专题15 立体图形的直观图6题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一下学期数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版必修第二册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题15 立体图形的直观图6题型分类 一、直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 二、水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 三、空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 四、平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 五、斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. （一） 平面图形的直观图的画法 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 题型1：斜二测画法的概念辨析 1．（2026高一·全国·课后作业）关于斜二测画法，下列说法错误的是（    ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的基本原理依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确； 对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误； 对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确； 对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确. 故选：B. 2．（2026高一·河北衡水·周测）下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45° D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】C 【分析】利用斜二测画法的规则，对四个选项一一验证. 【详解】由直观图的画法规则，可知C中∠x′O′y′可以是45°或135°. 故选：C. 3．【多选】（2026高一·辽宁·期末）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【答案】AC 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可． 【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确； 对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误； 对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确； 对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误． 故选：AC． 4．（2026高一·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 5．（2026高一·全国·课后作业）阅读下列说法： ①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形； ②两条相交直线的直观图可能是平行直线； ③画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直； ④直角梯形的直观图可能是等腰梯形； ⑤一个直角三角形的内角是，则画出其直观图后可能是等边三角形； ⑥一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分． 这些说法中正确的是____________． 【答案】④ 【分析】根据斜二测画法的规则，结合题意，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，如图所示，设的平面直观图是边长为的等边， 根据斜二测画法，可得为不等边三角形，所以①不正确； 对于②，由斜二测画法的规则，两条相交直线的直观图仍为两条相交直线，所以②错误； 对于③，利用斜二测画法，两条垂直的直线的直观图可能是垂直直线，也可能是相交不垂直的直线，所以③错误； 对于④，如图所示，设梯形为等腰梯形，其中，且， 由斜二测画法画直观图时，平行性不变，与平行或重合的线段的长度不变，与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，可得直角梯形的直观图为等腰梯形， 所以直角梯形的直观图可能是等腰梯形，所以④正确； 对于⑤，根据斜二测画法的规则知，在利用斜二测画法画直观图时，平行性不变，与平行或重合的线段的长度不变，与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半， 若一个直角三角形的内角是，其三边的比为，无论怎么放置，画出其直观图后都不可能是等边三角形，所以⑤错误. 对于⑥，根据斜二测画法的规则知，一个平行四边形的直观图中其对角线一定相互平分，所以⑥错误； 故答案为：④. 6．（2026高一·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【详解】斜二测画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 所以的对应点画对了，的对应点画错了. 题型2：平面图形的直观图的画法 7．（2026高一·全国·课后作业）用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图. 【答案】图见解析. 【分析】在给定的正三角形中建立平面直角坐标系，再利用“斜二测”画法确定另两个顶点位置即可画出其直观图. 【详解】在给定的正三角形中建立如图所示的平面直角坐标系，其中线段是正三角形的高，， 在平面内取点，过作直线，使，如图， 在直线上取点，使，过作线段，使， 连接，抹去辅助线得边长为2cm的正三角形的直观图，如图. 8．（2026高一·全国·课后作业）如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图. 【答案】图见解析. 【分析】在等腰梯形中建立平面直角坐标系，再利用“斜二测”画法确定另两个顶点位置即可画出其直观图. 【详解】在等腰梯形中，过D作于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 其中， 在平面内取点，过作直线，使，如图， 在直线上取点，使，过作线段，使， 在直线上取点，使， 连接，抹去辅助线得等腰梯形的直观图，如图梯形. 9．（2026高一·全国·课后作业）若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【详解】圆柱中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 10．（2026高一·湖南·课后作业）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图： (1)边长为的正三角形； (2)边长为的正方形； (3)边长为的正八边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图； （2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图； （3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图. 【详解】（1）解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示. （2）解：如图④所示，以、边所在的直线分别为轴、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 作轴，且，连接， 则平行四边形即为正方形的直观图，如图⑥所示. （3）解：如图⑦所示，画正八边形，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 设点、在轴上的射影点分别为、， 画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，，， 在轴上截取，作轴且， 作轴，且，作轴，且， 作轴，且，作轴，且， 连接、、、、、、、， 则八边形为正八边形的直观图，如图⑨所示. （二） 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出. (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向. (3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致. 题型3：空间几何体直观图的画法 11．（2026高一·全国·课后作业）用斜二测画法画长、宽、高分别为、、的长方体的直观图． 【答案】图见解析. 【分析】根据斜二测画法先做底面ABCD，再做底面,由此可得长方体的直观图. 【详解】画法步骤：    （1）画轴．如图，画轴、轴、轴，三轴相交于点，使，． （2）画底面．以点为中点，在轴上取段，使；在轴上取线段，使． 分别过点和作轴的平行线，过点和作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，四边形就是长方体的底面的直观图． （3）画侧棱．过，，，各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，． （4）成图．顺次连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图．    12．（2026高一·全国·课后作业）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2． 【答案】答案见解析 【分析】先根据斜二测画法的规则，画出棱台的上下底面，再在z轴上取一点，使，进而的正四棱台的直观图. 【详解】（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，，． （2）画下底面．如图①，以O为中心，在x轴上取线段MN，使；在y轴上取线段PQ，使．分别过点M和点N作y轴的平行线，分别过点P和点Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则面ABCD即为四棱台的下底面． （3）画上底面．在z轴上取一点，使，过点分别作，，在平面内以为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图． （4）连线．被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）．    13．（2026高一·全国·课后作业）画出一个三棱台，其上、下底面分别是边长为1，2的正三角形，高为2． 【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的步骤和规则进行作图即可. 【详解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使，． （2）画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段，使，在y轴上取线段，使． 连接，，则为三棱台的下底面的直观图． （3）画上底面在z轴上取，使，过点作，， 建立平面直角坐标系．在中，类似步骤（2）的画法得上底面的直观图． （4）连线成图．连接，，，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线， 则三棱台即为要画的三棱台的直观图（如图②所示）． 14．（2026高一·全国·课堂例题）画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的方法建系,再分别画出底面与顶点即可. 【详解】画法：（1）画轴． 画x轴、y轴、z轴，（或），，如图（1）． （2）画底面． 以O为中心在平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图． （3）画顶点，在z轴上截取，使． （4）成图，顺次连接，，，，并擦去辅助线，被遮挡住的线段，，改成虚线，得四棱锥的直观图如图（2）． 15．（2026高一·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【答案】直观图见解析 【分析】借助直观图的画法逐步画出即可得. 【详解】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． （三） 直观图的还原与计算 平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝S原. 题型4：由直观图还原平面图形 16．（2026高一·全国·课后作业）一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】作出直观图为正三角形对应的原三角形，即可判断作答. 【详解】令正是水平放置的的直观图，不妨令点在数轴上，如图， 因为，则线段与轴必相交，令交点为， 在直角坐标系中，点在轴上，，点在轴上，，如图， 因此点必在线段的延长线上，有，即是钝角三角形， 所以原三角形是钝角三角形. 故选：C 17．（2026高一·山东临沂·期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则下列结论正确的是（    ） A．是等腰直角三角形 B．是锐角三角形 C．是钝角三角形 D．是等边三角形 【答案】A 【分析】画出原图，利用原图与直观图之间的转化比例求解. 【详解】解：将其还原成原图，如图， 设，则可得，， 从而， 所以，即， 故是等腰直角三角形. 故选：A 18．【多选】（2026高一·广东深圳·期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法还原，然后求出三边即可得答案. 【详解】根据斜二测画法还原，如图所示： 由斜二测画法可知，， 则，所以为正三角形. 所以. 19．（2026高一·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得. （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，. 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 题型5：求直观图的长度和面积 20．（2026高一·广东惠州·月考）在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为的两边分别平行于轴、轴，则， 在直观图中，按斜二测画法规则知或，即或. 21．（2026高一·广东梅州·期末）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求得原图形三角形中的值，再根据斜二测画法的规则进而求得. 【详解】画出的原图为直角三角形，且， 因为，所以，所以. 故选：B 22．（2026高一·全国·课堂例题）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图， 因为，可得，， 易知且为的中点，所以，且， 又的周长为，所以，即， 则，则. 23．（2026高一·北京·月考）如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知的面积为16，过点作轴于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为所以原中，，且轴方向长度不变， 因此， 已知面积为16，由直角三角形面积公式： ， 在斜二测画法中，轴方向长度变为原来的​，因此， 因为轴与轴夹角为，轴， 所以在直角三角形中：， 因此的长为. 24．（2026高一·广东·专题练习）如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图，即四边形，则四边形的面积为______. 【答案】 【分析】作出直观图，结合三角形的面积公式可求出四边形的面积. 【详解】作出直观图如下图所示： 由题意可知，四边形为平行四边形， 且，， 平行四边形的面积. 题型6：求平面图形的长度和面积 25．（2026高一·山东淄博·月考）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形的面积是（    ）． A．12 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直观图为矩形，且，又，有， 所以直观图面积为，则原图形面积. 26．（2026高二·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是_________． 【答案】 【分析】由直观图还原为原图，判断其为平行四边形，分别求得一组邻边长即可求得周长. 【详解】根据斜二测画法的几何特点，还原图形，即可求解. 在直观图中，设与交于点， 根据题意，为矩形，， 则，所以， 在平面直角坐标系下还原图形，如图： 则 ，且， ，， 所以原图形的周长为：. 故答案为：. 27．（福建省三明市五县联盟2025-2026学年高一学期期中数学试题）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】结合图形可得，求出四边形面积后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D，因为轴，轴，所以， 因为轴，所以四边形为平行四边形，故. 又，结合轴，得，故. 所以四边形面积为， 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形OABC的面积为. 故选：D. 28．（2026高一·辽宁·期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意得到，然后还原原图形计算即可. 【详解】由图可知：，则，原图形如下图： 所以，则面积为 故选：B 29．（2026高一·河北保定·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】过作轴，交轴于，求出的长，由斜二测画法的规则可知，即为的边上的高. 【详解】如图，过作轴，交轴于， 在中，因为与轴垂直，且，， 所以， 由斜二测画法知：，所以的边上的高为8. 故选：D.    1．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 【答案】CD 【分析】根据斜二测画法的规则判断即可. 【详解】在斜二测画法中，平行性不变，但线段的长度、角的大小都可能改变，A，B错误， 但线段上点的相对位置不变，直角梯形的直观图可能是等腰梯形，C，D正确． 故选：CD. 2．（2026高一·全国·课后作业）根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（    ） A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则可得． 【详解】根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°. 故选：D. 3．（2026高一·全国·课后作业）利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（    ） A．① B．①② C．③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的规则依次判断各命题即可作答. 【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，即原图形与直观图中对应的相交直线、平行直线的关系不变， 因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，①②正确， 由于斜二测画法规则中，原图形中x，y轴互相垂直，在直观图中，对应的轴夹角为， 并且原图形中在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中长度减半，原图形中在x轴上或平行于x轴的线段在直观图中长度不变， 因此斜二测画法会改变角的大小，③④错误. 故选：B 4．（2026高一·山东潍坊·期末）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测法的原则，结合各选项中图形的性质，即可判断正误. 【详解】由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚， 对于选项A，菱形的直观图是平行四边形，所以A错误， 对于选项B，矩形的直观图为平行四边形，所以B正确， 对于选项C，平行四边形的直观图是平行四边形，所以C错误， 对于选项D，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成，其不为等腰三角形，所以D错误， 故选：B. 5．（2026高一·陕西渭南·期末）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】将直观图还原，分析几何图形的形状. 【详解】    如图，将直观图还原，则，，所以，即是正三角形. 故选：A. 6．（2026高一·全国·课后作业）如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状（四边形）为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则即可判断 【详解】由，得，由边的平行关系可知，原图形为矩形 故选：D 7．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【分析】根据斜二测画法可得在原图形中，，轴，的位置不变，，的位置不变，，画出图形即可. 【详解】解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）． 8．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形. 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则，即可将直观图还原成平面图形. 【详解】（1）画出直角坐标系，在x轴的正方向上取，即， （2）过作轴，交轴于点， 在上取，过D作轴，且使； （3）连接，得， 则即为对应的平面图形，如图所示： 9．（2026高一·浙江湖州·期中）如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面积公式求出原的高，进而求出，然后在中求解即可. 【详解】在中，，由的面积为16，， 得，则，，而， 轴于点， 所以. 故选：C 10．（2026高二·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（ ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】求出矩形的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案. 【详解】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为. 故选：D 11．（2026高二·上海·期中）如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为___________． 【答案】 【分析】利用公式求得直观图面积即可求解. 【详解】， 所以， 设底边上的高为， 则， 得， 故答案为： 12．（2026高一·甘肃兰州·期末）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【详解】在矩形中，， 所以直观图还原得. 四边形为平行四边形，， ，所以，， 则. 所以，故原图形为菱形. 13．（2026高一·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 故选：D． 14．（2026高二·上海·月考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图， 已知轴，且的面积为，则的长为_______.    【答案】 【分析】利用斜二测画法的性质，再结合勾股定理即可计算. 【详解】由，可知在原平面图中，， 因为，， 所以， 故答案为：. 15．（2026高一·全国·课后作业）画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示． 【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法作图： （1）在已知图形中作直角坐标系； （2）作出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，截取相应的点，并连线； （3）擦去辅助线得直观图． 【详解】【解】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示． （2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②. （3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③. 16．（2026高一·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题15 立体图形的直观图6题型分类 一、直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 二、水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 三、空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 四、平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 五、斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. （一） 平面图形的直观图的画法 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 题型1：斜二测画法的概念辨析 1．（2026高一·全国·课后作业）关于斜二测画法，下列说法错误的是（    ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 2．（2026高一·河北衡水·周测）下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45° D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 3．【多选】（2026高一·辽宁·期末）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 4．（2026高一·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 5．（2026高一·全国·课后作业）阅读下列说法： ①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形； ②两条相交直线的直观图可能是平行直线； ③画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直； ④直角梯形的直观图可能是等腰梯形； ⑤一个直角三角形的内角是，则画出其直观图后可能是等边三角形； ⑥一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分． 这些说法中正确的是____________． 6．（2026高一·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（ ） A． B． C． D． 题型2：平面图形的直观图的画法 7．（2026高一·全国·课后作业）用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图. 8．（2026高一·全国·课后作业）如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图. 9．（2026高一·全国·课后作业）若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 10．（2026高一·湖南·课后作业）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图： (1)边长为的正三角形； (2)边长为的正方形； (3)边长为的正八边形． （二） 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出. (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向. (3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致. 题型3：空间几何体直观图的画法 11．（2026高一·全国·课后作业）用斜二测画法画长、宽、高分别为、、的长方体的直观图． 12．（2026高一·全国·课后作业）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2． 13．（2026高一·全国·课后作业）画出一个三棱台，其上、下底面分别是边长为1，2的正三角形，高为2． 14．（2026高一·全国·课堂例题）画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 15．（2026高一·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． （三） 直观图的还原与计算 平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝S原. 题型4：由直观图还原平面图形 16．（2026高一·全国·课后作业）一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 17．（2026高一·山东临沂·期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则下列结论正确的是（    ） A．是等腰直角三角形 B．是锐角三角形 C．是钝角三角形 D．是等边三角形 18．【多选】（2026高一·广东深圳·期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 19．（2026高一·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 题型5：求直观图的长度和面积 20．（2026高一·广东惠州·月考）在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（    ） A． B． C． D．或 21．（2026高一·广东梅州·期末）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2026高一·全国·课堂例题）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（    ） A． B． C． D． 23．（2026高一·北京·月考）如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知的面积为16，过点作轴于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 24．（2026高一·广东·专题练习）如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图，即四边形，则四边形的面积为______. 题型6：求平面图形的长度和面积 25．（2026高一·山东淄博·月考）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形的面积是（    ）． A．12 B． C． D． 26．（2026高二·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是_________． 27．（福建省三明市五县联盟2025-2026学年高一学期期中数学试题）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 28．（2026高一·辽宁·期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 29．（2026高一·河北保定·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 1．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 2．（2026高一·全国·课后作业）根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（    ） A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 3．（2026高一·全国·课后作业）利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（    ） A．① B．①② C．③ D．①②③④ 4．（2026高一·山东潍坊·期末）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 5．（2026高一·陕西渭南·期末）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 6．（2026高一·全国·课后作业）如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状（四边形）为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 7．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 8．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形. 9．（2026高一·浙江湖州·期中）如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 10．（2026高二·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（ ） A．4 B． C．8 D． 11．（2026高二·上海·期中）如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为___________． 12．（2026高一·甘肃兰州·期末）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 13．（2026高一·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 14．（2026高二·上海·月考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图， 已知轴，且的面积为，则的长为_______.    15．（2026高一·全国·课后作业）画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示． 16．（2026高一·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $