则可得销量为：500-10（x-100），单件利润为：（x-90）， 由题意得，W=（x-90）[500-10（x-100）]=-10x2+2400x-135000=-10（x-120）2+9000， 故可得当x=120时，W取得最大，为9000元， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W关于x的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为﹣，其中正确的结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由对称轴=2可知a=，由图象可知当x=1时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把-代入方程整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案． 【详解】解：∵图象开口向下，∴a＜0， ∵对称轴为直线x=2，∴＞0，∴b＞0， ∵与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0， ∴abc＞0，故①错误. ∵对称轴为直线x=2，∴=2，∴a=， ∵由图象可知当x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，∴4a+4b+4c>0，∴4()+4b+4c>0， ∴3b+4c>0，故②错误. ∵由图象可知OA＜1，且OA=OC， ∴OC＜1，即-c＜1， ∴c＞-1，故③正确. ∵假设方程的一个根为x=-，把x=-代入方程可得+c=0， 整理可得ac-b+1=0， 两边同时乘c可得ac2-bc+c=0， ∴方程有一个根为x=-c， 由③可知-c=OA，而当x=OA是方程的根， ∴x=-c是方程的根，即假设成立，故④正确. 综上可知正确的结论有三个：③④. 故选B. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键. 二、填空题 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则时，x的取值范围________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）， 由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜-4或x＞2． 故答案为：x＜-4或x＞2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 14. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为_____度． 【答案】55． 【解析】 【分析】连接BC，根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得∠ADC的度数． 【详解】解：连接BC ∵AB是⊙O的直径. ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝35°， ∴∠CBA＝55°， ∵∠ADC＝∠CBA， ∴∠ADC＝55°． 故答案为55． 【点睛】此题考查圆周角的性质，直径所对的圆周角为直角，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 15. 如图，把直角三角形的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置．设，，则顶点运动到点的位置时，点经过的路线与直线所围成的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理得到AB的长，进而求出、的值，易知顶点运动到点的位置时，点经过的路线与直线所围成的面积是两个扇形的面积的面积，然后根据扇形的面积公式可以进行计算，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴，， ∴点经过的路线与直线所围成的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、扇形面积的计算等知识，准确分析点经过的路线是解题关键． 三、解答题一 16. 已知关于x的方程．若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根． 【答案】， 【解析】 【分析】将代入方程，求得m的值，再求解方程即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得， 将代入方程得， 即 解得，， 方程的另一个根为 故答案为：， 【点睛】此题考查了一元二次方程根的含义以及一元二次方程的求解，解题的关键是理解方程根的含义以及掌握一元二次方程的求解方法． 17. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本，请你画树状图或者列表求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是论语和大学的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【详解】解：把论语孟子大学中庸分别记 为、、、，画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是论语和大学的结果有种，即、，所以抽取的两本恰好是论语和大学的概率是． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，解答下列问题： （1）画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点绕原点O逆时针旋转后得到的对称点，再首尾顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 点的坐标为 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 四、解答题二 19. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 【答案】（1）;(2) 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）∵关于x的方程总有两个实数根， ∴ ， 解得：． （2）∵为方程的两个根， ∴． ∵， ∴， ∴， 整理，得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴m的值为1． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一元二次有两个实数根的等价条件. 20. 已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC． （1）求证：△BAP≌△CAQ． （2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案； （2）直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ， ∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°， ∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC， ∴∠BAP＝∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中， ， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）； （2）∵由（1）得△APQ是等边三角形， ∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°， ∵∠APB＝150°， ∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°， ∵PB＝QC， ∴QC＝4， ∴△PQC是直角三角形， ∴PC＝＝＝5． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 五、解答题三 22. 取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板，将三角板绕点顺时针方向旋转，旋转角度为，得到． （1）当为多少度时，？ （2）当旋转到图所示位置时，为多少度？ （3）连接，当时，探求值的大小变化情况，并给出你的证明． 【答案】（1） （2） （3）值的大小不变，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可进行解答． （2）根据三角板的度数即可求出． （3）连接，，，利用角的等量代换和和差计算证明即可． 【小问1详解】 如图， ∵， ∴ ∴ 所以当时，； 【小问2详解】 当旋转到图所示位置时， 根据三角板的度数可得， 【小问3详解】 当时， 值的大小不变． 证明：连接，，， 在和中， ， ， ， ， 当时，值的大小不变． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质以及三角板的角度． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于、两点（点在左，点在右），交轴于点，且，． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图2，点为抛物线的顶点，连接，点是抛物线上－一动点，且在、两点之间运动，过点作轴交线段于点，设点的横坐标为，线段长为，写出与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，在上有一动点，且，连接，当时，求此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由且知，将点坐标代入计算可得； （2）待定系数求出直线解析式，据此可得根据可得答案； （3）先利用等腰三角形性质知，由、得，即，从而得出，再证得，从而用含t的式子表示出的长度，根据列出方程求解可得． 【小问1详解】 解：当时，则， ，即， ， ， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图1，延长交轴于点， ， ， 设直线的解析式为， 将点、代入， 得： 解得：， ， ，， ； 【小问3详解】 解：如图，作于点，作轴交于点，延长、交于、交于，作于点，记与的交点为， ，，， ，， 垂直平分， ， ， ，， ，即， ，即， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， 解得：， ∵ ∴把代入中，得 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，二次函数的图象性质以及求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年广东省中山市南峰中学初三上1月数学月考 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的顶点在第四象限，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 将二次函数y=2x2-4x+4图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ） A. y=2(x+1)2+1 B. y=2(x+1)2+3 C. y=2(x-3)2+1 D. y=-2(x-3)2+3 6. 边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（）cm． A. B. 2 C. 3 D. 6 7. 已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 24或 D. 48或 8. 若一个圆锥底面积为，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为(　　) A. 5000元 B. 8000元 C. 9000元 D. 10000元 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为﹣，其中正确的结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 13. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则时，x的取值范围________． 14. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为_____度． 15. 如图，把直角三角形的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置．设，，则顶点运动到点的位置时，点经过的路线与直线所围成的面积是_____． 三、解答题一 16. 已知关于x的方程．若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根． 17. 中国古代“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本，请你画树状图或者列表求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是多少？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，解答下列问题： （1）画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到，并写出点的坐标． 四、解答题二 19. 已知关于x方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 20. 已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC． （1）求证：△BAP≌△CAQ． （2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 五、解答题三 22. 取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板，将三角板绕点顺时针方向旋转，旋转角度为，得到． （1）当为多少度时，？ （2）当旋转到图所示位置时，为多少度？ （3）连接，当时，探求值的大小变化情况，并给出你的证明． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于、两点（点在左，点在右），交轴于点，且，． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图2，点为抛物线的顶点，连接，点是抛物线上－一动点，且在、两点之间运动，过点作轴交线段于点，设点的横坐标为，线段长为，写出与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，在上有一动点，且，连接，当时，求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $