第27章 相似 单元检测题 2025-2026学年人教版数学九年级下册

第27章 相似 单元复习检测卷 考生注意：本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（   ）cm A．15 B． C． D． 2．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 4. 如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），爸爸拿着的光源与小明手之间的距离为4米（即点到的距离），如图2所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知，下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 9．如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点O，若，，则为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．如图，，交于点O．已知，，则 ． 12．如图，是的边的延长线上任意一点，分别交和于点和．若，则的值为 ． 13．如图，在阳光下，旗杆在地面上的影长为，在建筑物墙面上的影长为．同一时刻，测得直立于地面长的木杆影长为，则旗杆的高度为 ． 14．如图，在中，，高，线段所在的直线向上平移，与、所在直线分别相交于点、，要使得，则直线平移的距离为 ． 15．如图，在矩形中，，，P是射线上一动点，把沿直线翻折，顶点B的对应点为G，当线段与相交时，设交点为E，连接，交于点F，连接，若，则的长为 ． 3、 解答题（本大题共8个小题，第16、17、18题每小题7分，第19、20、21题每小题9分，第22小题13分，第23小题14分，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 17．某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 18．如图，和矩形的底边，重合，点，分别在边上，过点作于点，交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)已知点是边上的中点，连接，若的周长为8，求的周长． 19．如图，四边形的对角线与相交于点，已知，，，． (1)求证：． (2)若的面积为3，求的面积． 20．如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 22．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E． ，，… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，，，．求的长； (3)如图③，中，E是中点，是的平分线，交于F，若，，求线段的长． 23．如图1所示，在正方形中，点E是对角线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至，连接． (1)求证：． (2)如图2所示，连接，直线交于点G，交于点H，若， ①求证： ②求出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第27章 相似 单元复习检测卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B D D D D B B 1．A 【分析】本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d． 【详解】∵ 线段 , , , 是成比例线段， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 2．C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， 又∵的周长为， ． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．根据相似三角形的性质可得，则，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】此题考查了相似三角形的判定、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴ A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； B、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，掌握这些是解题的关键． 利用平行线得出相似三角形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， ， 中边上高为4，中边上高为6， ， ， ． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出，，，再运用相似三角形的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， 即 故B选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵与的大小关系不知道， ∴与不一定相等， 故C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D选项符合题意； 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，，，得到，可证，得到，计算即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点在正方形的边上， ∴，，，， ，， ， ， ， ， 故选：D ． 9．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及相似三角形的性质，本题要熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 本题通过平行四边形的性质可以得到且，进而得到，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，，通过面积的加减即可求得． 【详解】解：四边形是平行四边形， 且， ， ， ， ， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得， ， ，， 根据平行四边形的性质可得 故选：B． 10．B 【分析】通过构造正方形，利用正方形和等腰直角三角形的性质证明三角形相似、全等，确定点的运动轨迹（过且与夹角为的直线），再结合垂线段最短求的最小值． 【详解】解：取、的中点、，连接． ∵矩形中，，，点、是、的中点， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． ∴， ∴，即点在过且与夹角为的直线上运动． 当时，最小． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 最终的最小值为． 故选：B． 11． 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，掌握平行线截线段成比例的计算，正确列式是关键． 根据题意得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 12． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质．由平行四边形对角相等且平行得到，，则可证明，再证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 13．12 【分析】本题考查相似三角形的应用；构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比为定值．作于E，可得矩形，利用同一时刻物高与影长的比一定得到的长度，加上的长度即为旗杆的高度． 【详解】解：作于E， ∵于C，于B， ∴四边形为矩形， ∴， ∵同一时刻物高与影长比相等， ∴， 解得， ∴． 答：旗杆的高度为， 故答案为：12． 14．或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，设交直线于，如图，利用平移的性质得，则，利用相似三角形的性质可求出，然后进行讨论，当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设交直线于，线段所在的直线向上平移，与、所在直线分别相交于点、，如图， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 当点在线段上时，如上图， ∴， 即直线平移的距离为； 当点在线段的延长线上时，如图， ∴， 即直线平移的距离为； 综上所述，直线平移的距离为或， 故答案为：或． 15．或7.5 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、折叠的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，得出或，进而通过证明可分类进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴， 解得：或， ∴或， ∴当，时，根据勾股定理得： ； 当，时，同理可得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则有： 当时，则， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：若，则的长为或7.5； 故答案为或7.5． 16．见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键． 由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又，   ，         ， ， ． 17．6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案． 【详解】解： 过点作交于点，交于点，如图， ∵， ∴米，米，， ∴（米）， （米）， 根据题意，得， ∴， ∴，即，解得（米）， ∴米， ∴石碑与实验楼之间的距离为6米． 18．(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质： （1）根据矩形的判定定理解答即可； （2）证明，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ． ， ， 四边形为矩形． （2）解：，四边形为矩形， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 的周长为8， 的周长为16． 19．(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明，根据相似三角形的性质得到，据此可证明结论； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为12． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质， （1）根据平行四边形的性质得，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”得出答案； （2）先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）解：， . 四边形是平行四边形， ， . ， . . 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【详解】（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 22．(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解； （3）根据（1）可得，进而得出，根据是中点，得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，，， 平分， ， ， ∴， ∴； （2）解：是角平分线， ∴， ∵，，, ∴， 解得， 经检验：符合题意． （3）解：是角平分线，，， ∴， ∴， ， 是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．(1)见详解 (2)①见详解；② 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据旋转，推出进而得到，求出，即可得出结论； （2）①证明，得到，等量代换，即可得出结论； ②设，根据，得到，进而得到，求出，结合①，得到，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， 根据旋转可得， ∴， ， 又， ， ， ， ． （2）①证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：设， 由①得． ，即， ， 解得：或（舍去）， 即． 由①得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $