专题11 复数的概念12题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一下学期数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦复数的概念及应用，系统梳理复数的引入、定义、实部虚部、分类、相等条件、复平面与几何意义、模等核心知识点，构建从基础概念到几何应用的完整学习支架。 资料以12类题型为载体，涵盖虚数单位性质、参数求解、几何意义等，题目选自多地考试真题，通过具体问题培养学生数学思维与运算能力，助力教师系统授课，学生课后可针对性训练查漏补缺。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题11 复数的概念12题型分类 一、复数的有关概念 1.复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 2.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 3.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 二、复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系. 三、复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 四、复平面 五、复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 六、复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. （一） 复数的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 题型1：虚数单位及其性质 1．（2026高二·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的运算性质求解即可. 【详解】由复数运算性质得，故A正确. 故选：A 2．（2026高一·北京朝阳·期末）复数（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用，可求值. 【详解】. 故选：A. 3．（2026高一·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 【答案】0 【分析】根据的运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：0 4．（2026高一·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由复数的乘方可以发现具有周期性，周期为，然后由周期性计算即可. 【详解】因为，，，，所以具有周期性，周期为， 所以，所以. 故选：A 5．（2026高一·湖南邵阳·期末）已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由的运算性质可得答案. 【详解】当n为偶数时，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充分条件； 当n为奇数时，，则时，n为偶数，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的必要条件. 综上，“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充要条件. 故选：C 6．（2026高一·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 【答案】A 【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可. 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， 故选：A 题型2：复数的实部与虚部 7．（2026高一·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】A 【分析】由复数的实部虚部的定义可知答案. 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A 8．（2026高一·湖南邵阳·期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（  ） A．7 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】根据复数实部和虚部的定义求出的值，进而求解即可. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 9．（2026高三·青海西宁·月考）若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由复数的概念可得. 【详解】由题意得，的虚部是3． 故选：D． 10．（2026高三·贵州·月考）若复数的虚部是实部的3倍，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据实部和虚部的关系列方程，化简求得的值. 【详解】因为的虚部是实部的3倍，所以，解得. 故答案为： 11．（2026高二·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】直接根据复数的概念可得. 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 12．（2026高三·上海宝山·月考）已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，找到复数的虚部、实部，得到不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积大于0， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. （二） 复数的分类 复数的分类:复数z＝a＋bi(a，b∈R) 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0. ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 题型3：复数的分类 13．（2026高一·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【分析】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【详解】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 14．（2026高一·全国·课后作业）在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据复数的定义、复数的分类判断． 【详解】，是纯虚数，，0.618是实数，是虚数．故纯虚数的个数为2． 故选：C． 15．（2026高二·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义判断即可. 【详解】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数； 综上，纯虚数的个数为2. 故选：C. 16．（2026高一·河南开封·期末）下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，可得答案. 【详解】由为实数，复数中实部为，则ABD错误. 故选：C. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，代入，结合纯虚数的概念即可求解. 【详解】将，代入，得，A为实数；，B为纯虚数； ，C为实数；，D为虚数，但不为纯虚数． 故选：B. 题型4：已知复数的类型求参数 18．（2026高一·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 19．（2026高三·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据已知复数是纯虚数列式计算求解. 【详解】设是虚数单位，若是纯虚数，则实数，且不是0， 则． 故答案为：. 20．（2026高一·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 21．（2026高二·江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 22．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由纯虚数的定义，结合充要条件的定义即可判断。 【详解】当时，复数为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得； 综上，p为q的充要条件. 故选：C 23．（广东省潮州市2026届高三学期期末教学质量检测数学试题）已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则（   ） A．2或0 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】由纯虚数的定义得，求解即可. 【详解】由题设，可得. 故选：B 24．（2026高三·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为复数是实数，则，解得. 故选：C. （三） 复数相等的充要条件 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 题型5：复数相等的充要条件 25．（2026高一·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据两个复数相等的充要条件，得到、的值，从而求出. 【详解】由，所以，，则. 故选：A 26．（2026高一·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 27．（2026高一·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 28．（2026高三·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. 29．（2026高一·全国·专题练习）定义运算，如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意以及复数相等，建立方程组，可得答案. 【详解】由定义运算，得， 故有. 因为x，y为实数，所以有，得，得. 所以. 故答案为： 30．（2026高一·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 31．（2026·河北·模拟预测）已知为虚数单位，，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两复数相等，实部、虚部分别相等列方程组，求解可得结果. 【详解】由题得， 所以，解得，所以. 故选：C 32．（2026高一·江苏盐城·期中）已知复数，，，，并且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数相等的性质与三角函数的平方关系得到关于的关系式，再根据的范围，结合二次函数图像与性质即可得解. 【详解】因为，，， 所以，消去，得， 则， 因为， 所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 所以. 故选：D. 题型6：复数中的比较大小 33．（2026高一·全国·课堂例题）两个复数能否比较大小？ 【答案】答案见解析 【详解】一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小． 如果两个复数都是实数，那么就可以比较大小：如果两个复数不全是实数时，那么不能比较大小 因为若两个复数可以比较大小，如0与i，由复数相等的定义知，则必有或， 这两种情况中有且只有一种成立．若，这与矛盾； 若，这与矛盾． 所以复数不能比较大小．但是两个复数的模能比较大小． 34．（2026高一·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【答案】6 【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 35．（2026高一·全国·专题练习）若为实数，复数，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，可得该复数是实数，再列式计算即得. 【详解】由只能是实数才能比较大小，得为实数，因此，解得， 所以. 故答案为：2 36．（2026高一·全国·课后作业）若，且，求实数x的取值范围． 【答案】 【分析】根据复数的概念，列出方程组，求得，进而验证，即可求解. 【详解】由题意知，可得，解得， 当时，可得，此时满足， 所以实数x的取值范围. 37．（2026高二·河南商丘·期中）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简，然后计算，根据纯虚数的概念即可求解. （2）因为虚数无法比较大小，所以，由题意可知，为实数，令的实部大于0，虚部为0，即可求解. 【详解】（1）化简，， ， 因为为纯虚数， 则，解得 （2）因为， 则，解得. （四） 复数的几何意义 复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 题型7：复数的坐标表示 38．（2026高三·贵州遵义·期末）如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先在复平面内找到对应的坐标,再利用复数的几何意义写出复数即可. 【详解】根据复数的几何意义，若，则在复平面内对应的点的坐标为. 依据已知显然的坐标为，所以. 故选：A. 39．（2026高三·广东·学业考试）已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义易得． 【详解】因复数的实部为，虚部为， 故该复数在复平面内对应的点为. 故选：A. 40．（2026高一·四川广安·月考）若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的虚部解得参数，即可依次确定，再结合复数的几何意义，即可得解. 【详解】的虚部为， ，解得，所以， 故在复平面对应的点的坐标为， 故选：A. 41．（2026高三·全国·专题练习）四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对应点的坐标为，根据为平行四边形，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由在复平面内，点对应的复数分别为， 可得点在复平面内对应的点的坐标为， 设在复平面内对应点的坐标为， 因为为平行四边形，所以， 又因为，，所以，解得， 所以点对应的复数为. 故选：C. 题型8：判断复数对应的点所在的象限 42．（2026高二·云南昆明·月考）复数，则复数在复平面内对应的点在第几象限（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义写出对应点坐标可判断. 【详解】复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 故选：D 43．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念以及复数的几何意义求出. 【详解】由题意得，，其在复平面内对应的点为，所以位于第二象限． 故选：B． 44．（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】直接根据复数的几何意义判断可得. 【详解】根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 45．（2026高二·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 题型9：根据复数坐标特征求参数 46．（2026高一·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【答案】或 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由题意可知，复数表示的点的坐标为， 由题意可得，解得或. 故答案为：或. 47．（2026高一·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 48．（2026高一·陕西西安·期中）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第三象限时，其实部小于0，虚部小于0，列式即可解出答案； 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或； （2）由题意，得，解得. 49．（2026高一·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【详解】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 50．（2026高一·河南南阳·月考）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据复数在复平面内的对应点在第三象限，列出相应不等式组求解即可． 【详解】若复数在复平面内的对应点在第三象限，则 ， 解得：， 故答案为：． 51．（2026高一·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可； （2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可. 【详解】（1）由，可得，解得或； （2）由对应的点在第一象限，可得， 解得且， 所以的取值范围为. 52．（2026高一·天津武清·月考）复平面内表示复数 的点为Z. (1)当实数m取何值时，复数z表示纯虚数； (2)当点Z位于第四象限时，求实数m的取值范围； (3)当点Z位于直线上时，求实数m的值. 【答案】(1)时，复数是纯虚数 (2)时，点位于第四象限 (3)或时，点位于直线上 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部； （2）根据复数的几何意义列式计算； （3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求. 【详解】（1）依题意得，当且，即时，复数是纯虚数． （2）依题意得且，解得． 所以当时，点位于第四象限． （3）依题意得当，即或时，点位于直线上． 题型10：复数与复平面内的向量 53．（2026高一·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【详解】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 54．（2026高一·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数在复平面内的几何意义，通过数形结合，即可得到判断. 【详解】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是, 故选：A. 55．（2026高三·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的相反向量的性质得出求出结果. 【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 56．（2026高一·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 【答案】/ 【分析】根据复数与向量的对应关系以及向量的运算法则来求解向量对应的复数. 【详解】已知向量，对应的复数分别为，. 根据向量运算法则，那么向量对应的复数为向量对应的复数减去向量对应的复数.即，化简得：. 故答案为：. 57．（2026高二·黑龙江·开学考试）在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（   ） A．－1 B．1 C．i D．－i 【答案】B 【分析】先表示出向量，，求出，然后可得答案. 【详解】由题知，，可得， 所以向量对应的复数为，其虚部为1． 故选：B． 58．（2026高一·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【详解】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D （五） 复数的模及其应用 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 题型11：复数的模 59．（2026高一·广西北海·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】利用复数的模的公式计算求解即可 【详解】因为复数，所以. 故选：B. 60．（2026高一·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】D 【分析】由复数模长公式直接计算即可. 【详解】由题. 故选：D 61．（2026高一·河北·月考）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 62．（2026高三·辽宁·期末）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【分析】利用复数模的性质建立方程求解参数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 题型12：与复数模有关的图形问题 63．（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义将方程理解为动点到定点的距离为3即得其对应的点的轨迹图形. 【详解】设复数在复平面内对应的点为，而复数对应的点为， 则可将理解为，即动点到定点的距离为3， 故动点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆. 故选：B. 64．（2026高二·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的定义，代入计算即可求出在复平面内对应点的轨迹方程. 【详解】, , 即， 所以的轨迹方程为. 故选：D 65．（2026高三·全国·专题练习）若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是 ． 【答案】原点为圆心，半径为3的圆及其内部 【分析】设，依题意得，进而得到答案. 【详解】设，则， 所以，即， 所以复数在复平面内的点的集合组成的图形是原点为圆心，半径为3的圆及其内部， 故答案为：原点为圆心，半径为3的圆及其内部 66．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 67．（2026高二·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】根据复数的几何意义，结合图形关系即可求解. 【详解】设复数对应的点为， 由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图.   表示点到原点的距离， 则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径. 由于圆心到原点的距离为，则的最小值为. 故答案为：1 68．（2026高三·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】先根据复数z的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】设复数，因为，可得，即， 所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 对于复数，则表示点到点的距离， 因点到原点的距离为， 由图可知，点到点的距离最小值为，也即． 故选：B．    1．（2026·山东·模拟预测）复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数的共轭复数是， 所以复数的虚部为. 故选：C 2．（2026高三·江西南昌·期中）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】依题意，，解得． 故选：B． 3．（2026高二·辽宁·学业考试）已知是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 【答案】D 【分析】由纯虚数定义结合题意可得答案. 【详解】由题意可知解得. 故选：D. 4．（2026高三·青海西宁·月考）已知是复数，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设．若，则，所以，所以“”是“”的充分条件； 若满足，但是，所以“”不是“”的必要条件． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5．（2026高三·山东潍坊·月考）已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】由题意，知，因为复数为纯虚数，所以，所以， 故选：C 6．（2026高二·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 7．（2026·河北邢台·模拟预测）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数相等的概念可得. 【详解】由题意得，，解得，所以. 故选：C 8．（2026高三·广西柳州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的对称性得出复数对应点进而得出复数. 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 9．（2026高二·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可. 【详解】因为复数， 则，解得. 故选：D. 10．（2026高三·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. 11．（2026·湖南湘潭·模拟预测） ． 【答案】 【分析】根据复数模的计算公式求解. 【详解】. 故答案为： 12．（2026高二·山东枣庄·学业考试）若为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】利用虚数的概念计算参数，再计算模长即可. 【详解】由题意可知，即， 则. 故答案为： 13．（2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】设，利用模的几何意义求解即可. 【详解】设，由的几何意义知， z对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即， 因为的几何意义为点到坐标原点的距离， 所以. 故答案为：3. 14．（2026高二·广西钦州·期中）已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解； （3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则， 解得； （2）若复数z对应的点位于第二象限，则， 解得； （3）若复数z对应的点位于直线上，则， 解得或， 则或. 15．（2026高一·黑龙江鸡西·期末）已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解； （2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围. 【详解】（1）， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 16．（2026高一·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 【答案】(1)或. (2). (3). 【分析】（1）令复数的实部为零，解方程即可求得结果； （2）根据第二象限点坐标特征解不等式可得结果； （3）依题意可得复数的实部与虚部相等，解方程即可. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为， 由题意得，解得或. （2）由题意得 所以，即的取值范围为. （3）由已知得， 故. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题11 复数的概念12题型分类 一、复数的有关概念 1.复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 2.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 3.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 二、复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系. 三、复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 四、复平面 五、复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 六、复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. （一） 复数的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 题型1：虚数单位及其性质 1．（2026高二·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 2．（2026高一·北京朝阳·期末）复数（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（2026高一·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 4．（2026高一·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（2026高一·湖南邵阳·期末）已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026高一·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 题型2：复数的实部与虚部 7．（2026高一·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 8．（2026高一·湖南邵阳·期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（  ） A．7 B．5 C． D．9 9．（2026高三·青海西宁·月考）若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A． B． C． D．3 10．（2026高三·贵州·月考）若复数的虚部是实部的3倍，则实数 . 11．（2026高二·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 12．（2026高三·上海宝山·月考）已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 . （二） 复数的分类 复数的分类:复数z＝a＋bi(a，b∈R) 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0. ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 题型3：复数的分类 13．（2026高一·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 14．（2026高一·全国·课后作业）在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2026高二·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（2026高一·河南开封·期末）下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 17．（2026高三·全国·专题练习）已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 题型4：已知复数的类型求参数 18．（2026高一·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 19．（2026高三·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数 ． 20．（2026高一·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 21．（2026高二·江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 22．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（广东省潮州市2026届高三学期期末教学质量检测数学试题）已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则（   ） A．2或0 B．2 C．0 D． 24．（2026高三·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． （三） 复数相等的充要条件 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 题型5：复数相等的充要条件 25．（2026高一·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 26．（2026高一·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 27．（2026高一·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（2026高三·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 29．（2026高一·全国·专题练习）定义运算，如果，则的值为 ． 30．（2026高一·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 31．（2026·河北·模拟预测）已知为虚数单位，，集合，则（    ） A． B． C． D． 32．（2026高一·江苏盐城·期中）已知复数，，，，并且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6：复数中的比较大小 33．（2026高一·全国·课堂例题）两个复数能否比较大小？ 34．（2026高一·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 35．（2026高一·全国·专题练习）若为实数，复数，则 ． 36．（2026高一·全国·课后作业）若，且，求实数x的取值范围． 37．（2026高二·河南商丘·期中）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. （四） 复数的几何意义 复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 题型7：复数的坐标表示 38．（2026高三·贵州遵义·期末）如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）    A． B． C．1 D． 39．（2026高三·广东·学业考试）已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 40．（2026高一·四川广安·月考）若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 41．（2026高三·全国·专题练习）四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 题型8：判断复数对应的点所在的象限 42．（2026高二·云南昆明·月考）复数，则复数在复平面内对应的点在第几象限（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 43．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 44．（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 45．（2026高二·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型9：根据复数坐标特征求参数 46．（2026高一·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 47．（2026高一·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 48．（2026高一·陕西西安·期中）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 49．（2026高一·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 50．（2026高一·河南南阳·月考）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ． 51．（2026高一·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 52．（2026高一·天津武清·月考）复平面内表示复数 的点为Z. (1)当实数m取何值时，复数z表示纯虚数； (2)当点Z位于第四象限时，求实数m的取值范围； (3)当点Z位于直线上时，求实数m的值. 题型10：复数与复平面内的向量 53．（2026高一·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 54．（2026高一·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 55．（2026高三·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 56．（2026高一·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 57．（2026高二·黑龙江·开学考试）在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（   ） A．－1 B．1 C．i D．－i 58．（2026高一·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． （五） 复数的模及其应用 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 题型11：复数的模 59．（2026高一·广西北海·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 60．（2026高一·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 61．（2026高一·河北·月考）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 62．（2026高三·辽宁·期末）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 题型12：与复数模有关的图形问题 63．（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 64．（2026高二·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 65．（2026高三·全国·专题练习）若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是 ． 66．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 67．（2026高二·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是 . 68．（2026高三·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 1．（2026·山东·模拟预测）复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2026高三·江西南昌·期中）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 3．（2026高二·辽宁·学业考试）已知是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 4．（2026高三·青海西宁·月考）已知是复数，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026高三·山东潍坊·月考）已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 7．（2026·河北邢台·模拟预测）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（2026高三·广西柳州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026高二·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 10．（2026高三·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为 ． 11．（2026·湖南湘潭·模拟预测） ． 12．（2026高二·山东枣庄·学业考试）若为纯虚数，则 . 13．（2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是 ． 14．（2026高二·广西钦州·期中）已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 15．（2026高一·黑龙江鸡西·期末）已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16．（2026高一·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $