第10章 二元一次方程组 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练2025-2026学年七年级数学下册（苏科版）

第10章 二元一次方程组 思维导图 【类型一】二元一次方程的定义与解 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知方程的其中一个解为，则等于（   ） A． B． C． D． 3．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为______． 【类型二】二元一次方程组的定义与解 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 2．若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．方程的解是，则_______，_______． 【类型三】用含x(y)的代数式表示y(x)的形式 1．把方程写成用含的代数式表示的形式，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把方程变形，用含的式子来表示，则________；用含的式子来表示，则________． 【类型四】列二元一次方程组 1．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 2．某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 3．学校为了培养学生的阅读习惯，计划购买一批图书．已知购买50本文学书和80本科普书需要4800元，购买60本文学书和100本科普书需要5920元．设每本文学书元，每本科普书元，根据题意，可列二元一次方程组为___________． 【类型五】解二元一次方程组 1．解下列方程组： (1)， (2)， 2．请用指定的方法解下列方程组． (1)（代入消元法） (2)（加减消元法） 3．解方程组： (1) (2) (3) 【类型一】二元一次方程组的应用——古代问题 1．《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如图1，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则图2表示的方程是_________，这两个方程组成的方程组的解为_________． 3．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【类型二】二元一次方程组的应用——数字问题 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知代数式，当时，它的值为4；当时，它的值为，则________，________． 3．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【类型三】二元一次方程组的应用——年龄问题 1．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 2．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 3．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【类型四】二元一次方程组的应用——和差倍分问题 1．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书______本． 3．庐山云雾茶是江西十大名茶之一，今年春茶季，庐山市甲、乙两个生态茶园依托当地优越的生态条件，大力发展茶叶种植与加工．据茶园负责人介绍：甲茶园的种植面积比乙茶园多4亩，甲茶园每亩产鲜叶300千克，乙茶园每亩产鲜叶350千克，且甲茶园的鲜叶总产量比乙茶园少200千克． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两个茶园各自的种植面积． (2)甲、乙两茶园将鲜叶加工成干茶，甲茶园出茶率为（100千克鲜叶可制25千克干茶），干茶每千克的售价为800元，乙茶园出茶率为，干茶每千克的售价为750元．若甲、乙两个茶园生产的鲜叶全部制成干茶，求甲、乙两个茶园的干茶全部售出后的总销售额． 【类型五】二元一次方程组的应用——分配与收费问题 1．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 2．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 3．某市自来水收费实行阶梯水价，基本用水量为5立方米，超出5立方米的部分另收费．李芳说：“我家8月份用水10立方米，付水费25元．”王明说：“我家8月份用水14立方米，付水费37元．” (1)该市自来水的基本水价为每立方米多少元？超出5立方米的部分每立方米收费多少元？ (2)赵聪家8月份付水费43元，请计算他家该月用了多少立方米水． 【类型六】二元一次方程组的应用——工程与行程问题 1．小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 2．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 3．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 【类型一】二元一次方程组的解求参 1．已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x、y的二元一次方程组，则的值为______． 【类型二】二元一次方程组中的有、无解 1．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 3．已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为______； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为______． 【类型三】二元一次方程组中的看错问题 1．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两人都解方程组，甲看错a解得，乙看错b解得，则方程组正确的解是_________． 【类型四】二元一次方程组中的整数解 1．已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．若整数a使关于x、y的方程组的解为整数，且使方程是关于m的一元一次方程，则满足条件的所有a的值的和为（    ） A．9 B．8 C．7 D．5 3．已知关于x，y的方程组的解为整数，且关于y的多项式为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为_____ 【类型五】二元一次方程组中的新定义运算 1．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 2．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 3．对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【类型六】二元一次方程组中的整体代入 1．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的二元一次方程组的解是_____． 【类型七】二元一次方程组的应用——销售与方案问题 1．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 2．根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元 素材二 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 问题解决 (1)任务1：求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)任务2：某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 3．学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【类型八】二元一次方程组的应用——整体思想问题 1．数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的，分别看作一个整体，设，，则原方程组可化为，解此方程组得，代入，，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： (1)类比探究：已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为： (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． 2．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 3．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是 (1)上述解题方法体现的数学思想是______； A．整体思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请你直接写出方程组的解是______． 【类型九】二元一次方程组的应用——几何与角度问题 1．如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 2．如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒. (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2:3两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件. 3．若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“垂角”．例如： ，，，则与互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．    (1)已知一个角比它的“垂角”的少，求这个角的度数； (2)如图所示，，，是否存在射线，使得与互为“垂角”？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【类型十】二元一次方程组中的新定义应用 1．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”______； (2)二元一次方程的解又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出、的值； 2．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； 3．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 3．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）购买甲、乙两种笔记本共用50元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购买笔记本的方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 4．（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知关于，的二元一次方程组给出下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．都不正确 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）若是关于的二元一次方程，则应满足的条件是_____． 6．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）已知方程组，则的值为_________． 7．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）按要求解下列方程组． (1)； (2)． 9．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 10．（25-26七年级下·河南南阳·月考）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程或方程组解应用题． (1)周瑜寿数：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小，个位上的数字的倍正好等于这个两位数，求这个两位数； (2)官兵分布：一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请问官兵多少数？诗的意思是：现共有官兵和尺布．每位官分尺布，位士兵共分一尺布，恰好分完．问官和兵各有多少人？若设官有人，兵有人，由题意可列方程组为：________________，解此方程组可知官有________人，兵有________人． 1．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 2．（25-26九年级下·福建泉州·期中）二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）： 九百九十九文钱  甜果苦果买一千  甜果九个十一文 苦果七个四文钱  试问甜苦果几个  又问各该几个钱 若设买甜果x个，苦果y个，则下列关于x、y的方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 7．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知关于的方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的方程的解如表： 0 1 … 4 1 … 则关于的二元一次方程组的解是__________． 8．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）解方程组 (1) (2) 9．（25-26七年级下·河南新乡·期中）某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买盏甲种路灯和盏乙种路灯共需元，购买盏甲种路灯与盏乙种路灯共需元．求甲、乙两种路灯的单价． 10．（25-26九年级下·江西上饶·期中）某环保研究小组用模拟装置进行“厨余垃圾制肥”实验．用模拟装置处理厨余垃圾时，不同类有机肥质量型厨余垃圾的制肥率（制肥率）如表： 类别 原材料 制肥率 果蔬垃圾 菜叶、果皮、蒸馏水 餐厨垃圾 米饭、剩菜、蒸馏水 如果第一次实验分别制出果蔬有机肥和餐厨有机肥共18公斤；第二次实验分别制出果蔬有机肥和餐厨有机肥共42公斤，且所用的果蔬垃圾量是第一次的2倍，餐厨垃圾量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤果蔬垃圾和餐厨垃圾？ (2)受限于实验条件，实际制肥时的有机肥量约为模拟装置的．若果蔬垃圾中菜叶占，请问在实际场景中要想制出这两次实验得到的果蔬有机肥总量，需要准备多少公斤菜叶？ 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖南常德·期末）长沙某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋个特色传统文化课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了、、、、次，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知方程，用含的代数式表示，则______． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 7．（25-26八年级上·河南漯河·期末）若关于的方程组的解满足，则的值是___________． 8．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 10．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________； (2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值； (3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组 思维导图 【类型一】二元一次方程的定义与解 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的识别，解题关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，故选项符合题意； B、方程中的次数是2，不满足所有含未知数的项的次数都是1，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、方程中项的次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； D、方程含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2．已知方程的其中一个解为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程中，解方程即可得解． 【详解】解：方程的其中一个解为， ，解得． 3．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义得出且，解出即可． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， 且， 解得：． 【类型二】二元一次方程组的定义与解 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 2．若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 3．方程的解是，则_______，_______． 【答案】 1 0 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴ 解得． 【类型三】用含x(y)的代数式表示y(x)的形式 1．把方程写成用含的代数式表示的形式，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：把方程写成用含的代数式表示的形式：． 故选：B． 2．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：∵， ∴两边同乘3去分母，得， ∴移项，得， ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得，即． 故选：C． 3．把方程变形，用含的式子来表示，则________；用含的式子来表示，则________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用了等式的性质． 根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：把方程变形，用含的式子来表示，则； 用含的式子来表示，则． 故答案为：；． 【类型四】列二元一次方程组 1．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组得到答案． 【详解】解：设木长尺，绳长尺． ∵用绳子量长木，绳子还剩余尺， ∴绳长减去木长等于，即 ， ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺， ∴对折后的绳长等于木长减去，即 ， 因此可得方程组． 2．某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格记录，列出方程组即可. 【详解】解：设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克， 由题意，得. 3．学校为了培养学生的阅读习惯，计划购买一批图书．已知购买50本文学书和80本科普书需要4800元，购买60本文学书和100本科普书需要5920元．设每本文学书元，每本科普书元，根据题意，可列二元一次方程组为___________． 【答案】 【分析】根据总费用等于文学书总费用加科普书总费用，结合两次购买的数量和总花费，分别列出方程联立即可． 【详解】解：已知每本文学书元，每本科普书元．购买50本文学书的总费用为元，购买80本科普书的总费用为元，总花费为4800元，因此得方程． 购买60本文学书的总费用为元，购买100本科普书的总费用为元，总花费为5920元，因此得方程． 联立两个方程可得二元一次方程组． 【类型五】解二元一次方程组 1．解下列方程组： (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（）代入消元法解方程组即可； （）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得：， 解得： 把代入②，得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 原方程组可化为： 得：， 解得：； 把代入②，得：， 解得：； ∴方程组的解为：． 2．请用指定的方法解下列方程组． (1)（代入消元法） (2)（加减消元法） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：, 由②得，， 将③代入①得，, , 解得， 将 代入③得，， ∴原方程组的解为； （2）解：方程, ，得 ， 由得， 解得， 将代入①得，, 解得， ∴原方程组的解为． 3．解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可； （3）先将第一个方程去分母整理为整式方程，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解：， 把①代入②得， 整理得， 解得， 把代入①得， 原方程组的解是； （2）解： ， ①②得， 解得， 把代入②得， 解得， 原方程组的解是； （3）解：， ①得 ③， ②③得， 解得， 把代入②得， 解得， 原方程组的解是． 【类型一】二元一次方程组的应用——古代问题 1．《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系：人数物品价值；人数物品价值，列出方程组即可找出两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】∵设共有人，该物品售价为元，每人出8元时，总出的钱比物品售价多3元，即总出的钱减去多出来的3元等于物品售价， ∴， 又∵每人出7元时，总出的钱比物品售价少4元，即总出的钱加上少的4元等于物品售价， ∴， 因此可得方程组． 2．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如图1，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则图2表示的方程是_________，这两个方程组成的方程组的解为_________． 【答案】 【分析】先得到图二表示的方程，进而得到方程组求解即可． 【详解】解：∵从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项， ∴表示， ∴表示， ∴图2表示的方程是， 可得， 解得：． 3．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【答案】人数为7人，物价为53钱 【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 根据题意得， 解得， 答：人数为7人，物价为53钱． 【类型二】二元一次方程组的应用——数字问题 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 2．已知代数式，当时，它的值为4；当时，它的值为，则________，________． 【答案】 5 【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：． 3．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 【类型三】二元一次方程组的应用——年龄问题 1．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 2．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 3．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 【类型四】二元一次方程组的应用——和差倍分问题 1．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 2．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书______本． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有图书本，乙原有图书本，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设甲原有图书本，乙原有图书本， 根据题意得：， 解得：， 甲原有图书本， 故答案为：． 3．庐山云雾茶是江西十大名茶之一，今年春茶季，庐山市甲、乙两个生态茶园依托当地优越的生态条件，大力发展茶叶种植与加工．据茶园负责人介绍：甲茶园的种植面积比乙茶园多4亩，甲茶园每亩产鲜叶300千克，乙茶园每亩产鲜叶350千克，且甲茶园的鲜叶总产量比乙茶园少200千克． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两个茶园各自的种植面积． (2)甲、乙两茶园将鲜叶加工成干茶，甲茶园出茶率为（100千克鲜叶可制25千克干茶），干茶每千克的售价为800元，乙茶园出茶率为，干茶每千克的售价为750元．若甲、乙两个茶园生产的鲜叶全部制成干茶，求甲、乙两个茶园的干茶全部售出后的总销售额． 【答案】(1)甲茶园的种植面积为32亩，乙茶园的种植面积为28亩 (2)总销售额为3537000元 【分析】（1）设甲茶园的种植面积为x亩，乙茶园的种植面积为y亩，根据甲茶园的种植面积比乙茶园多4亩，且甲茶园的鲜叶总产量比乙茶园少200千克建立方程组求解即可； （2）分别求出两个茶园的销售额，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲茶园的种植面积为x亩，乙茶园的种植面积为y亩， 由题意得，， 解得， 答：甲茶园的种植面积为32亩，乙茶园的种植面积为28亩； （2）解： 元， 答：总销售额为3537000元． 【类型五】二元一次方程组的应用——分配与收费问题 1．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 2．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】(1)每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 (2)共三种租车方案，见解析，最省费用为12800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． （2）解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 3．某市自来水收费实行阶梯水价，基本用水量为5立方米，超出5立方米的部分另收费．李芳说：“我家8月份用水10立方米，付水费25元．”王明说：“我家8月份用水14立方米，付水费37元．” (1)该市自来水的基本水价为每立方米多少元？超出5立方米的部分每立方米收费多少元？ (2)赵聪家8月份付水费43元，请计算他家该月用了多少立方米水． 【答案】(1)该市自来水的基本水价为每立方米2元，超出5立方米的部分每立方米收费3元 (2)赵聪家该月用了16立方米水 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次方程的实际应用，理解题意并找到等量关系是解题的关键． （1）设该市自来水的基本水价为每立方米x元，超出5立方米的部分每立方米收费y元．根据：李芳家8月份用水10立方米，付水费25元；王明家8月份用水14立方米，付水费37元；列出二元一次方程组，解之即可； （2）设赵聪家该月用了a立方米水．根据：基本用水量的水费超过部分水量的水费，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设该市自来水的基本水价为每立方米x元，超出5立方米的部分每立方米收费y元． 由题意，得 解得； 答：该市自来水的基本水价为每立方米2元，超出5立方米的部分每立方米收费3元． （2）解：设赵聪家该月用了a立方米水． 由题意，得，解得． 答：赵聪家该月用了16立方米水． 【类型六】二元一次方程组的应用——工程与行程问题 1．小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 【答案】他骑车用了小时，推行用了小时 【分析】设他骑车用了小时，推行用了小时，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设他骑车用了小时，推行用了小时， 依题意得：， 解得：， 答：他骑车用了小时，推行用了小时． 2．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 3．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 【答案】(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335 (2)方程组为，7天 【分析】（1）利用工作总量=工作效率×工作时间，结合题意列出方程组，即可解决问题； （2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲、乙两队完成米公路的修建任务，列出关于、二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲队每天修建，乙队每天修建，一共用天完成， 则小红所列方程组为 ∴小红所列方程中表示甲队修建公路的天数，表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是，△处的数应是． 故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，，． （2）解：方程组为 解得 所以乙队修建了（天）． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系及小红所列的方程，找出小红所列方程中未知数，表示的意义；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【类型一】二元一次方程组的解求参 1．已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得 由②，得， 将③代入①，得， 解得， ∴， ∴． 2．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 3．已知关于x、y的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】2 【分析】将方程组中两个方程相减即可直接得到所求结果． 【详解】解： 得： 整理得：． 【类型二】二元一次方程组中的有、无解 1．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 2．若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A 3．已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为______； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为______． 【答案】 6 且 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握好解的意义与方程组无解的条件是解题关键． （1）由x与y互为相反数得，，代入第一个方程求出a的值； （2）根据二元一次方程组无解的条件，即两方程中的系数之比等于的系数之比，但不等于常数项之比，列出关系式求解． 【详解】解：（1）∵x与y互为相反数， ∴， 代入第一个方程得，， ∴； （2）， 当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例， 即， 由得，， 由得，， 解得， 故需要满足的条件为且。 故答案为：（1）6；（2）且． 【类型三】二元一次方程组中的看错问题 1．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 2．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入中求得b的值，再将代入中解得a的值即可． 【详解】解：将代入，得， 解得：； 将代入得， 解得：. 故选：D． 3．甲、乙两人都解方程组，甲看错a解得，乙看错b解得，则方程组正确的解是_________． 【答案】 【分析】根据甲看错则求得的解满足，乙看错了则求得的解满足，据此求出、的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可． 【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组时， 甲看错了方程①中的，解得， ∴，解得， ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴，解得， ∴原方程组为， 由①得：， 把③代入②得，解得， 将代入③得， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出、的值是解题的关键． 【类型四】二元一次方程组中的整数解 1．已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是利用①②，求出，列出关于m的不等式组解题即可． 【详解】解：， ①②得：，即， ∵， ∴， 解得， ∴整数m的值为2024， 故选C． 2．若整数a使关于x、y的方程组的解为整数，且使方程是关于m的一元一次方程，则满足条件的所有a的值的和为（    ） A．9 B．8 C．7 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的定义．先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，对于方程整理得，则题意得，进而计算可得答案． 【详解】解：对方程组， ，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即或1或3或4， 方程，整理得， 方程是关于m的一元一次方程， ∴， ∴， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：D． 3．已知关于x，y的方程组的解为整数，且关于y的多项式为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为_____ 【答案】7 【分析】本题主要考查解二元一次方程组、多项式等知识点，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 先解方程组，再根据其解是整数，确定a的可能值，再根据多项式的次数和项数，进一步求出a的值，然后求和即可． 【详解】解：得：， ∵关于x，y的方程组的解为整数且a为整数， ∴， ∴或4或1或3； ∵是二次三项式， ∴，即； ∴或4或3， ∴所有满足条件的整数a的和为． 故答案为：7． 【类型五】二元一次方程组中的新定义运算 1．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 2．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 3．对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于常数、的二元一次方程组，解方程组得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知条件得， 解得， 则． 【类型六】二元一次方程组中的整体代入 1．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程组转化为，结合题意得出，计算即可得出结果． 【详解】解：方程组转化为， ∵关于、的方程组的解是， ∴, ∴． 2．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程组解的定义，通过对已知方程组变形，对比待解方程组的对应项即可求出解． 【详解】解：∵ 方程组的解是， ∴ 将代入方程组得    ， 将方程组两边同时除以，整理得，对比待解方程组， 可得． 3．若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的二元一次方程组的解是_____． 【答案】 【分析】将待求解方程组变形，利用同结构方程组的解的对应关系，得到关于新方程组未知数的关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 解得． 【类型七】二元一次方程组的应用——销售与方案问题 1．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据两款汽车总花费为400万，列出二元一次方程，求出二元一次方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 2．根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元 素材二 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 问题解决 (1)任务1：求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)任务2：某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【答案】(1)3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个 (2)选择促销方案①更合适，理由见解析 【分析】（1）设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个，根据“3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元”建立二元一次方程组求解即可； （2）分别计算两个方案的费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个． 根据题意得， 解得． 答：3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个； （2）解：选择促销方案①所需费用为（元）； 选择促销方案②所需费用为（（元）， 因为，所以选择促销方案①更合适． 3．学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元 (2)为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台 【分析】（1）设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元，根据购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元建立方程组求解即可； （2）设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台，根据购买费用为1000元列出方程，求出对应方程的非负整数解，再求出每组解对应的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元； （2）解：设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴是不大于10的整数， ∴n要是偶数， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， ∵， ∴当，时，利润最大， 答：为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台． 【类型八】二元一次方程组的应用——整体思想问题 1．数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的，分别看作一个整体，设，，则原方程组可化为，解此方程组得，代入，，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： (1)类比探究：已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为： (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，，则方程组化为：， 由已知，得， 则有， 解得：； （2）设，， 则原方程组可化为， 解得：， 即有 解得， 原方程组的解为； 另解，设，， 则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 原方程组的解为． 2．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组： （1）把变形为，再用整体代换的方法解题； （2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决． 【详解】（1）解： ， 把②变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①得， 即方程组的解为； （2）解： 把①变形为③， 把②代入③可得，， 解得． 3．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是 (1)上述解题方法体现的数学思想是______； A．整体思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请你直接写出方程组的解是______． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，读懂题意，根据题中方法，利用加减消元法求解即可得到答案． （1）根据材料中解法，即可得到答案； （2）利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案； （3）利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，采用的是整体思想， 故选：A； （2）解：， 由②①，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是； （3）解：， 由②①，得③， ③，得④， ②④得，解得． 从而可得， ∴原方程组的解是． 【类型九】二元一次方程组的应用——几何与角度问题 1．如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【答案】一张长方形纸片的长为，宽为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解． 【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为， 由题意得 解得 答：一张长方形纸片的长为，宽为． 2．如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒. (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2:3两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件. 【答案】(1) (2)2秒或4秒 (3)或 【分析】（1）根据即可求出； （2）分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2:3两部分”列出方程，解方程即可求解； （3）分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解． 【详解】（1）解：当点在边上运动时，，， ； （2）解：当点在边上运动时，， 即， ； 当点在边上运动时，， 即， ； 秒或4秒时，直线把长方形的周长分成两部分． （3）解：当点在边上时， ， 整理得， ，故不成立； 当点在边上时， 由， 得； 当点在边上时， 由， 得； 综上，，之间的关系式为或． 【点睛】本题为动点问题，考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，理解题意，注意分类讨论是解题关键． 3．若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“垂角”．例如： ，，，则与互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．    (1)已知一个角比它的“垂角”的少，求这个角的度数； (2)如图所示，，，是否存在射线，使得与互为“垂角”？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据“垂角”定义和给定的关系列方程组解答即可； （2）分两种情况，利用“垂角”定义，再根据图形和已知条件中与和的关系列方程组解答即可． 【详解】（1）设这个角为，它的垂角为， 根据题意，得， 解得：， 故这个角的度数为； （2）的度数为：或或， 理由如下：分两种情况： 在的内部时，   ， 解得或， ∴或； ②在外部时，   ， 解得或， ∴或（舍去）， 故的度数为：或或． 【点睛】题目主要考查角的计算及二元一次方程组的应用，理解题意，作出图形，根据图形列出方程组是解题关键． 【类型十】二元一次方程组中的新定义应用 1．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”______； (2)二元一次方程的解又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出、的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了新定义、解二元一次方程组等知识点，理解“反对称二元一次方程”的定义成为解题的关键． （1）根据“反对称二元一次方程”的定义即可解答； （2）先根据“反对称二元一次方程”的定义求得二元一次方程的得反对称二元一次方程，得到二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为． 由题意可得： 故答案为：． （2）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 由题意可得：，解得：． 所以，． 2．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可；联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， ②①得， 将代入①得， 解得： 方程组的解为： （2）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为，解得， ∴把代入可得，即，， ∴． 3．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③/③② (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； 【详解】（1）解：①， 解得， 此时， 不是“郡一”方程组； ②， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； ③， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； 故答案为：②③； （2）， ①，得③， ②-③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， 关于的方程组是“郡一”方程组， ， 即， 解得或； （3）若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组， 则， 联立得：， 解得或， 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 综上所述，的值为或． 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要消去未知数，需使两个方程中的系数相等或互为相反数，再通过加减运算消去． 【详解】解：∵方程①中的系数为，方程②中的系数为， ∴将②后，②中的系数变为，与①中的系数相等， ∴用①减去②，即可消去未知数，对应操作就是． 观察四个选项，选项D符合题意． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 【答案】A 【详解】解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 3．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）购买甲、乙两种笔记本共用50元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购买笔记本的方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【分析】设甲、乙两种笔记本的购买数量，根据总费用列出二元一次方程，结合x、y为正整数，且甲数量是乙的整数倍，利用整除性确定符合条件的方案数． 【详解】解：设购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 根据题意得 ， 整理得 ，变形得 ， ∵、均为正整数， ∴， ∴， 又∵为偶数，是奇数， ∴为奇数，的可能取值为， ∵甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，即为正整数， 分别验证： 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； ∴符合条件的方案共种． 4．（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知关于，的二元一次方程组给出下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．都不正确 【答案】C 【分析】先解方程组得到解为，，然后逐一验证两个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； ∴①②都正确． 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）若是关于的二元一次方程，则应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此判断的系数不能为0，即可得到满足的条件． 【详解】解：方程是关于、的二元一次方程， ． 6．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）已知方程组，则的值为_________． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，解题的关键在于运用整体思想简化运算，无需单独解出x、y的具体值．通过将方程组两式相加，直接凑出目标式的整体值，再代入即可求解． 【详解】解： 将，得 两边同时除以，得 ， ． 7．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】根据题意易得关于的二元一次方程组的解满足，进行求解即可. 【详解】解：由题意，关于的二元一次方程组的解满足， 解得. 8．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）按要求解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把②代入①得， 解得， 把代入②得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为 9．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 10．（25-26七年级下·河南南阳·月考）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程或方程组解应用题． (1)周瑜寿数：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小，个位上的数字的倍正好等于这个两位数，求这个两位数； (2)官兵分布：一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请问官兵多少数？诗的意思是：现共有官兵和尺布．每位官分尺布，位士兵共分一尺布，恰好分完．问官和兵各有多少人？若设官有人，兵有人，由题意可列方程组为：________________，解此方程组可知官有________人，兵有________人． 【答案】(1) (2) ；； 【分析】（1）设这个两位数十位上的数字是，个位上的数字是，列二元一次方程组解题即可； （2）设官有人，兵有人，列方程组求解即可. 【详解】（1）解：设这个两位数十位上的数字是，个位上的数字是， 根据题意得： 解得： 答：这个两位数是. （2）解：设官有人，兵有人， 由题意得：， 解得：， 即：官有人，兵有人． 1．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 【答案】D 【分析】把x、y的值代入，得出关于m、n的方程组，即可求解． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴ ，得， ∴ 2．（25-26九年级下·福建泉州·期中）二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）： 九百九十九文钱  甜果苦果买一千  甜果九个十一文 苦果七个四文钱  试问甜苦果几个  又问各该几个钱 若设买甜果x个，苦果y个，则下列关于x、y的方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找准两个等量关系即可正确列出方程组． 【详解】解：∵甜果苦果一共买一千个，设甜果个，苦果个， ∴； ∵甜果九个共十一文，因此单个甜果的价格为文，苦果七个共四文钱，因此单个苦果的价格为文， 又∵购买两种果实总共花费九百九十九文钱， ∴ ； 联立得到方程组，因此符合题意的是选项C． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组及解的概念，可通过加减消元法求解二元一次方程组，消去y后求x，再代入求y． 【详解】解：∵方程组为， 将两方程相加，得， 解得 将代入，得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合建立关于的方程． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含与的等式，再代入求解． 【详解】解：已知方程组， 将两方程相加，得：， 整理得：， 两边同时除以5，得：． 又因为，所以， 解得． 故选：B． 5．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：， 解得， ． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 【答案】 【分析】将两个方程相减可得，再根据可得答案． 【详解】解：， ，得． ∵， ∴， 解得． 7．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知关于的方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的方程的解如表： 0 1 … 4 1 … 则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】，先根据表格得到方程组的解为，再将待解二元一次方程组整理变形，对应得到关于的方程组，求解即可． 【详解】解：由表格数据可得方程组的公共解为， 将关于的二元一次方程组整理， 第一个方程移项得，两边除以3得， 第二个方程整理得，两边除以3得， 因此可得， 整理得， 两式相加得，解得， 将代入，得， 即原方程组的解为． 8．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先将原方程变形，再利用加减消元法求解即可； 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入②得， 解得    ， 所以方程组的解为； （2）解： ①式去分母得， 得， 得 得， 解得， 将代入得， 解得， 所以方程组的解为． 9．（25-26七年级下·河南新乡·期中）某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买盏甲种路灯和盏乙种路灯共需元，购买盏甲种路灯与盏乙种路灯共需元．求甲、乙两种路灯的单价． 【答案】甲种路灯的单价为元，乙种路灯的单价为元 【分析】设甲种路灯的单价为元，乙种路灯的单价为元，列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲种路灯的单价为元，乙种路灯的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种路灯的单价为元，乙种路灯的单价为元． 10．（25-26九年级下·江西上饶·期中）某环保研究小组用模拟装置进行“厨余垃圾制肥”实验．用模拟装置处理厨余垃圾时，不同类有机肥质量型厨余垃圾的制肥率（制肥率）如表： 类别 原材料 制肥率 果蔬垃圾 菜叶、果皮、蒸馏水 餐厨垃圾 米饭、剩菜、蒸馏水 如果第一次实验分别制出果蔬有机肥和餐厨有机肥共18公斤；第二次实验分别制出果蔬有机肥和餐厨有机肥共42公斤，且所用的果蔬垃圾量是第一次的2倍，餐厨垃圾量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤果蔬垃圾和餐厨垃圾？ (2)受限于实验条件，实际制肥时的有机肥量约为模拟装置的．若果蔬垃圾中菜叶占，请问在实际场景中要想制出这两次实验得到的果蔬有机肥总量，需要准备多少公斤菜叶？ 【答案】(1)第一次实验用了30公斤果蔬垃圾，20公斤餐厨垃圾． (2)40公斤 【分析】（1）设第一次实验用了x公斤果蔬垃圾，y公斤餐厨垃圾，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题． （2）根据题意先算出两次制出的果蔬有机肥总量，再设需要准备m公斤菜叶，结合实际制肥时的有机肥量约为模拟装置的．若果蔬垃圾中菜叶占，建立方程求解，即可解题． 熟练掌握二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，并审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设第一次实验用了x公斤果蔬垃圾，y公斤餐厨垃圾． 根据题意，得， 解得． 答：第一次实验用了30公斤果蔬垃圾，20公斤餐厨垃圾． （2）解：第一次果蔬有机肥：（公斤）， 第二次果蔬有机肥：（公斤）， 总量为（公斤）． 设需要准备m公斤菜叶， 根据题意，得， 解得． 答：需要准备40公斤菜叶． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知解代入方程得，再将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：已知是二元一次方程的一组解， 则， ∴ ． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】设可以分成个人组，个人组，根据总人数为，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出分组方案有种． 【详解】解：设可以分成个人组，个人组，根据题意得： ， ， 又，均为非负整数， 或或或， 分组方案有种． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找准等量关系是解题的关键． 由等量关系“每人出7钱时总出钱数比物价多2钱”和“每人出6钱时物价比总出钱数多3钱”列出方程组即可． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， 由每人出7钱，会多2钱，即； 每人出6钱，又会差3钱，即． 所以可列方程组为． 故选D． 4．（25-26七年级上·湖南常德·期末）长沙某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋个特色传统文化课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了、、、、次，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．通过两种角度计算选课总次数建立等式，结合、的取值范围确定其值，进而求出的值即可． 【详解】解：按同学选课数统计总次数为， 按课程被选次数统计总次数为， 又两种统计方式的总次数相等， ，即， 单门课程最多被位同学各选次，故， ，得， 又每位同学至少选门课程，故， ，代入得， ， 故选：． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【分析】通过移项即可得出含的代数式表示． 【详解】解：， 移项得． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 【答案】 4 【分析】先解方程组，再由关于x，y的方程组与有相同的解得到x，y的值，将x，y的值代入通过解二元一次方程组求得a，b的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴关于x，y的方程组的解也是， ∴，解得． 7．（25-26八年级上·河南漯河·期末）若关于的方程组的解满足，则的值是___________． 【答案】 【分析】先由加减消元法解二元一次方程组，得到，代入确定，最后利用幂的运算法则化简后，将代入计算结果即可． 【详解】解： 由①②得； 将代入，得； ， ， 则， ． 8．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 (2) (3)一摞碗的高度不能为，理由见解答 【分析】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【详解】（1）解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； （2）解：根据题意得：； （3）解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 10．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________； (2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值； (3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入求出k的值即可； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $