第27章 相似 单元检测 2025-2026学年人教版九年级数学下册

《相似》 单元检测 （图形的相似、相似三角形、位似） 满分：120分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1．如图，已知直线，，，，则（    ） A．6 B． C．7 D． 2．下列各组的四条线段是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，D、E分别是、上的点，，若，，，则的长是（ ） A． B． C． D．1 4．在中，，，点D，E分别在上．与相似，且，则的值为（    ） A． B．或2 C．2 D．或 5．如图，在中，，点为延长线上的一点，，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C． D．4 6．如图，已知，且将分成面积相等的三部分，若，则的长度是（    ）    A． B． C．6 D． 7．如图，在正方形中，点在对角线上，且，过点作与的延长线交于点，与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 8．如图，已知点D为中边的中点，，直线交于点G，交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，在轴正半轴上，的中点在函数的图象上，连接、，交轴于点，若的面积为4，则的值为（    ）    A．3 B． C．6 D．8 10．如图，为的直径，D是半圆中点，弦交于点E．若，，则的半径为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．已知两个相似三角形对应角平分线的比为，且这两个三角形的一对对应高之差为，则这两个三角形对应高的长分别为 ___________． 12．如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，其中，，量得，则______． 13．如图，在直角梯形中，，，，，，点 P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点 P有____________ 个. 14．已知，如图，在中，．点D在边上，点E为的中点，且．则长为______． 15．测量河宽的示意图如图所示，与相交于点，，测得，，，则河宽______    16．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点，连接． （）______； （）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺找出圆心，并画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（共9题，72分） 17．（本题4分）如图，在中，，，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)线段的长为 ； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)当点在边上时，求出t的值． (4)当点在内部时，直接写出t的取值范围． 18．（本题4分）近两年兰州老街独特的灯会和风景吸引广大市民前往游玩，也带动了老街周边的小区，一栋栋高楼拔地而起．小明家在兰州老街旁边长城嘉峪苑，在学习了利用相似三角形测高后，小明想计算自己家所在这栋楼高．如图，小明（线段）利用所学到的知识，计算楼房（线段）的高度，他把一镜子放在E处（点B、E、D共线），此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C，若小明身高，测得，，求小明家所在这栋楼房有多高?    19．（本题6分）如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先在上画点D，使，再在上画点E，使． 20．（本题6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． (1)以为位似中心，作，相似比为，且保证在第三象限； (2)点的坐标为（__________，________）； (3)的面积是________． 21．（本题8分）如图，小刚家窗外有一堵围墙，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点射进房间的地板处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点射进房间的地板处．小刚测得窗子距地面的高度，窗高，并测得，．求围墙的高度．（图中、、三点在同一条直线上） 22．（本题10分）如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如图曲杰的身高为米，他估计自己眼睛距离地面的距离为米，同时测得米，米，则楼高． 23．（本题10分）在中，于点是线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在线段上． (1)求证：； (2)若，求点到边的距离． 24．（本题12分）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 25．（本题12分）综合与探究 如图，在中，，点D是边上一点，，点F从点A出发，以的速度沿向点C匀速运动．设点F的运动时间为． (1)的长为_______． (2)如图1，连接，当t为何值时，？ (3)如图2，连接，当t为何值时，垂直平分？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《相似》 单元检测 （图形的相似、相似三角形、位似） 满分：120分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1．如图，已知直线，，，，则（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：， ∴，即， ∴， 故选：C． 2．下列各组的四条线段是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例顺序：两外项之积等于两内项之积，对各项进行分析即可求出正确结果． 【详解】解：∵项，，∴项不正确； ∵项，∴项不正确； ∵项，∴项不正确； ∵项，∴项正确 故答案为： 【点睛】本题考查了比例线段的概念，理解成比例线段的概念是解题的关键． 3．如图，在中，D、E分别是、上的点，，若，，，则的长是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可； 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 将，，分别代入比例式，得， 解得 ． 故选：B． 4．在中，，，点D，E分别在上．与相似，且，则的值为（    ） A． B．或2 C．2 D．或 【答案】B 【分析】本题主要相似三角形的性质，先根据题意得到，再分当时，当时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的值为或2， 故选：B． 5．如图，在中，，点为延长线上的一点，，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C． D．4 【答案】A 【分析】首先判断出，推得；然后根据，推得，所以；最后根据，求出的值是多少，进而求出的值是多少即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 即的长是6． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质和应用，平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出线段的长度． 6．如图，已知，且将分成面积相等的三部分，若，则的长度是（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由平行线得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出答案． 【详解】解：∵，且将分成面积相等的三部分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 故选：B． 7．如图，在正方形中，点在对角线上，且，过点作与的延长线交于点，与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】该题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，根据正方形的性质和勾股定理求出，证明，结合，得出，则．证明，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ， ∵， ， ， ． ， ， ， ， ． 故选：A． 8．如图，已知点D为中边的中点，，直线交于点G，交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由，可得，推出，又有的值，再由，得出，代入即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴，， ，， 即， 又， ． 故选：D． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，在轴正半轴上，的中点在函数的图象上，连接、，交轴于点，若的面积为4，则的值为（    ）    A．3 B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据平行四边形的性质，得到，设，，从而得出，证明，得出，进而得到，再证明，得到，进而得出，最后利用，求出，即可得出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，   的顶点在轴负半轴上，在轴正半轴上， ，，， ， 设，， 则，，， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在函数的图象上， ， 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数和几何图形综合题，考查了坐标与图形，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 10．如图，为的直径，D是半圆中点，弦交于点E．若，，则的半径为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】B 【分析】连接、、，先由D是半圆中点证明，设，，，因为，，所以由勾股定理得，再证明，得 ，则， 整理得，于是可列方程，解方程求出符合题意的r的值即可． 【详解】解：如图，连接、、， ∵D是半圆中点， ∴ ， ∴， 设，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的半径为， 故选：B． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程的知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．已知两个相似三角形对应角平分线的比为，且这两个三角形的一对对应高之差为，则这两个三角形对应高的长分别为 ___________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴对应的高的比为，设高分别为， ∵对应高之差为， ∴，解得，， ∴两个三角形对应高分别是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边高的比等于相似比是解题的关键． 12．如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，其中，，量得，则______． 【答案】12 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：12． 13．如图，在直角梯形中，，，，，，点 P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点 P有____________ 个. 【答案】3 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键． 由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可得到点的个数． 【详解】解：， ． ， ， ．，，， 设的长为，则长为． 若边上存在点，使与相似，那么分两种情况： ①若，则，即，解得； ②若，则，即，解得或． 满足条件的点的个数是个， 故答案为：． 14．已知，如图，在中，．点D在边上，点E为的中点，且．则长为______． 【答案】6 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，，结合，即可判定，根据相似三角形的性质得到，进而求出即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．测量河宽的示意图如图所示，与相交于点，，测得，，，则河宽______    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，证明，再根据三角形相似的性质即可求出答案． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点，连接． （）______； （）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺找出圆心，并画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ； 作图见解析；取圆与格线的交点，连接，交点为圆心；取格点，连接，交于点，连接并延长，与圆的交点即为点． 【分析】（）由勾股定理即可求解； （）取圆与格线的交点，连接，交点为圆心；取格点，连接，交于点，连接并延长，与圆的交点即为点，连接，即为所求． 【详解】解：（）由网格得，， 故答案为：； （）解：如图，点和线段即为所求． 方法：取圆与格线的交点，连接，交点为圆心；取格点，连接，交于点，连接并延长，与圆的交点即为点． 理由：由网格可得，， ∴为圆的直径， ∴点即为圆心， 由网格可知，以， ∴， ∴， ∵， ∴由平行线等分线段定理得，， 即点为的中点， ∴由垂径定理的推论可得， ∴， 即平分， 故答案为：取圆与格线的交点，连接，交点为圆心；取格点，连接，交于点，连接并延长，与圆的交点即为点． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线等分线段定理，垂径定理的推论，掌握圆的有关性质是解题的关键． 三、解答题（共9题，72分） 17．（本题4分）如图，在中，，，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)线段的长为 ； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)当点在边上时，求出t的值． (4)当点在内部时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2)，； (3)； (4)当点在内部时，． 【分析】本题主要考查了直角三角形中的动点问题、相似三角形的判断与性质、勾股定理． （1）根据勾股定理求出AC的长，再根据点D为AC的中点，得到结果； （2）由AP=t，AB=5，得出结论； （3）当点在上时，，，根据对应边成比例求出； （4）分情况计算出两个临界值，当点在上时，求出；当点在上时，，点与点C重合，，根据对应边成比例求出，最后得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点D为边的中点， ∴； 故答案为：2； （2）解：当点P在上时， ∵， ∴， 当点P在上时，， ∴，； （3）解：如图，当点在上时，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：由（3）得当点在上时，； 如图，当点在上时，，点与点C重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在内部时，． 18．（本题4分）近两年兰州老街独特的灯会和风景吸引广大市民前往游玩，也带动了老街周边的小区，一栋栋高楼拔地而起．小明家在兰州老街旁边长城嘉峪苑，在学习了利用相似三角形测高后，小明想计算自己家所在这栋楼高．如图，小明（线段）利用所学到的知识，计算楼房（线段）的高度，他把一镜子放在E处（点B、E、D共线），此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C，若小明身高，测得，，求小明家所在这栋楼房有多高?    【答案】小明家所在这栋楼房有87米高 【分析】证明，得到，求出． 【详解】解：由已知可得， 又∵， ∴ ∴， ∴， 解得 ∴小明家所在这栋楼房有87米高． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 19．（本题6分）如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先在上画点D，使，再在上画点E，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，取格点D、H，连接交于E，则点D和点E即为所求． 【详解】解：如图所示，取格点D、H，连接交于E，则点D和点E即为所求； 由图可知，则，即，则点D即为所求； 由图可知，则， 由图可知，则， 又∵, 则可证明，则点E即为所求． 20．（本题6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． (1)以为位似中心，作，相似比为，且保证在第三象限； (2)点的坐标为（__________，________）； (3)的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化、位似变换，求网格中图形的面积，利用位似的性质正确作出图形是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，分别作出、、的位置，再顺次连接即可得到； （2）根据坐标系即可得出点的坐标； （3）结合点的坐标，利用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：由坐标系可得，点的坐标为． 故答案为：，． （3）解：由坐标系可得，的面积． 故答案为：． 21．（本题8分）如图，小刚家窗外有一堵围墙，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点射进房间的地板处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点射进房间的地板处．小刚测得窗子距地面的高度，窗高，并测得，．求围墙的高度．（图中、、三点在同一条直线上） 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，分式方程的运用，理解题意，掌握相似三角形的判定方法得到，由相似三角形性质列分式方程求解是解题的关键． 如图延长至点，可得，设，由题意可证，得到，则，且，，，代入计算即可求解． 【详解】解：如图延长至点， ， ， ，， ， 又， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ，且，，， 则， 解得， 经检验是原方程的解， 答：围墙的高度是． 22．（本题10分）如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如图曲杰的身高为米，他估计自己眼睛距离地面的距离为米，同时测得米，米，则楼高． 【答案】楼高为22米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键． 根据镜面反射的性质可得，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：根据题意得米， ∵，（反射角等于入射角）， ∴， ∴， ∴， ∴米． ∴这栋大楼高为22米． 23．（本题10分）在中，于点是线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在线段上． (1)求证：； (2)若，求点到边的距离． 【答案】(1)见详解 (2)点到边的距离为． 【分析】（1）由旋转得，再结合三角形内角和得，因为，则证明，即可作答． （2）先运用勾股定理算出，结合旋转性质以及等角对等边，得，运用相似三角形的高的比等于相似三角形的相似比，即可作答． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， 即， ∵， ∴， 解得， 即点到边的距离为． 【点睛】本题考查了旋转性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（本题12分）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用两组对应角相等的三角形相似判定即可． （2）利用三角形相似的性质计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 25．（本题12分）综合与探究 如图，在中，，点D是边上一点，，点F从点A出发，以的速度沿向点C匀速运动．设点F的运动时间为． (1)的长为_______． (2)如图1，连接，当t为何值时，？ (3)如图2，连接，当t为何值时，垂直平分？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角表的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，抓住动态问题中的瞬时特征是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例求解即可； （3）连接，根据证明，根据两角对应相等证明，根据全等三角形的性质和相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）在中，， ∴， 故答案为：5； （2）由题意，得， ， ． ， 即． 解得， ． ． （3）连接，如图所示， 由题意，得． 垂直平分， ， 在和中，， ， ． ． ． 又， ， ， 即． 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $