广东省中山市南峰中学2025-2026学年上学期1月九年级数学学情自测

2025-2026年广东省中山市南峰中学初三上1月数学月考 一、单选题 1.下列方程是一元二次方程的是() A.x2+2x-3 B.x2+3=0 C.(x2+3)2=9 D.x2+是=4 2.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形 3.用配方法解方程x2-8x+9=0,变形后的结果正确的是() A.(x-4)2=7 B.(x-4)2=-7 C.(x-4)2=25 D.(x-4)2=-25 4.已知抛物线y=-2x+2+k的顶点在第四象限，则() A.h>0,k>0 B.h>0,k<0 C.h<0,k>0 D.h<0,k<0 5.将二次函数y=2x2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数 解析式为() A.y=2(x+1)2+1 B.y=2(x+1)2+3 C.y=2(x-3)2+1 D.y=-2(x-3)2+3 6.边长分别等于6cm、8cm、l0cm的三角形的内切圆的半径为()cm. A.3 B.2 C.32 D.6 7.已知一个菱形的边长是方程x2-8x十15=0的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱 形的面积为() A.48 B.24 C.24或8万 D.48或87 8.若一个圆锥的底面积为4πcm2,圆锥的高为4y2cm,则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度 数为() A.40。 B.80。 C.120。 D.150。 第页（共页） 9.某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件.若每件涨价1元，则销售量 就减少10件.则该产品能获得的最大利润为() A.5000元 B.8000元 C.9000元 D.10000元 l0.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的正半轴相交于A,B两点，与y轴相 交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC.有下列结论：①abc<0;②3b+4c<0;③c>-1; ④关于x的方程ax2+bx+c0有一个根为-，其中正确的结论个数是() 23 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.点P(-3,1)关于原点的对称点P的坐标是 12.若x1,x2是一元二次方程x2一x-2=0的两个根，则-2x1-2的值是 13.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(-4,0)， 对称轴为x=-1,则y>0时，x的取值范围 14.如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD,若∠CAB=35°，则∠ADC的度 数为 度 D 第页（共页） 15.如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线！上，按顺时针方向在1上转动两次，使它 转到A"B“C的位置.设BC=2,AC=2W3,则顶点A运动到点A的位置时，点A经过的路 线与直线所围成的面积是 B 三、解答题一 16.己知关于x的方程(m-1)x2-x-2=0.若x=一1是方程的一个根，求m的值和方程 的另一根。 17.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作， 是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本，请你画树状图或者列表 求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是多少？ 中 18.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABc的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4)， 解答下列问题： 第页（共页） T B 5432-245x -2 3 -6 (1)画出ABC关于原点中心对称的AB,C1,并写出点A1的坐标； (2)画出ABC绕原点O逆时针旋转90后得到的AB2C2,并写出点A2的坐标. 四、解答题二 19.已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2=0 (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围： (2)若两实数根x1、x2满足(x1+1)(x2+1)=8,求m的值. 20.已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接 PQ、QC. (1)求证：△BAP≌△CAQ. (2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°，求PC的长度. 21.如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C,延长AB至点D,连接DC, ∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. 第页（共页） B (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD=4,DB=2,求AE的长. 五、解答题三 22.取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转， 旋转角度为u(0lt,c≤45nbsP),得到ABC39. B y B A a D 图① 图② 图③ (1)当为多少度时，AB‖DC? (2)当旋转到图③示位置时，为多少度？ (3)连接BD,当0lt:x≤45.时，探求∠DBC+∠CAC+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的 证明. 23.如图1，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点 (点B在左，点C在右)，交y轴于点A,且0A=OC,B(-1,0. 第页（共页） 图1 图2 图3 (1)求此抛物线的解析式： (2)如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD,点P是抛物线上一一动点，且在C、D两点之间运 动，过点P作PEIy轴交线段CD于点E,设点P的横坐标为t,线段PE长为d,写出d与t的关 系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD,在BD上有一动点Q,且DQ=CE,连接EQ,当 ∠BQE+∠DEQ=90时，求此时点P的坐标. 参考答案与试题解析 1.B 2.D 3.A 4.D 第页（共页） 5.A 6.B 7.B 8.C 9.C 10.B 11.(3,-1) 12.1 13. x<-4或x>2 14.55 15.2π+2W3 16.m=2,x=2 【解析】将x=-1代入方程得，m-1+1-2=0, 解得m=2, 将m=2代入方程得x2-x-2=0, 即(x-2)(x+1)=0 解得x1=2,82=-1, 方程的另一个根为x=2 故答案为：m=2,x=2 17.吉 【解析】把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D,画树状图如下： 开始 BCDACDABDABC 共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、 CA,所以抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是是=言. 18 (1)见解答过程；(-2-4) 【解析】如图，A1B1C1即为所求； 第页（共页） B2 5432-01345x 一一+ 点A1的坐标为(-2，-4) (2)见解答过程；(-4,2) 【解析】如图，A2B2C2即为所求： 5-432-19 345x 1B1 点A2的坐标为(-4,2). 19. (1)m>克 【解析】：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2=0总有两个实数根， :·=[-2(m+1-4(m2+2)=8m-4≥0 解得：m≥ (2)m=1 【解析】：x1x2为方程x2-2(m+1)x+m2+2=0的两个根.x1+x2=2m+1)x1x2=m2+2 :(x1+1x2+1)=8 :m2+2+2m+1)+1=8 整理得：m2+2m-3=0 即(m+3(m-1)=0 第页（共页） 解得：m1=-3,m2=1 ÷m的值为1 20. (1)见解答过程 【解析】，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ, .AP=AQ,∠PAQ=60°， .△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°， .'△ABC是等边三角形， .∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC, .∠BAP=∠CAQ, 在△BAP和△CAQ中， nbsp;BA=CA nbsp; nbsp∠BAP=∠CAQ nbsp; nbsp;AP=AQ nbsp; ∴.△BAP≌△CAQ(SAS); (2)5 【解析】，由(1)得△APQ是等边三角形， .AP=PQ=3,∠AQP=60°， .∠APB=150°， .∠PQC=150°-60°=90°， .'PB=QC, ∴.QC=4, .△PQC是直角三角形， .PC=VPQ+Qc2=32+42=5. 21. (1)见解答过程 【解析】连接OC,如图， 第页（共页） ,AB为直径， ∴∠ACB=90,即∠BC0+∠0CA=90, 又，'∠DCB=∠CAD,∠CAD=∠OCA, ∴.∠OCA=∠DCB, ∴∠DCB+∠BC0=90,即∠DC0=90, ,0C是⊙0的半径， ∴.CD是⊙O的切线： (2)AE=6 【解析】，∠DC0=90。,OC=OB, 0C2+CD2=0D2, .0B2+42=(0B+2)2, ∴.0B=3, ∴AB=6, AE⊥AD,AB是⊙0的直径， .AE是⊙0的切线， .CD是⊙O的切线： ∴AE=CE, ·AD2+AE2=DE2, .(6+2)2+AE2=(4+AE)2, 解得AE=6. 22. (1)15 【解析】如图②， .AB‖DC, ∴.∠BAC=∠C=30。 第页（共页） ∴.a=∠BAC39-∠BAC=45。-30.=15。 所以当x=15时，AB‖DC: (2)45。 【解析】当旋转到图③示位置时， 根据三角板的度数可得《=45。， 23. (1)y=-x2+2x+3 【解析】当x=0时，则y=3, A(0,3,即0A=3, 0A=0C, 0C=3, C3,0, 抛物线y=ax2+bx+3经过点B(-1,0),C3,0) 抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3; (2)d=-t2+4t-3 【解析】如图1，延长PE交x轴于点H, D H 图1 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, D(1,4, 设直线CD的解析式为y=kx+b, 将点C3,0)、D(1,4)代入， y=-2x+6, Et,-2t+6,P(t,-t2+2t+3 PH=-t2+2t+3,EH=-2t+6, d=PH-EH=-t2+2t+3-(-2t+6)=-t2+4t-3; 第页（共页） (3)P(,) 【解析】如图，作DK⊥OC于点K,作QM川x轴交DK于点T,延长PE、EP交OC于H、交 QM于M,作ER⊥DK于点R,记QE与DK的交点为N, y D R-- D(1,4,B(-1,0,C3,0), BK=2,KC=2, DK垂直平分BC, BD=CD, ∠BDK=∠CDK, ∠BQE=∠QDE+∠DEQ,∠BQE+∠DEQ=90, ∠QDE+∠DEQ+∠DEQ=90,即2∠CDK+2∠DEQ=90., ∠CDK+∠DEQ=45,即∠RNE=45。, ER⊥DK, ∠NER=45., ∠MEQ=∠MQE=45, QM=ME, DQ=CE,∠DTQ=∠EHC,∠QDT=∠CEH, △DQT≌&ECH DT=EH,QT =CH, ME=4-2(-2t+6), QM=MT+QT=MT+CH=t-1+(3-t), 4-2(-2t+6)=t-1+(3-t), 解得：t=号， .P(t,-t2+2t+3 .把t=号代入-t2+2t+3中，得-t2+2t+3=子 P(,): 第页（共页）