专题05 几何综合题常见模型（培优专练，趋势领航+5考点突破+压轴提速）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05几何综合题常见模型 ☑趋势领航练 ☑考点突破练 考点01一线三等角模型 考点02 手拉手模型 考点03 对角互补模型 考点04 角含半角模型 考点05十字架模型 ☑压轴提速练 ◆趋势领航练 ●【新情境问题】(2025四川德阳.中考真题)在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园 ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF,要修建两条直路AF、BE,AF与 BE相交于点O(两个门E、F的大小忽略不计)， (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由： (2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形0BCF地上再修一条2.5米长的 直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在己经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与 点B处的距离不少于15米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由。 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=DC,∠BAE=∠ADF=90°， DE=CF, .AE=DF, :△BAE≌△ADF(SAS, .BE=AF,∠DAF=∠ABE, 又：∠ABE+∠AEB=90°， ∠DAF+∠AEB=90°， .∠A0E=90°， AF⊥BE, .这两条路4AF与BE等长，且它们相互垂直； ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：能修建一条这样的直路，理由如下： 由(1)得AE=DF,BE=AF, AE=3米，AD=4米， DF=3米，DC=4米，FC=1米， .AF2=AD2+DF2=42+32=25, AF=5, BE=5, :在RIAABE中有S4e=)BE40=号ABAE, 2 2 5A0=4×3, 0号， ÷0F=AF-A0=5-12_13 55 ①如果另一端点P在路段OB上， 则在RA0PF中，PF>OF=13>25. 5 ∴此种情况不成立； ②如果另一端点P在花园边界BC上时， 设PC=x,则在Rt△PFC中，有PF2=PC2+FC2=x2+1=(2.5, xst 2 PC=21 2 :BP=BC-PC=4-21,4-25-15, 2 2 “能修建成这样的一条直路。 ●【新考法问题】(2025甘肃兰州中考真题)【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正 方形ABCD与正方形BEFG(AB>BE),点E,G分别在AB,BC上，根据图形提出问题：如图2，正方 形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为a(0°<a<180),直线AE与CG相交于点H,连接BH,探究线段 AH,BH,CH之间的数量关系. 【解决问题】(1)小明将上述问题特殊化，如图3，当点G,H重合时，请你写出AH,BH,CH之间的 数量关系，并说明理由； ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)小明借鉴(1)中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G,H不重合时，请你 写出AH,BH,CH之间的数量关系，并说明理由： 【拓展问题】(3)小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋 转角为a180°<a<360),直线AE与CG相交于点H,连接BH,请直接写出AH,BH,CH之间的数量 关系 图1 图2 图3 【详解】解：(1)AH=CH+√2BH,理由如下， 如图，当点G,H重合时， :正方形ABCD与正方形BEFG, AB=BC,BE=BH,∠ABC=90°，∠EBH=90°， .EH=V2BH,∠ABE=90°-∠EBC=∠CBG, ·△ABE≌aCBG(SAS), .AE CG, AH=AE+EH CH+2BH (2)AH=CH+√2BH,理由如下， 由(1)得△ABE≌△CBG(SAS, .∠1=∠2， 在AE上截取AM=CH, D E M ∠1=∠2，AB=BC, △MAB≌△HCB(SAS), ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠3=∠4，BM=BH, :∠5=90°-∠4-∠EBC,∠6=90°-∠3-∠EBC, .∠5=∠6， .∠MBH=∠6+∠EBC+∠4=∠5+∠EBC+∠4=∠EBG=90°， ·△MBH是等腰直角三角形， MH=√2BH, AH =AM+MH, AH=CH+√2BH: (3)CH=AH+√2BH,理由如下， 由(1)得△ABE≌aCBG(SAS), .AE=CG,∠1=∠2， 在CG上截取CM=AH, B G :∠1=∠2，BC=AB, .△ABH≌△CBM(SAS), .BH=BM,∠3=∠4， 同理，△MBH是等腰直角三角形， ·MH=√2BH, CH CM +MH, :CH=AH+2BH. 》考点突破练利 ◆考点01一线三等角模型 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.（2025江苏镇江中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在反比例函数y=-2和 y=(k>0)的图像上，点A的横坐标为-1，点B的横坐标为nn>3),点C的坐标为3,0)，AC1BC, AC=2BC. 1)求点A、B的坐标和反比例函数y=(k>0)的表达式： 2点D、E分别在反比例函数y=《(k>0)和y=-2的图像上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形， 则点D、E的坐标分别为一、一· 【详解】(1)解：：点A的横坐标为-1，且点A在反比例函数y=-2的图象上，代入得： 子 A-1,2, 作AF⊥x轴，BN⊥x轴，如图， :AC⊥BC, .∠ACB=90°， ∠ACF+∠BCN=90°， :∠CBN+∠BCN=90°， :ZACF ZCBN, :∠AFC=∠BNC=90°， △AFC~△CNB, AC=2BC, BN CN 1 FC AF2 :A-1,2),点C的坐标为(3,0)， BN CN 1 4221 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BN=2,CN=1, .0N=0C+CN=4, B4,2), :B4,2)在反比例函数y=(k>0)的图像上，代入得： k=2×4=8, “反比例函数解析式为y=8。 n (2)解：：D、E分别在反比例函数y-8和y=2的图像上， X 版》a引 :A-1,2),B4,2, AB∥x轴，且AB=5, :D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形， AB∥DE,且DE=AB,如图， ·DEIx轴，且DE=5, 1a-b=5① ÷82@ La b 由②得：a=-4b, 代入①得：-4b-b=5 解得：b=1,b2=-1（舍)， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则a=-4, D(-4,-2),E1,-2 故答案为：D(-4,-2),E(1,-2) 2. (2026陕西榆林模拟预测)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且 ∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线 三等角“模型. 应用： D A D B E 图1 图2 图3 (1)如图2，AB⊥BC,EC⊥BC,点D在BC上，∠ADE=90°.求证：△ABD∽△DCE; (2)如图3，在▣ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.若∠DEF=∠B,AB=10,BE=6, 小明想到在BC的延长线上取点M,使DM=DC,连接DM,请你延续小明的想法求EF 的值. DE 【详解】(1)证明：：AB⊥BC,EC⊥BC, LB=LC=90°， :∠A+LBDA=90°， ∠ADE=90°， ∴.∠BDA+∠CDE=90°， ∠A=∠CDE, △ABD∽△DCE; (2)解：如图，在BC的延长线上取点M,使DM=DC,连接DM, D ∠DCM=∠M, B M :四边形ABCD是平行四边形， .DC=AB=10,AB∥CD, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠B=∠DCM,DM=10, ·∠B=∠M, :∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+LBFE,∠DEF=∠B, :ZDEC ZBFE, .△BFE∽△MED, EF BE 6 3 DE DM 105 3.(2025青海西宁.一模)阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推 理的典例，已知A,E,B三点共线，且∠A=∠DEC=∠B的情况就称之为”一线三等角”；让我们一起来探究它 具有哪些几何图形的性质呢？ D (1) (2) (3) (1)【特例探究】如图，已知A,E,B三点在同一条直线上，∠A=∠B=∠DEC=90,求证： RtAADE∽RtABEC (2)【规律总结】如果∠A=∠B=∠DEC,你还能证明这两个三角形相似吗？求证：△ADE∽△BEC (3)【实例应用】如果∠A=∠B=∠DEC,若点E是AB的中点，求证：DE2=AD·DC 【详解】(1)证明：：∠A=∠B=∠DEC=90°， ∴∠DEA+∠CEB=90°， ∠DEA+∠D=90°， ∴.∠D=∠CEB, ∴.Rt△ADE∽RtABEC; (2):∠A=∠B=∠DEC,LDEB=LA+LD=LDEC+LCEB, ∴∠D=∠CEB, ∴△ADEn△BEC. (3):∠A=∠B=∠DEC,LDEB=LA+∠ADE=∠DEC+∠CEB, ∴.∠ADE=∠CEB, △ADEn△BEC. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE AD AE EC BE BC 点E是AB的中点， .AE BE, DE AD EC AE' :∠A=∠DEC, ∴AAED∽△ECD, DE CD AD DE :.DE2 AD.DC. 4.(2025江西模拟预测)如图，将反比例函数y=←(x>0)的图象沿直线y=3向下翻折，翻折后的图象 与x轴交于点A,点B在该反比例函数图象上，以AB为边在AB上方作正方形ABCD,点D恰好落在y轴 上，己知点B的纵坐标为2，AB=2√5. 3 (1)求k的值. (2)设边CD与反比例函数y=(x>0)的图象的交点为E,求点E的坐标. 【详解】(1)解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M,则BM=2. 又 AB=25, AM-VAB-BM-(25)-2:-4. 设0A=m,则点A关于直线y=3对称的点的坐标为(m,6,点B的坐标为m+4,2), 又点A关于直线y=3对称的点和点B都在反比例函数上， .6m=2m+4),解得m=2, k=6×2=12. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OA 材衣 (2)由(1)知0A=2, 在正方形ABCD中，∠ADC=90°，AD=AB=2√5， 又∠A0D=90° OD=VAD2-OA=4(点拨：也可通过证△AMB三△D0A，,求OD的值). 如图，过点E作EN⊥y轴于点N,则∠END=90°. :∠D0A=∠ADC=90°， .∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， ∠2=∠3. 又∠END=∠D0A=90°， :aEND~aDOA（提示：”一线三直角“相似模型)， ND _OA=1 NE OD 2 设ND=n,则NE=2n,ON=ND+0D=n+4, 2n(n+4)=12(点拨：根据k的几何意义建立方程)， 解得n1=V10-2,m2=-V10-2(舍去)， :点E的坐标为2V10-4,10+2) 5.(2025山东济南一模)（一）模型呈现(1)如图1，点A在直线1上，LBAD=90°，AB=AD,过点B 作BC1I于点C,过点D作DE⊥1于点E,由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D,又 ∠ACB=∠DEA=90°，可以推理得到△ABC≌DAE,进而得到AC=_,BC=_一·我们把这个数 学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (二)模型体验(2)如图2，在ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3,LA=LEDF=LB,四边形 CEDF的周长为10，ABC的周长为18，小诚同学发现根据模型可以推理得到aADE≌△BFD,进而得到 AE=BD,AD=BF,那么AB=AE+BF,再根据题目中周长信息就可得AB= (三)模型拓展(3)如图3，在ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点 D,BE⊥MN于点E,请猜想线段DE,AD,BE之间的数量关系，并写出证明过程： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (四)模型应用(4)如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14,BC=7,点E在CD边上，且DE=4.P是对 角线4C上一动点，Q是边4D上一动点，且满足sn∠EPQ-号5，当P在4C上运动时，诗求线段40的 最大值，并求出此时线段AP的长度， 图1 图2 图3 图4 【详解】（一）解：：△ABC兰△DAE, .AC=DE,BC=AE, 故答案为：DE,AE (二)解：：四边形CEDF的周长为10，DE=DF=3, :.CE+CF+DE+DF=10, :CE+CF=4, :ABC的周长为18，AB=AE+BF, :AB+AE +BF CE+CF =18, .2AB+4=18, AB=7, 故答案为：7； （三)解：DE=2BE-AD:理由如下， 2 :∠ACB=90°， ∠ACD+∠BCD=90°， :BE⊥MN, .LBEC=90°， ∠BCE+LCBE=90°， .∠ACD=∠CBE, :AD⊥MN, ∠CDA=90°， .∠CDA=∠BEC=90°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ACDA∽△BEC, AD CD AC CE BE BC :AC=2BC, ∴.AD=2CE,CD=2BE, DE-CD-CE-28E-4D (四)解：在AC上找一点F使∠EFP=∠DAC,延长FE交AD的延长线于点G,过点G作AC的垂线，垂 足为M,过点F作AD的垂线，垂足为N. ON D G :在矩形ABCD中，AB=14,BC=7, .AB=CD=14,AB∥CD,∠B=90° ∠BAC=∠DCA,AC=VAB2+BC2=7V5, .sin DAC= DC AB 25 AC AC 5 中mZE033 .∠EFP=∠DAC=∠EPQ, ∠QPF=∠QPE+∠EPF=∠DAC+∠AQP,∠QPE=∠DAC, .∠EPF=∠AQP, ∴△AQP∽△FPE,AG=GF, △GAF为等腰三角形， :AM MF, 设AM=MF=a,则AF=2a, :sin∠DAC= 2V5 5 cos∠DAc=5 ,tan∠D4C=2, MG tan ZDACCAM 2a,AG=FG=-AM e0s2DAC=5a FN-AF in LDAC= 5, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4N=AFos∠D4C=25 , GN=GA-Aw=V5a-25。-35 5 as :tan∠DGE=tan∠NGF, 45 DE FN 5 -a4 DG GN 3V5 3’ -a 5 DE=4, DG=3,EG=5, .AG=GF=10, .EF=10-5=5, MG=sim 2DACHAG=25x1045. :AM=AG2-MG2=25, :AM=MF=IAF=215,AF=45. 2 设AQ=y,AP=x, △AQPn△FPE, AQ AP PF EF' y -sx 4V5-x5’ 即45-2+45 5 一5<0，对称轴为直线x=25, 当x=2V5时，ymax=4, 即当AP=2V5时，40max=4. ◆考点02手拉手模型 1.(2025·四川中考真题)Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°， BC CEa AC CD b 【初步感知】 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，若=1，连接AD,BE,则AD与BE之间的数量关系是一，位置关系是一； (直接写出 结论，不写推理过程) 图1 【深入探究】 (2)如图2，若≠1，将aCDE绕点C旋转，设直线BE与AC交于点M,与AD交于点N,试确定AD与 6 BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由： M C 图2 【迁移应用】 ③)如图3，当点D在R△ABC内部，且LACD=LABC时，若名，BC75CE=35,连接D,BD ,作CF⊥BE于点F,交AD于点G,求FG的长. 图3 【详解】(1)解：如图， =1, b 图1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BC=AC,CE=CD, 又∠ACB=∠DCE=90°， ·.∠ACB+LACE=∠DCE+LACE, 即∠BCE=∠ACD, 在△BCE和△ACD中， BC=AC ∠BCE=∠ACD, CE=CD :△BCE≌△ACD(SAS), AD=BE,∠CBE=∠CAD, 设BE与AC交于点O, :∠B0C=∠AOE,LB0C+∠CB0=90°， .∠CAD+∠AOE=90°， ∠1=90°， AD⊥BE, 故答案为：AD=BE,AD⊥BE; (2)解：数量关系：%-号位置关系：40上BE 理由如下：LACB=∠DCE=90°， :LACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即LBCE=∠ACD, 又：BC-CE-a AC CD b ·△BCE∽△ACD, BE =BC =a, ADAc6,∠CBE=LCAD, :∠BMC=∠AMN,∠CBE+∠BMC=90°， :∠CAD+∠AMN=90°， 则∠ANM=90°， 即AD⊥BE; 9C-品-8号0=15c8=3s ÷AC=10,CD=4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过点A作CD平行线交CG延长线于点H,则∠1=∠H,过点E作BC延长线的垂线，垂足为点J, H B :CF⊥BE,∠DCE=90°， ∠1=∠2=90°-∠FCE, .∠2=∠H, :CF⊥BE,∠ACB=90°， .∠3=∠4=90°-∠5， .△BCE∽△CAH, BC CE BE 3 CA AH CH 4' CE=3.5, ·AH=4 .AH CD, :∠AGH=∠DGC,∠1=∠H, △AGH≌△DGC(AAS), :CG=GH=1CH, :∠DCE=90,LACJ=180°-∠ACB=90°， .∠ACD=∠ECJ=90°-∠ACE, :∠ACD=∠ABC, .∠ECJ=LABC, tan∠ECJ=tan∠ABC, EJAC b 4 C可BC-a3' ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设EJ=4x,CJ=3x, 则在Rt△ECJ中，由勾股定理得EC=5x=3.5, x=7 01 5C=21 EI= 10 BW=BC+C=7.5+21_48 1051 .BE=BJ2+JE2=10, ExCF 2 4 CF=BCxEJ 7.5x 5=21, BE 1010 BE 3 CH4 ÷CH=40 ..CG= 3 FG=CG-CF=20_21_137 31030 2.（2025江苏无锡三模)同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获.我在模型上加以创新，你快 来试试，我相信这一定难不倒你们！ 【I.“手拉手”模型】 如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D是射线BC上的动点（不与点B,C重合），连接AD,过 点D在AD左侧作DE⊥AD,使AD=kDE,连接AE,点F,G分别是AE,BD的中点，连接DF,FG,BE. BG D 图1 图2 A 图3 (1)如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当a=90°，k=1时，AB与BE的位置关系是-， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 FG CD 、· (2)如图2，点D在线段BC上，当a=60°，k=√5时，求证：BC+CD=2√3FG. 【Ⅱ."黄金三角形"】 (3)如图3，点C将线段AB分成两部分，较长线段为AC,如果4C=BC BC,这个比值叫黄金比，称点C 为线段AB的黄金分割点.在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x,请你利用定 义求出黄金比. (4)进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比. 满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为2·请你利用所学知识，选 择其中一种并画出图形，求sina的值. 【详解】解：(1)连接BF并延长交AC于R, E :AB=AC,∠BAC=90°， ∴∠ABC=LC=45°， 同理：∠AED=45°， ∠AED=∠ABD, A,B,E,D,四点共圆， .∠ABE+∠ADE=180°， :∠ADE=90°， LABE=90°， AB与BE垂直； :F是AE的中点， FDF-E.AFEF :G是BD的中点， FG⊥BC, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ABE+∠BAC=180°， BE∥AC, ∠EAR=∠FEB, 又AF=EF,∠BFE=∠AFR, ·△AFR≌△EFB, BF =RF, FG∥DR,FG=DR, 2 RD⊥BC, :∠C=45°， .CD=RD, FG-CD, FG 1 CD2 故答案为：垂直，： (2)作AO⊥BC于Q,作EH⊥CB,交CB的延长线于点H,连接BF,连接EQ交FG于点M, E :AB=AC,∠BAC=60°， ABC为等边三角形， LABC=∠C=60°，BC=2CQ, :LADE=90°，tan∠AED=D-5 DE .∠AED=60°， A,B,E,D,四点共圆， ∠ABE=LADE=90°， :F是AE的中点， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 BF DF E.AF=EF, :G是BD的中点， FG⊥BC, .EH∥FG∥AQ, HG EF =1, OG AF ∴.HG=QG, 同理：EM=QM, :Fw-号40，cM=H, :EH+AO=2FM+2GM =2FG, √5EH+√5A0=2V5FG, :∠H=90°，∠EBH=180°-∠ABE-∠ABC=30°， :BH= EH EH tan∠EBH tan30° =√5EH, HG=OG,BG=DG, :DO=BH =3EH :∠AQC=90°，∠C=60°， “c0=0=4g-5 A0, tan∠Ctan60°3 ·D0+3CQ=23FG, ∴(D0+CQ)+2CQ=23FG, BC+CD=23FG; (3)如图(3)，设AB=1,AC=x,则BC=AB-AC=1-x, :AC、BC AB AC 即AC=AB.BC, x2=1x1-x, 解得：=5-1或x=5-1(负值不符合题意，舍去)， 2 2 4C51 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 √5-1 :AC =2」 5-1, AB 1 2 黄金比为V5- (4)①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时： 如图，在ABC,CA=CB,底边4B与腰AC的长度之比为5-，∠ACB=2a, 2 过点C作CD⊥AB于点D, D B ∠4CD=4C8×2a=a,AB=2a0,e-5 AC 2 在Rt△ACD中， sina=sin LACD=AD2 15-1-5-1, AC AC2 2 4 ÷sina的值为5-l 4 ②当等腰三角形的腰与底的比等于黄金比时： 如图，在ABC,C4=CB,腰AC与底边AB的长度之比为5-1，∠ACB=2a, 2 过点C作CD⊥AB于点D, D B ÷∠ACD=∠ACB=x2a=a,AB=2AD,4C-5-l 1 AB 2 在Rt△ACD中， AB sina=sin∠AcD=D-2 121-5+1, Ac=AC=25-5-4 sina的值为5+l 4 3.(2025·吉林长春.二模)【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 角相等且共用顶角顶点的等腰三角形.通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉 手全等模型， 如图①， ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接BD,CE, 请找出图中的一对全等三角形： 图① 【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在ABC中，∠ABC=60°，BC=4, AB=5,以点A为顶点，以AC为腰作等腰三角形DAC,若∠DAC=120° 求BD的长. 图② 某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出 线段BD长度.以下是这个学习小组解题的部分过程： 如图③，过点A在AB左侧作∠BAE=120°，且满足AE=AB,连接EC、EB, 则∠EAB=∠DAC,所以∠CAE=∠DAB. 又：AC=AD ∴△ACE≌△ADB .EC=BD 过点A作AF⊥BE于点F. 又AE=AB :EF =BF .∠FAB=∠FAE=60° .∠FBA=30 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图③ 请将上述过程补充完整， 【模型应用】如图④，ABC中，cos∠CAB= ,分别以AB和BC为直角边作等腰直角三角形ABE和等 腰直角三角形CBD,连接AD,LACD=112.5°，则4D AC 图④ 【详解】[模型提出] 解：：∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE, .△BAD≌ACAE(SAS), 故答案为：△BAD≌aCAE; [模型构造] 解：如图③，过点A在AB左侧作∠BAE=120°，且满足AE=AB,连接EC、EB, 则∠EAB=∠DAC,所以∠CAE=∠DAB. 又：AC=AD △ACE≌△ADB :EC=BD 过点A作AF⊥BE于点F. 又AE=AB ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :EF=BF ∴.∠FAB=∠FAE=60 ∴∠FBA=30°，又∠ABC=60°，AB=V5,∠AFB=90°， EEBC=909,BF=ABcos∠FBA=V3cos30°=号 BE=2BF=3,又BC=4, ·EC=VBE2+BC2=V32+42=5, 即BD=5; B 图③ [模型应用] 解：连接CE, B 图④ :以AB和BC为直角边作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形CBD, AB=BE,BD=BC,∠ABE=∠CBD=90°，∠BAE=∠BCD=45°， ZABE ZABC=ZCBD+LABC,AE=-AB =√2AB, cos45o ∠ABD=EBC, :△ABD≌△EBC(SAS), :AD =CE, Fcos∠CAB=2 ,∠ACD=112.5°， ∠CAB=45°，∠ACB=∠ACD-∠BCD=67.5°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LABC=180°-LCAB-LACB=67.5°=LACB,∠EAC=LEAB+∠CAB=90°， :AC=AB, .CE=AE2+AC2= 2 √2AB+AC2=V5AC, 即AD=√5AC AD =5 AC 4.（2025江苏连云港.一模)综合与实践： 【新知定义】如图1，若∠84C=∠DAE,伦伦·则△48C△4DE.小明称图1中的48C和4DE 互为“手拉手等形三角形”. 图1 图2 图3 图4 【新知探究】 (1)如图2，若∠BAC=90°，∠B=30°，BC=4,D为BC的中点.以AD为一边在AD右侧作ADE, 且ABC和ADE互为"手拉手等形三角形”，连接CE,则CE的长为： (2)在图1中，连接BD,CE,求证：△ABD~△ACE; 【变式应用】 (3)如图3，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作ADE, ∠BAC=LDAE,S。MBc=S。4DE,连接CE,求CE的长； 【综合应用】 (4)如图4，若∠BAC=90°，∠B=30°，4C=1,若D点在线段BC上运动(BD<BC,且点D不与点 2 B重合)，以AD为一边在AD右侧作ADE,且ABC和ADE互为"手拉手等形三角形”，连接CE,以 AD、AE为边构造矩形ADFE,连接CF.直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度. 【详解】(1)解：∠BAC=90°，∠B=30°，BC=4,D为BC的中点 AC=2,AB=BC2-AC2=23,BD=2, :ABC和ADE互为“手拉手等形三角形”， △ABC∽△ADE, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB AC AD AE ,∠BAC=∠DAE, AB AD AC AC ,∠BAD=∠CAE, △BADm△CAE, 器唧29 CE 2 解得CB=25,经检验符合题意： (2)证明：如图， E D ABC和ADE互为“手拉手等形三角形"， .△ABC∽△ADE, ABAC ,LBAC=∠DAE, AD AE AB AD AC AE ZBAD ZCAE, .△ABD~△ACE, (3):AB=AC=5,BC=6,D为BC的中点， :BD=CD=IBC=3,AD L BC, AD=√AB2-BD2=4, 过B作BM⊥AC于M,过D作DN⊥AE于N, D S.ABC =S.ADE 、AC:BM=三AE·DN, BM AE DN AC' ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BAC=∠DAE,∠AMB=∠AND=90°， ·△ABM∽△ADN, BM AB DN-AD' AE AB AC AD :∠BAC=∠DAE, ∠BAD=∠CAE, .△ABDm△AEC, AD BD AC-CE 即2 CE' 解得CE=5 ,经检验，符合题意， (4)解：：∠BAC=90°，∠B=30°，AC=1, BC=2,AB=V3,∠ACB=60°， :ABC和ADE互为“手拉手等形三角形”， .△ABC∽△ADE, AB_AC AD AE ，∠BAC=∠DAE, AB AD AC AC ZBAD ZCAE, ·△BADn△CAE, :4D=8D=4g-5,∠B=∠4CE=30°， AE CE AC 设CE=x,则BD=√3x, 过A作AM⊥CE于M,过F作FN⊥CE于N, -N 2'CM= ,∠M=∠N=90°， 2 ME-CM -CE= -x 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ADFE是矩形， ·EF=AD,∠AEF=90°， .∠EAM=∠FEN=90°-∠AEM, .△EFN∽AEM, FN-EF AD FN=3 MEAEAE,即 2-x 9 2 33 32 当x-5时，5ac有最大值为35，此时80=x=}, 32 :△c面积的最大值为9.此时BD角长度为子 32 5.(2025宁夏.中考真题)如图，在Rt△ABC和RtAADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=LDAE=60° ,AD<AC·连接BD,点F是BD的中点，连接CE,CF,EF. B B D D D 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点D在AC上时，求证：△CEF是等边三角形： (2)将图1中的ADE绕点A顺时针旋转. ①当旋转角为60°时，如图2所示，(1)中的结论还成立吗？说明理由： ②当EF最长时，EF与AD的交点记作M·若AE=3,则EM= 【详解】(1)证明：：在RtAADE中∠AED=90°， ∠BED=90°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :在Rt△ABC中∠BAC=60°， LABC=30°， :点F是BD的中点， :在R△sCD中，CF=BF=DF=BD,在R8ED中，EF=BF=DF=BD, CF=EF,∠FBE=∠FEB,∠FBC=∠FCB, .∠EFC=∠EFD+∠CFD=∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB=2LABC=60°， :△CEF是等边三角形； (2)①(1)中的结论还成立，理由如下： 如图，延长DE交AB于点D,分别延长AD,BC相交于点B, B 由旋转角为60°可得∠EAD=60°， ∠EAD=∠EAD'=60°， 又：∠AED=∠AED'=90°，AE=AE, △AED≌△AED'ASA, :DE D'E, .DF=BF, EF是△DBD'的中位线， EF∥AB, LFEC=∠BAC=60°， 同理可得△ABC≌△AB'C, :BC=B'C, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DF BF, FC是aBDB'的中位线， :CF∥AB', LFCA=∠B'AC=60°， ·△CEF是等边三角形； ②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上， 延长DE至点G,使GE=DE,延长BC至点P,使PC=BC,连接AG、BG、DP、AP, :AE=AE,∠AED=∠AEG=90°， .△AEG≌△AED, ∠GAE=LDAE=60°=∠BAC,AG=AD, LBAG=∠EAC, 同理△APC≌△ABC, ∠CAP=∠BAC=60°=∠DAE,AP=AB,∠ABC=∠APC=30°， ∠DAP=∠EAC, △AGB≌△ADP, .BG=DP,∠GBA=∠DPA, :DE=GE,F为BD中点， AEF=BG,EF∥BG, 2 ∠EFD=∠GBD=∠ABG+∠ABD, 同理CF=cD,CF∥DP, :EF CF,ZFCB=ZDPC, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠CFD=∠CBF+∠FCB, ∴.∠EFC=∠EFD+∠DFC =∠GBD+∠FBC+∠FCB =∠GBA+∠ABD+∠FBC+∠DPC, =∠APD+∠ABD+∠FBC+∠DPC =∠APD+∠DPC+∠ABD+∠FBC =∠APC+∠ABC =30°+30° =60°， :△CEF是等边三角形， :EF =CE, ∴EF最大时，即CE取得最大值时， :当A,C,E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大， B B 即ADE绕点A顺时针旋转240度时，EF最大， 延长DE交AB于点D,分别延长AD,BC相交于点B, 由①得FC是ABDB'的中位线，EF是△DBD'的中位线， CF∥DB,EF∥BD', .∠MAE=∠FCE=60°，∠MEA=∠BAC=60°， △MAE是等边三角形， ∴.EM=AE=3, 故答案为：3 ◆考点03对角互补模型 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025江西新余模拟预测)定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形. F E B 0 图1 图2 (1)如图1，四边形ABCD是奇异四边形， AB=AD,求证：CA平分∠BCD; (2)如图1，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD,BC:CD=25,SB4c=8,求四边形ABCD的面积： (3)如图2，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD,∠BAD外角的平分线交CD的延长线于点E,AE=20, CD=10,求DE的长， 【详解】(1)证明：如图，过点A作AM⊥CB于点M,AN⊥CD于点N, D .∠ABC+∠D=180°，∠ABM+∠ABC=180°， .∠ABM=∠D, .∠AMB=∠AND=90°，AB=AD, .△AMB≌△AND(AAS), .AM AN, :AM⊥CB于点M,AN⊥CD于点N, ·.CA平分LBCD; (2)由(1)可知：CA平分∠BCD,AM=AN, S.AC SACD= 2 BCx AM:CDX AN=BC:CD= 7。 7 5边形m-25.c=2×8=28 (3):四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 32 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∴.∠BCD+∠BAD=180°， 又：∠BAD+∠DAF=180°， .LBCD=∠DAF, :AE平分∠DAF, ∠DAE=∠DAF, 2 由(1)知，CA平分∠BCD, ∠DCA=∠BCD, 2 .∠DAE=∠DCA, 又：∠E=∠E, AED∽CEA, AE DE CE AE :AE=20,CD=10,即 20 DE DE+10201 解得DE=517-5或DE=-5V17-5(舍去)， .DE=5V17-5. 2.综合探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助 圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件，小明同学己经 学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补，因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下 是小明同学的探究过程，请你补充完整. (1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为： ,如果该 逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据， (2)【验证】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，请在图1中作出过点A、B、C三点的⊙0， 并直接判断点D与⊙0的位置关系.（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法） (3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°， 求证：点A、B、C、D四点共圆. 证明：过A、B、C三点作O0,假设点D不在O0上， 则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 假设点D在⊙0内时，如图2，延长CD交⊙0于点E,连结AE, :LADC是△DEA的外角，·∠ADC>∠AEC, :四边形ABCE是⊙0的内接四边形，∠ABC+∠AEC=180°， 又：∠ABC+∠ADC=180°，：∠ADC=∠AEC. 这与∠ADC>∠AEC相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在OO内. 请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在⊙0外”（如图3)的情形 .o 0 图1 图2 图3 【详解】(1)解：对角互补的四边形能内接于圆.（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）· (2)解：如图1，⊙0为所求. 点D在O0上. 图1 (3)证明：假设点D在⊙0外时，如图3， D D交OO于点E,连结AE, B 图3 :∠AEC是△DEA的外角， :ZAEC>ZADC. :四边形ABCE是OO的内接四边形， ∠ABC+∠AEC=180 又：∠ABC+∠ADC=180°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEC=LADC 这与∠AEC>∠ADC相矛盾，所以假设不成立， 所以点D不可能在⊙0外， 3.(2025辽宁抚顺.一模)【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就 把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）· 如图1，在四边形ABCD中，若LABC+∠ADC=180°，则LBAD+∠BCD=180°，且∠FAD=LBCD,(无需 证明) 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含90°的互补四边形 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，且BD平分∠ABC. 求证：AB+BC=√2BD 数学兴趣小组思路如下：过点D作DE⊥BC.垂足为E,DF⊥BA,垂足为F,由角平分线的性质和互补 四边形的基本结论易证△ADF≌△CDE,进一步证得四边形BEDF为正方形，从而解决问题， Fr-------- 图1 图2 图3 图4 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含120°的互补四边形 (1)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，∠ADC=60°，BD平分∠ABC,则下列结论中正确的是」 (填序号) ①AD=CD;②AB+BC=BD；③若BD=1,则SI边形BCD= 5 4 (2)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=120°，BD平分∠ABC,猜想AB,BC,BD之间的 数量关系，并说明理由 问题3：含α角的互补四边形 (3)如图4，在四边形ABCD中，LABC=a,LADC=180°-a,BD平分∠ABC,且BD=1,求四边形 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABCD的面积.（用含有α的三角函数表示） 【详解】解：(1)过点D作DE⊥BC,DF⊥BA,垂足分别为E,F, D F B 图2 ∠DFA=LDEC, :BD平分∠ABC, :DE DF, :∠ABC+LADC=180°， .∠BAC+∠C=180°， :∠BAC+∠DAF=180°， :ZC=ZDAF, .△DAF≌△DCE(AAS), .AD=CD,AF=CE,故①正确； :∠ABC=120°，BD平分∠ABC, :∠DBF=∠DBE=∠ABC=60, .LBDF=∠BDE=30°， ED.FD .BF+BE BD BF BE BF+BE AB+AF BE AB CE BE=AB+B C, ·AB+BC=BD 故②正确： 若BD=1, 则aE=号9D=DE=VB0-E=S 2 Sm=BE-DE=V5 1 8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BF=BE,BD=BD,∠BED=∠BFD=90°， ∴.RtABED≌Rt△BFD(HL) S.AD =S.ED √5 8 :△DAF≌△DCE, Smc+..m.m.v. 84 故③正确 故答案为：①②③. (2)AB+BC=√3BD,理由如下： :BD平分∠ABC,∠ABC=60, ∠ABD=∠CBD=30°. 过点D作DE⊥BC于点E,DF⊥AB于点F .∠DEC=∠DFA=90° B 图3 :∠ABC=60°，∠ADC=120°， :∠A+∠BCD=360°-∠ABC-∠ADC=180°. :∠DCE+∠BCD=180°， :ZA=ZDCE :BD平分∠ABC,DF⊥AB,DE⊥BC, :DF DE. △ADF≌△CDE, :AF CE. 在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=30°， BE=BD·cos∠DBE=BDeo0s30°=5 BD. 2 同理可得BF= -BD, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BE BF=3BD. .AB +BC BF AF BE-CE BE +BF :AB+BC=3BD (3)过点D作DE⊥BC于点E,DF⊥AB于点F D :∠ABC+∠ADC=a+180°-a=180°， B 图4 :∠BAD+∠BCD=180°. :∠BCD+∠DCE=180°， ∠BAD=∠DCE. :∠DFA=∠DEC=90°，BD平分∠ABC, :DF DE △ADF≌aCDE. “S西边形HBCD=S么HBD+S△cBD=2S△BDE 在RIA BDE中，BD=1,∠DBE=C 1 DE=BD.sin∠DBE=Sin2,BE=BD-cos∠DBE=cos2 2 02 SEen-25am=sn2cos号 、C 2 4.(2025四川巴中.中考真题)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4,∠C=90°，点P是边AB中点， ∠MPN=90°，∠APN=0. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 38 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 令 B 口 M C 备用图 (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上. ①当0=45°时，CM的值是 ②当0°<0<90°时，求CM+CN的值； (2)点N在射线AC上，点M在射线CB上.当0°<0<135°时，直线MN与射线PC相交于点F,若 CM=2Cw,求 的值. PF 【详解】(1)①如图所示， N: ABC为等腰直角三角形， B M ·LA=∠B=45°， 又：∠0=45°， :LANP=90°， ·△APN为等腰直角三角形， :∠NPM=90°， .PN⊥AC,PM⊥BC, .PN∥BC,PM∥AC, P为AB中点， M、N为BC、AC的中点， BC=AC=4, :CM =BM =2; 故答案为：2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②连结CP, W 2 :∠ACB=90°，AC=BC=4, B M C LA=45°， 又：点P为AB的中点， :CP⊥AB,CP=AP=BP,∠PCM=∠A=45°， 0+∠2=90°， 又：∠1+∠2=90°， ∠1=0， .△APN≌△PCM(ASA :CM AN, :CM +CN AN +CN AC=4. (2)第一种情况如图所示，0°<0<90°，设CN=x.则CM=2x, ∴.2x+x=4, 4 x=3 8 ∴.CM=2x=9 过点P作PH⊥BC于H交MN于点G, 1 .CH=5BC=2,∠PHB=90°， N F B M H .MH=8 2 2= 3 3 又：∠ACB=90°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 40 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PH∥AC, ∴△GMH∽△NMC, GH NC MH CM 4 GH=3 2=8 33 :.GH=3 1 .PG=PH-GH=2-1-5 331 又：PH∥AC ∴.△NCF∽aGPF, CF CN 45 4 PF-PG-3*35 第二种情况：如右图所示，90°≤0<135°，连接PM、PN, B H G N 易知，当0=90°时，点M、N分别与B、A重合，与题意不符，不成立； 由(1)可知：△PMB≌△PCN(ASA), :BM =CN, .CM -CN =CM -BM BC=4, 又：CM=2CN, CN=4.CM=8, 可得MH=6,CH=2,CN=4, :PC∥AN, ∴.aMHG∽△MCN, HG MH 6 CN MC8' ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 41 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G=4×8=3 PG=PH+HG=2+3=5, 又：PH⊥BC,∠ACB=90°， PG∥AC, .ANCFAGPF, CF CN 4 PFPG5 5.(2025山西吕梁模拟预测)阅读与思考 下面是数学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务： 在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC≠∠ADC,我们把这种有一组对角相等，且都为90°， 另一组对角不相等的四边形称为“垂直四边形”，“善思”小组对“垂直四边形”的性质，展开了探究. 初步得到三条性质： ①“垂直四边形”对角互补； ②“垂直四边形”是圆内接四边形； ③“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值. 性质证明： 如图1，：∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°（依据1），∠BAD=∠BCD=90, :∠ABC+∠ADC=360°-LBAD-∠BCD=180°， :“垂直四边形”对角互补 如图2，连接BD,取BD的中点O,连接0A,OC. :∠BAD=∠BCD=90°， 01=0B=0C=00-BD(依据2 四边形ABCD内接于以点O为圆心，OA的长为半径的圆， “垂直四边形"是圆内接四边形. 如图3，连接AC,BD相交于点P,过BD的中点O作OH⊥AC于点H,以点O为圆心，OA的长为半径 作圆. :0A=0C,0H⊥AC, ∠coH=∠4oC,CH=AC 2 四边形ABCD内接于⊙O, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 42 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABC= ∠AOC, AJ-----------D C 图1 图2 图3 图4 任务： (1)材料中的依据1是指一： 依据2是指一· (2)将材料中第三条性质的证明过程补充完整， (3)如图4，将矩形ABCD(AD>AB)沿对角线BD所在直线折叠，点A的对应点为点E,且DE交BC于点F ，连接AE交BD于点H.若tan∠DFC=3 请直接写出二的值。 BD 【详解】(1)解：∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°的依据是四边形的内角和等于360°； 01=0B=0C=0D-BD的依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故答案为：四边形的内角和等于360°；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半： (2)证明：如图3，连接AC,BD相交于点P,过BD的中点O作OH上AC于点H,以点O为圆心，OA的 长为半径作圆。 :0A=0C,0H⊥AC, :.∠COH=∠AOC,CH=AC :四边形ABCD内接于⊙O, ∠4BC=∠40C, ∠ABC=∠COH, AC ∴.sin∠ABC=sin∠COH= CH 2 AC Co BD BD' 即“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解： AE BD 的值为33 ;理由如下： 13 在矩形ABCD中，·∠BAD=∠BCD=90°，AD∥BC, :ZADE ZDFC :tan LDFC= ·设CD=3x,则CF=2x, 在直角三角形CDF中，由勾股定理，得DF=√CD2+CF2=3x, sin∠ADE=sin∠DrC=CD=3x_33 DF13x 13 :将矩形ABCD(AD>AB)沿对角线BD所在直线折叠，点A的对应点为点E, .∠BED=∠BAD=90°， :∠ABE≠∠ADE, :四边形ABED为“垂直四边形"， sin∠ADE= AE 3v13 BD 13 故答案为： 3v13 13 ◆考点04角含半角模型 1.(2025山东东营.中考真题)【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点 的几何问题.若四边形ABCD是正方形，M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半 角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法。 B 图1 图2 图3 (1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN,用 等式写出线段DM,BN,MN的数量关系 (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC 的延长线上，∠MAN=45°，连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系，并说明理由； 44 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B+∠D=180°，点N,M分别在边BC,CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN,DM,MN的数 量关系，并说明理由。 【详解】(1)解： ADM绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE, .DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=∠ABE, :四边形ABCD是正方形， .∠BAD=∠ABC=LADM=90°， ,.∠ABE+∠ABN=180°， ·E、B、N三点共线， .·∠MAN=45°， ∠DAM+∠BAN=45°， ∠BAE+∠BAN=45°， .∠EAN=45°， .∠EAN=∠MAN, AN =AN, .△EAN≌△MAN(SAS), :EN MN :EB+BN MN, :DM B N MN 故答案为：DM+BN=MN; (2)解：BN-DM=MN;理由如下： 将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到aABE, .DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=∠ABE=90°， :E在BC上， :四边形ABCD是正方形， ·∠BAD=LBAE+∠EAD=90°， :∠DAM+LEAD=∠EAM=90°， :∠MAN=45°， .∠EAN=∠MAN=45°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ANAN, ·.△EAN≌△MAN(SAS), :EN MN :BN -BE MN, :BN -DM =MN A B E (3)解：DM+BN=MN,理由如下： 将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B重合，得到△ABE, .DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=∠ABE, :∠BAD=120°，∠MAN=60° ∠DAM+∠BAN=120°-60°=60°， :LBAE+∠BAN=∠EAN=60° :∠EAN=∠MAN ∠ABC+∠D=180° :LABE+∠ABC=∠D+∠ABC=180° “E、B、N三点共线， AN AN, :.△EAN≌△MAN(SAS), :EN =M N, :EB+BN MN, :DM BN =M N D A M E B ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2026新疆乌鲁木齐.一模)如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、 AN、MN.∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE. D D B 图① 图② 图③ 【实践探究】 (1)求证：△ANM≌△ANE,并直接写出DM,BN与MN之间的数量关系； (2)在图①条件下，若CN=6,CM=8,则正方形ABCD的边长是-： (3)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN=DM.点E、F分别在BM、DN上，∠EAF=45°， 连接EF,猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由. 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点M、N分别在边DC、BC上，连接AM,AN,己知 ∠MAN=45°，BN=2,直接写出DM的长. 【详解】(1)解：：正方形ABCD, BAD=∠ABC=∠D=∠BCD=90°， 由旋转的性质可知，AE=AM,DM=BE,∠DAM=∠BAE,LABE=LD=90°， ∠ABE+∠ABC=180°， :点E、B、C三点共线， :∠MAN=45°， .∠DAM+∠BAN=45°， ∠BAE+∠BAN=∠EAN=45°=∠MAN, 在△ANM和aANE中， AM=AE ∠MAN=∠EAN AN=AN ∴△ANM≌△AVE(SAS, :MN =EN ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :EN BE BN DM +BN, :MN DM BN (2)解：在RtACMN中，CN=6,CM=8, :MN=CN2+CM2=10, 由(1)可知，MN=DM+BN, .DM+BN=10, .BC+CD=BN +CN+CM+DM =10+6+8=24, BC=CD=12,即正方形ABCD的边长是12； (3)解：EF2=DF2+BE2,理由如下： 如图，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△AGB,连接EG, A D F G M:.AG=AF,BG=DF,∠DAF=LBAG,∠ADF=∠ABG, E B C :∠BAD=90°，∠EAF=45°， :∠DAF+∠BAE=45°， :∠BAG+LBAE=∠EAG=45°=LEAF, 在△AEG和△AEF中， AG=AF ∠EAG=∠EAF, AE=AE △AEG≌△4EF(SAS, EG EF, :BN∥DM,BN=DM, :四边形BMDN是平行四边形， DN∥BM, ∠AND=∠ABM, :∠ADN+∠AND=180°-∠BAD=90°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 48 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :LABG+∠ABM=LGBE=90, ·在Rt△BEG中，EG2=BG2+BE2, :.EF2=DF2+BE2; (4)解：如图，延长AB至点P,使得BP=BN=2,过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q,延长 AN交PO于点E,连接EM, M D E 在矩形ABCD中，AB=6,AD=8, ∠ABC=∠BAD=∠D=∠BCD=90°，AB=CD=6,AD=BC=8, .AP=8=AD BC∥PQ, .∠P=LABC=90°，∠Q=∠BCD=90°， ∴∠PAD=∠D=∠P=∠Q=90°， ·四边形APQD是正方形， .PO=AD=DO=8, BC∥PQ, △ABN∽△APE, AB BN APPE 62 8 PE .PE E0=PQ-PE=8-8=16 33 同(1)理可证EM=PE+DM, 设DM=a,则MQ=8-a,EM=8+a, 3 在RtAEOM中，EQ2+M2=EM2, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16) 3 +8-a=8ta +a 3 解得：a=4,即DM的长为4. 3.(2025贵州贵阳模拟预测)当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称 之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当 于构造出两个三角形全等. 图1 图2 图3 【问题初探】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AD=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°，E、F分别是AB、BC边上的 点，且∠EDF=45°，求出图中线段EF,AE,FC之间的数量关系. 如图1，从条件出发：将ADE绕着点D逆时针旋转90°到CDM位置，根据“旋转的性质”分析CM与AE之 间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论. 【类比分析】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠BCD=90,∠EAF=45°，且BC=7,DC=13, CF=5,求BE的长. 【学以致用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上， 且∠EF∠BD,当BC=,DC=8,CF=2时，求出△cEF的周长. 【详解】解：(1)EF=FC+AE,理由如下： :将aDAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM, .DAE≌DCM, DE=DM,AE=CM,∠ADE=∠CDM,B、C、M三点共线， .∠EDF=45°， .∴.∠ADE+∠FDC=∠CDM+∠FDC=∠MDF=45°， 在aDEF和△DMF中， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 50 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE=DM ∠EDF=∠MDF=-45°， DF =DF ∴△DEF≌△DMF(SAS), .EF =FM, .EF=FM=FC+CM=FC+AE (2)如图 E G 在DC上取一点G,使得DG=BE, :∠BAD=∠BCD=90°， ∴∠ABC+∠D=180°，∠ABE+∠ABC=180°， ∠ABE=∠D, AB=AD,BE=DG, .△ABE≌△ADG(SAS), .AE AG,Z BAE ZDAG, :∠EAF=45°， ∠EAB+∠BAF=∠DAG+∠BAF=45°， :∠BAD=90°， ∴∠FAG=∠FAE=45°， AE=AG,AF=AF, .△AFE≌△AFG SAS), .EF=FG, 设BC=x,则EC=EB+BC=x+7,EF=FG=18-x, 在Rt△ECF中，EF2=EC2+CF2, 52+(7+x)2=(18-x)2, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 51 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：x=5, BE=5. (3)在DF上截取DM=BE, D F :∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°， .∠D=∠ABE, 在△ADM和△ABE中， DM=BE ∠D=∠ABE, AD=AB .△ADM≌△ABE(SAS), AM=AE,∠DAM=∠BAE; :∠EAF=∠B4E+∠Bf-BAD, ÷∠MAF=∠BAD, ∠EAF=∠MAF, 在△EAF和△MAF中， AE=AM ∠EAF=∠MAF, AF=AF △EAF≌△MAF(SAS), :EF MF: MF=DF-DM DF -BE, :EF =DF -BE, ∴△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=I7, 4.（2025广东深圳三模)【综合与实践】 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题： 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半 角模型.半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45,AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点，若 BE=a,DF=b,EF=c(a,b,c为常数).易证：EF=BE+FD,则可以得到a,b,之间的数量关系 是：c=a+b. 证明：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG,由∠GBE=180°可得G、B、E三点共线， ∠GAE=∠EAF=45°，可证明△AEG兰△AEF,故EF=GE=BE+DF,进而得到C=a+b. A D O 458 B E G B E 图1 图2 【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个 结论， 【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题 (1)如图3，在等腰Rt△ABC中，以A为顶点的∠DAE=45°，AD、AE与BC边分别交于D、E两点，将 △ADB绕点A逆时针旋转90°，如图4，得到△ACF,易证LECF=90°，aADE三△AFE,则可以得到 BD,DE,CE之间的数量关系. D B 图3 图4 ①若BD=3,CE=4,则可得DE=- ②若BD=a,CE=b,DE=c,则a,b,c之间的数量关系是： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 53 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图5，在等边ABC中，以A为顶点的∠DAE=30°，AD、AE与BC边分别交于D、E两点.若 BD=a,CE=b,DE=c,则a,b,c之间的数量关系是： B D E 图5 (3)如图6，在等腰ABC中，顶角∠BAC=120°，以A为顶点的∠DAE=60,AD、AE与BC边分别交 于D、E两点，则可以得到BD,DE,CE之间的数量关系. B D E 图6 ①若BD=3,CE=4,则可得DE= ②若BD=a,CE=b,DE=c,则a,b,c之间的数量关系是： 【实践应用】 (4)在第(3)问第①小问基础上，把△ABD绕点A逆时针旋转120°得△ACF，如图7，如果线段EF与 边AC交于点G,则线段CG= 图7 【详解】(1)①：将△ADB绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF,等腰RIAABC, ∴BD=CF=3,∠FCA=45°，LECA=45°， .∠FCE=90 FE=V32+42=5 :△ADE≌△AFE .DE=FE=5 故答案为：5； ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 54 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②同①可知DE2=FE2=a2+b2=c2, 故答案为：a2+b2=c2； (2)将△ADB绕点A逆时针旋60°，如图，得到△ACF,连接EF,作FG⊥BC交BC延长线于G, .AD=AF,∠BAD+∠CAE=∠CAF+∠CAE=∠EAF=30°=∠EAD,BD=CF=a :AE=AE ·△ADE≌△AFE :DE=FE=c, :∠FCG=180°-60°-60°=60°， CG三5a,FG=3 -a, 2 由勾股定理可得EG2+FG2=FE2 整理得a2+ab+b2=c2 故答案为：a2+ab+b2=c2, BD E CG (3)①将△ADB绕点A逆时针旋转120°，如图，得到△ACF,连接EF,作FG⊥BC交BC于G, AD=AF,∠BAD+∠CAE=∠CAF+LCAE=∠EAF=60°=LEAD,BD=CF=3 AE=AE ·.△ADE≌△AFE :DE FE, :∠FCG=30°+30°=60°， G36 CG=3 2 35 EG=4- 22 由勾股定理可得EG+FG=FE ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 55 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5)2 ∴DE=FE 33 22 故答案为：√3； ②同0可得BD=CP=a,CG=)a,FG=5a .EG=b-Ta.DE-FE-e 2 2 EG2+FG2=FE2 2a=c2 整理得a2-ab+b2=c2 故答案为：a2-ab+b2=c2, A B D (4)如图，作EM⊥AC交AC于M,FN⊥AC交AC于N,FH⊥EC交EC于H, 由(3)可知，CF=3, 由题意可知∠FCH=30°+30°=60°，∠FCA=∠ECA=30° Bw=2.N-m-0 xCGx2+xCGx 4x25, 31 S.CEF= 2 22 解得CG=12v5 7 B D H 5. (2026河北张家口.一模)数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究： 【探究1】 (1)如图1，已知等边三角形ABC的边长为a,则S。4Bc=(用含a的代数式表示)： (2)如图2，菱形ABCD的边长为6，∠D=60°，点E和点F分别在CD边和BC边上，∠EAF=60°，连 接EF,求△AEF面积的最小值； 【探究2】 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 公 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，在ABC中，∠BAC=45°，AD为BC边上的高，AD=m(m为定值)，求ABC面积的最小 值（用含m的代数式表示） B 图1 图2 图3 【详解】(1)解：过点A作AH⊥BC于点H,如图， B H :△ABC是等边三角形，边长为a, 1 :BH=20, 在R1a48H中，由勾股定理得AH=V-BM=-兮P= 20, S.ABC= xBCxAH=1xx >3√3 a 2 4 (2)解：连接AC,如图， D :四边形ABCD是菱形，边长为6， AD=CD=6,AB‖CD, :∠D=60°， ·.△ADC是等边三角形， .AD=AC=6,∠DAC=∠ACD=60°， 菱形中∠BCD=180°-∠D=120°， ∠4CF=)∠BCD=60 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 57 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠D=∠ACF=60°， :∠EAF=60°， ∴∠DAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠DAE=∠CAF, 在△ADE和△ACF中，：∠D=∠ACF,AD=AC,∠DAE=∠CAF, .△ADE≌△ACF(ASA), :AE=AF, 又：∠EAF=60°， ·△AEF是等边三角形， 由1)得5m= AE2, 4 要使△AEF的面积最小，只需使AE的长度最小， 根据垂线段最短，当AE⊥CD时，AE取得最小值， :△ADC是等边三角形，AE⊥CD, .在RtAADE中，由勾股定理得AE=√AD2-DE2=√62-32=3√5， :a4EF面积的最小值为5x6N5y=5×27=275, 4 4 (3)解：：AD为BC边上的高， .∠ADB=∠ADC=90°， 作△ABD关于AB对称的△ABE,作△ACD关于AC对称的△ACG,延长EB,GC交于点F,如图， G B 则AE=AD=AG=m,∠AEB=∠ADB=90°，∠AGC=∠ADC=90°，∠EAB=∠DAB, ∠GAC=∠DAC. :∠BAC=45°， ∠EAG=∠EAB+∠BAC+∠GAC=2∠BAC=90°， 又：∠E=∠G=90°， .四边形AEFG是矩形， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 58 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：AE=AG=m, :矩形AEFG是正方形，正方形边长为m BD=BE=x,CD=CG=y,BC=x+y,BF EF-BE m-x,CF=FG-CG=m-y, 在Rt△BFC中，∠F=90°，由勾股定理得BF2+CF2=BC2, 即(m-x)2+(m-y)2=(x+y)2, 展开化简得xy=m2-m(x+y 由完全平方公式的非负性可知(x-y)2≥0，变形得(x+y)2≥4xy, (x+y)224m2-4m(x+y）,即(x+y)2+4m(x+y)-4m2≥0， 当(x+y)2+4m(x+y)-4m2=0时， 由求根公式得x+y=-4m±V(4m)'+16m =22-1m(舍去2(5-m 2 :x+y的最小值为2V2-1m,即BC的最小值为2√2-1m, 根据。A8C的面积Sc之BC,AD, :最小值为x22-)mxm=(2-1m2. 考点05十字架模塑 1.(2025山东德州.中考真题)已知点O是正方形ABCD的中心，点P,E分别是对角线AC,边BC上的 动点（均不与端点重合），作射线PE· O(P 图1 图2 图3 (1)将射线PE绕点P逆时针旋转90°，交边CD于点F. ①如图1，当点P与点O重合时，求证：PE=PF: ②如图2，当4P= 时，请判 PC 2 边心是否为定值.如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由： S正方形ABCD ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 59 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2如图3，连接B即，当∠BPE=45°时，将射线PE绕点P顺时针旋转90，交边AB于点R.若P AP =k, PE=a,求四边形PEBF的面积（用含a,k的式子表示）· 【详解】(1)①证明：过点P作PG⊥BC、PH⊥CD,如图所示： D O(P).H B E G 则∠PGE=∠PHF=90 :四边形ABCD是正方形 ∠BCD=90° 四边形PGCH是矩形 .∠PCH=45° 在Rt△PCH中，∠CPH=90°-45°=45 ·PH=CH :四边形PGCH是正方形 .PG=PH,∠GPF+∠HPF=90 :∠GPF+∠EPG=909 :∠FPH=∠EPG .△PFH≌△PEG :PE PF; ②过点P作PG⊥BC、PH⊥CD,如图所示： O(P)..H BE G 由①可知四边形PGCH是正方形 .PG=PH、LPGC=LPHC=LBCD=90° :△PFH≌△PEG ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .S.PFH =S.PEG ∴S图边形PECr=S.PEG+S图边形PGCF=S。PFH+S图边形PGCF=SE方形PGcH AP 1 PC2 PC_2 AC 3 PH∥AD .ACPH∽aCAD S.PCH= SAcD S四边形PECE S正方形PGC= 2S,=4 S正方形ABCD S正方形ABCD 2S.4CD 9 故 g为定值，该定值为。： 正方形ABCD (2)解：过点P作PG⊥BC、PH⊥AB,连接EF,如图所示： D .∠PGE=∠PHF=90 H EG :四边形ABCD是正方形 ·∠ABC=909 LACB=∠CAB=459 :射线PE绕点P顺时针旋转90°，交边AB于点F ∠EPF=90° .∠EPG=∠FPH △PFHn△PEG PF PHAP ∴PE-PG PC -k PE =a ∴.PF=ak ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 61 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠BPE=45°、∠BCP=45° ∠BPF=∠BCP=45 :∠PBE=∠CBP △PBE∽△CBP ∴PB2=BE·BC 同理可得PB2=BF·AB :AB=BC :BE=BF ∴△BEF是等腰直角三角形 在Rt△PEF中， sm-PE-PF-a-ka- 3 由勾股定理得EF2=PE2+PF2=a2+(ka2=(1+k2a FEFEE 2 2 4 4 边ar=Sa+S.=ka2+1+。 2 4 4 答：四边形PEBF的面积为+。 a2. 4 2.阅读与思考 下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： 由一道习题引发的思考-“十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形ABCD是一个正方形花园，E,F是它的两个门，要修 建两条路BE和AF,且使得BE⊥AF,那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： :四边形ABCD是正方形，AB=AD,∠BAE=LADF=90°. E OD M E 又：BE⊥AF,.∠BEA+∠DAF=∠DAF+∠AFD=90° B 图1 图2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 62 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠BEA=∠AFD,(依据*) ∴RtA ABE≌RtADAF,BE=AF, 有趣的是对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两 条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形ABCD中，若点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、AD上的任意四点，且 MN⊥PQ,垂足为O,则MN仍然与PO相等.理由如下： 过点M作ME⊥CD,垂足为E,过点P作PF⊥AD,垂足为F.则容易证明四边形AMED和ABPF均 为矩形， .ME=AD,PF=AB.AB=AD,ME PF 在四边形QOND中，：∠NOQ=∠D=90°， 任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题： (1)画横线部分的“依据*”是 (2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有： (从下面选项中填出两项)， A.转化思想B.方程思想C.由特殊到一般的思想 D.函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程. 【详解】(1)：BE⊥AF ∠BEA+∠DAF=∠DAF+∠AFD=90° .∠BEA=90°-∠DAF,∠AFD=90°-∠DAF ∴：∠BEA=∠AFD 根据同角的余角相等即可得到 故答案为：同角的余角相等. (2)在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想 故答案为：A、C (3).∠OND+∠OQD=180° :∠PQF+∠OQD=180° .∠MNE=∠PQF :∠MEN=∠PFQ=90° ∴.△MEN≌△PFQ, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :MN=PO 3.(2026浙江台州一模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上的动点（不包含端点）， AG⊥EF于点G,GM⊥AB于点M,EF=AG. F D D F W 图1 图2 (1)如图1，求证：△AMG≌△ECF. (2)如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG,MG于点H,N. ①求证：四边形BMNE为正方形； ②求证：HE+GN=AB; ③若AB=1,请直接写出HE的取值范围. 【详解】(1)解：：正方形ABCD,GM⊥AB LC=∠B=90°=LAMG :AG⊥EF .∠BAG+∠BEG=360°-∠AGB-∠B=180 :∠CEF+∠BEG=180° .∠BAG=∠CEF 在△AMG和△ECF中， EF=AG ∠C=∠AMG ∠MAG=∠CEF ·aAMG≌aECF(AAS): (2)①证明：：HE⊥BC,GM⊥AB, ∴∠BEN=∠BMN=∠B=90°， :四边形BMNE为矩形， :四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC,∠B=90° ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 64 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△AMG≌△ECF, :AM EC, .BE BM :四边形BMNE为正方形： ②证明：延长MG交CD于点K, D H B M :四边形ABCD为正方形， LC=∠B=90°. 又：四边形BMNE为正方形， .∠CEN=∠KNE=90°. :四边形NECK为矩形， .CK=NE=MN,∠FKG=∠HNG=90 :△AMG≌△ECF, ∴MG=CF,∠KFG=∠HGN, .FK =NG, .aFKG≌△GNH(ASA), .HN=KG, .HE+GN HN+NE+GN KG+MN +GN BC=AB ③解：取HE中点O,连接G0, F D Pt-- NO B M :∠HGE=90° US ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 G0=2E 延长EH交AD于P, :四边形AMNP是矩形， ∠APH=90°，AP=MN, :四边形BMNE为正方形， .MN=NE .AP=EN :∠BAG=∠CEF,∠BAP=LCEP=90°， ∴∠PAG=∠NEG, 在△PAH和△NEG中， I∠APH=∠ENG AP=EN ∠PAG=∠NEG .△PAH≌NEG(ASA), ∴PH=NG=1-EH, .0≤1-EH≤1 .0≤EH≤1 G0≥NG, :-HE 21-EH 2 ·HE 3 级 4.(2026四川南充一模)按要求解决问题： (1)证明推断：如图1，在正方形ABCD中，点E,Q分别在边BC,AB上，DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边 CD,AB上，GF⊥AE.求GE的值， AE ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 66 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 图1 2类比探究：如图2，在矩形ABCD中，BC=k(k为常数).将矩形ABCD沿GP折叠，使点A落在BC边 AB 上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量 关系，并说明理由； ------------D G B E 图2 B瓶展应用：连接CP,在(2)的条件下，当k-号时，若m∠C0P.GF-2而，求CP的长， 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=DA,∠ABE=90°=∠DAQ, ∴.∠QAO+∠OAD=90°， :AE⊥DQ, .∠AD0+∠0AD=90°， ∴.∠QAO=∠ADO, △ABE≌△DAQ(ASA), .AE =DO, :DQ⊥AE,GF⊥AE, .DOlGF, :四边形ABCD是正方形， ABIICD,即FQDG, 四边形FGDQ是平行四边形， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :DO=GF, .AE=GF, AE =1; (2)解：FG=k,理由如下 AE 如图2中，作GM⊥AB于M, M G E 图2 由折叠可知，AE⊥GF, .∠A0F=∠GMF=∠ABE=90°， .∠BAE+∠AF0=90°，∠AF0+∠FGM=90°， ∴.∠BAE=∠FGM, .△ABE∽△GMF, GF GM AE AB :∠AMG=∠D=∠DAM=90°， :四边形AMGD是矩形， :GM AD, GF AD BC =k; AE ABAB (3)解：如图，作PM⊥BC交BC的延长线于M, G FB∥GC,FE∥GP, H ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 68 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :ZCGP ZBFE ·tan∠CGP=tan∠BFE=3_-BE 4 BF .设BE=3k,BF=4k,则EF=AF=5k, ..AB=9k, 由(2)可知，FG=2 AE3' :FG=2V10, AE=3V10, 在RIAABE中，BE2+AB2=AE2, (3k)2+(9k)2=(310)2, “k=1或-1（舍弃）， BE=3,AB=9,EF=5,BF=4, .BC *k=2 AB 3' .BC=6, .BE=CE=3,AD=PE=BC=6, :∠EBF=∠FEP=∠PME=90°， .∠FEB+∠PEM=90°，∠PEM+∠EPM=90°， .∠FEB=∠EPM, △FBE∽△EMP, EF BF BE PE EM PM 543 6 EM PM 5 PM=18 EM=24 4-3= 9 ∴CM=EM-EC= 5 Pc=aw+A7-号5 5.(2026四川南充一模)如图，O为正方形ABCD内一点，连接D0并延长交边AB于E,过点O的直线 与边AD,BC分别交于F,G. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B E 图1 图2 (1)如图1，若FG=DE,求证：FG⊥DE· (2)如图2，将FG所在直线绕点O顺时针旋转使得∠F0D=45°，若FG=V10,AB=3,求DE的长 【详解】(1)证明：如图所示，过点C作CH∥FG分别交AD,DE于点H,点M, G M-- H F A E :四边形ABCD为正方形， CD=AD,∠ADC=∠A=90°，AD∥BC, 又：CH∥FG, .四边形CGFH是平行四边形， ∴CH=FG; FG=DE, ∴.CH=DE, .RtAADF≌RtDCH HL, .∠ADE=∠DCF, :∠ADC=∠ADE+∠CDE=90°， ∴.∠DCH+∠CDE=90°， .∠CME=∠DCH+∠CDE=90°， DE⊥CH, :CH∥FG, ·FG⊥DE; (2)解：如图所示，过点D作DQ∥FG交BC于点Q, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 70 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠EDQ=∠FOD=45°： 同理可证明四边形DFGQ是平行四边形， DO=FG=10: :四边形ABCD是正方形， AD=AB=BC=CD=3,∠A=∠B=∠ADC=∠BCD=90°， 在Rt△CDQ中，由勾股定理得CQ=VDQ-CD2=1, ∴.BQ=BC-CQ=2; 如图所示，延长BC到点P,使得CP=AE,连接DP,EQ,则∠DCP=180°-∠BCD=90°=∠A, D G ⊙ E △ADE≌ACDP(SAS, ∴.DE=DP,∠ADE=∠CDP, :∠ADE+∠CDQ=∠ADC-∠EDQ=45°， .∠CDP+∠CDQ=45°， .∠PDQ=45°=∠EDQ, 又：DQ=DQ, ∴△DEQ≌△DPQ(SAS, .EO=PO, PO=CO+CP=AE+CO, .EO=AE+CO=AE+1; 设AE=x,则EQ=x+1,BE=3-x, 在Rt△BEQ中，由勾股定理得EQ2=BE2+BQ, (x+1)2=(3-x)2+22, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得x=3 ·B=3 DE-AD+AE35 压轴提速练 1. (2026甘肃平凉.一模)观察发现 D D E B A R A 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，将正方形ABCD折叠，使点A的对应点A落在BC边上，折痕分别与AB,CD交于点E,F,则 折痕EF和AA'的数量和位置关系分别是 类比探究 (2)在(1)的条件下，设EF与AA'交于点0，连接BD交EF于点G,如图2.求证：OG=OE+GF. 拓展应用 (3)如图3，正方形ABCD的边长为9，M是AB边上的一个动点，点N在CD边上，且CN=4,连接MN, 将正方形ABCD沿MN折叠，使点A,D分别落在点P,Q处，当点Q落在直线BC上时，求线段AM的长. 【详解】(1)解：如图，过点F作FH⊥AB于点H,设EF与AA'交于点O. D H E B 根据折叠的性质可得EF垂直平分AA', :∠BAD=∠D=∠AHF=90°， :四边形AHFD是矩形， .HF =AD, :四边形ABCD是正方形， :AD AB, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 72 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .HF AB, :EF垂直平分AA', AA'⊥EF, ∠AE0+∠EA0=90°， 又：∠AE0+LHFE=90°， .∠EAO=∠HFE, 又：∠ABA'=∠FHE=90°， △ABA'≌△FHE ASA, AA'=EF. (2)证明：如图，连接GA,GA,GC, D G B A 在△ABG和△CBG中， BA=BC ∠ABG=∠CBG, BG=BG .△ABG≌△CBG(SAS, ∴.GA=GC,∠GCB=∠GAB, :EF垂直平分AA', .GA=GA', .GA'=GC, ∠GA'C=∠GCA', .∠GA'C=LGAB, 又：∠GA'C+∠GA'B=180°， ∠GA'B+∠GAB=180°， :在四边形ABA'G中，∠ABA'+∠AGA'=180°， ∴∠AGA'=90°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 73 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又0A=0A', :0G=14A, 2 :由(1)有EF=AA', :.OG=LEF, 2 又：EF=0E+GF+0G, EF=OE+GF+1EF, OE+GF-TEF 2 ..0G=0E+GF; (3)解：线段AM的长为2或8. 连接MQ,设PM=AM=x, AB=BC=AD=CD=9,CN=4, .DN=ON=5,BM =9-x, 在RtACON中，CQ=VQN2-CW2=3, 当点Q落在线段BC上时，如图， M B o C 此时BQ=BC-CQ=6, 在Rt△BMQ中，MQ2=BM2+BQ2=(9-x)2+36, 在RtAPMO中，MQ2=PQ2+PM2=81+x2, 则(9-x)2+36=81+x2, 解得x=2, AM=2; 当点Q在BC延长线上时，如图， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M 0----- 此时BQ=BC+CQ=12, 在Rt△BMQ中，MQ2=BM2+BQ2=(9-x)2+144, 在Rt△PMQ中，MQ2=PQ2+PM2=81+x2, 则(9-x)2+144=81+x2, 解得x=8, AM=8; 综上，线段AM的长为2或8. 2.(2025江西.中考真题)综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展 开探究。 特例研究 在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O (1)如图1，△ADC可以看成是AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为】 k的值为 (2)如图2，将AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为a,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E, PD,使得点E落在OD上，点F落在BC上，求B E的值 A B B 图1 图2 图3 备用图 类比探究 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将AOB绕点A逆时 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 75 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上，点F 落在BC上.猜想C的值是否与a有关，并说明理由， OE (4)若(3)中∠ABC=B,其余条件不变，探究BA,BE,BF之间的数量关系（用含B的式子表示）· 【详解】解：(1)：正方形ABCD, :∠0AB=LDAC=45°，AD=V2OA, “旋转角为45°，k=1D= =2, OA 故答案为：45°；√2； (2)如图， D 根据题意得△AEF∽△AOB, AF AE .∠EAF=∠OAB, AB AO ∠FAB=∠EAO, AF AB AE AO .△AFB∽△AEO, BF AB OE AO :∠0AB=45°，∠A0B=90°， AB=2, AO BF AB =2； OE AO (3) BE的值与Q无关，理由如下， O 如图， D B ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 76 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理可证△AFB∽△AEO, BFAB OE AO :菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∠AB0=30°， :O是AB的垂直平分线与BD的交点， A0=B0, ∠BA0=∠AB0=30°， 过点0作OG⊥AB于点G, :AB=2BG,cos∠HB0=BG-BG=cos30°= OB OA 2 AB=5, OA BFAB=3, OE AO BF的值与a无关： O (3)同理可证，∠BA0=B，,BF=1B=2cs2 2 OE OA B ∴.BF=OE·2co .BA-OB-2cos2 BE =0E +0B, BF+BA-OE.2cos+OB.2cos 2 =2(OE+OB)cos=2BE cos B 2 即BF+BA=2 BE cos 2 3.(2025贵州中考真题)如图，在菱形ABCD中，ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线 BP上的一点（点E与点B不重合）· D D O(P) 图① 图② 备用图 【问题解决】 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 77 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=度，线段BP与线段AC的位置关系是-： 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC 的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长. 【详解】解：(1)：在菱形ABCD中， .AB=BC=CD=AD :∠ABC=60°， ABC为等边三角形， :点P与线段AC的中点O重合， ∠PBC7∠ABC=30°，BPL AC (2)如图，把aABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ, D ∴BE=B0,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC, ∴.△BEQ为等边三角形， ∴∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, :点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， ∠AEB=150°，∠BEC=360°-150°-30°-60°=120°， :.∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°， ∴.∠EQC=150°-60°=90°， ∴∠EC2=90°-60°=30°， .CE =2EO=2BE (3)如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H D :AH∥BC, .∠AHB=∠CBH, :∠ABC=60°， .∠BAD=120°=∠BEG, .△HAB∽△BEG, AH BE AB EG 设FG=x,则EF=BE=2x, :EG=3x, 2x AH 3x5 10 .AH= 3 :AD∥BC, .△APHn△CPB, AHAP BC PC 10 PC 5 3 :ABC为等边三角形， .AC=AB=5, C:4P=5x7-2) 如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, D H G 同理可得：∠H=LPBC,∠BAH=∠BEG=120°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴△BAH∽△GEB, 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m, :AB=EG、m1 AH=BE=2m2 .AH=10, 同理：△APH∽△CPB, APAH CP BC =2, :AP=5x2_10 33’ 踪上：4P的长为2或0] 4. (2026江苏南通.一模)平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题. E D A E D F G 图1 图2 图3 【尝试解决】 如图1，正方形ABCD中，点E,F,P分别在边AD,BC,CD上，且EF⊥AP. (1)过点D作DG∥EF交边BC于点G,则DG,EF的数量关系是-· (2)在(1)的基础上，求证：EF=AP. (3)【类比应用】 如图2，正方形ABCD中，点E,F,P分别在边AD,BC,CD上，直线EF交AP于点Q,且∠AQE=45 .若点P是CD的中点，AB=6,求EF的长， (4)【拓展提升】 如图3，矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，点P在射线CD上，直线EF交AP于点Q.若 1 am∠40E=2,DP=5,AD=15,EF=65,求 P的值， 【详解】(1)解：DG=EF,理由如下： 在正方形ABCD中，AD∥BC, :DG∥EF, 四边形DEFG是平行四边形， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 80 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DG=EF (2)证明：：EF⊥AP,EF∥DG, DG⊥AP, :正方形ABCD, .∠ADC=∠BCD=90°，AD=DC, ∠DAP=90°-∠APD=∠GDC, :∠ADP=∠DCG=90°， ∴.△ADP≌△CDG(AAS), .AP=DG, DG=EF, .EF AP; (3)解：过点P作MN∥EF交AD于点M,交BC的延长线于点N,过点M作MG⊥AP于点G, :正方形ABCD, EM∥FN, :MN∥EF :四边形EMNF是平行四边形， :EF MN EF∥MN,∠AQE=45°， ∴.∠APM=∠AQE=45°， :点P是CD的中点，AB=6,正方形ABCD, DAP-GCD-6.DPCD3. :AP=AD2+DP2=35, 设MG=a,则GP=MG=a,GA=2MG=2a, AP=3a=3V5, .a=5, .MP=√2a=V10, P为CD中点， :DP=CP, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 81 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△PDM和△PCN中， ∠D=∠PCN=90° DP=CP ∠MDP=∠NCP .APDM≌aPCN(ASA), :PM =PN, :EF MN =2PM =210: E M A D G B F (4)解：当点P在线段CD上时，过点P作MW∥EF交AD于点M,交BC延长线于点N,过点M作 MG⊥AP, :矩形ABCD, EM∥FN, :MN∥EF ·四边形EMNF是平行四边形， :EF MN, :EF∥MN ∴.tan∠AQE=tan∠APM= “DP=5,AD=15,矩形ABCD, .tm DtP- 设MG=b,则GP=2MG=2b,GA=3MG=3b, .AP=5b=5V10, b=10, MP=MG2+GP2=5b=52, MN =EF =6V2, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 82 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .PN=MN-MP=√2， :∠D=∠PCN,∠MPD=∠CPN, .aPDM∽aPCN, DP MP PCPN =5 DP DP 5 DC DP+CP6 G 当点P在线段CD延长线上时，过点P作MW∥EF交AD于点M,交BC延长线于点N,过点M作 MG⊥AP, :矩形ABCD, .EM∥FN, :MN∥EF :四边形EMNF是平行四边形， :EF MN, :EF∥MN tan∠A0E=tan∠APE=} :DP=5,AD=15,矩形ABCD, mDp2S瓷4P-np-5, 设MG=b,则GP=2MG=2b,GA=3MG=3b, .AP=5b=5V10, b=10, :.MP=MG2+GP2=5b=52, :EF=6√2， PN=11V2, :∠D=∠PCN,∠MPD=∠CPN, .△PDM∽△PCN, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 83 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DP MP 5 PC PN' DP DP 5 DC CP-DP6: D M 综上： 心的值为 DC 5.(（2025山东东营.中考真题) 项目1组方案：过 项目2组方案：过点 项目3组方案：过点C作CF⊥AD 点D作DE∥AC交 C作CE∥AD交BA的 于点F,过点B作BE⊥AD交AD AB于点E。 延长线于点E. 的延长线于点E。 FL- B 30 D D E 图1 图2 图3 图4 图5 (1)探索发现 东营市全面落实国家课程方案.某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在Rt△ABC中， LACB=90°，∠ABC=30°，折叠ABC,使AC边落在AB边上，折痕为AD,则BD、CD与∠BAC的两 边AB、4C存在着某种关系。如图1，请你帮助项目组判断4B与BD的数量关系为 AC CD (2)猜想验证 项目组猜想：当ABC为任意三角形时，上述数量关系仍然成立，为了验证这一猜想，项目组按照(1)中 的方法折叠，AD为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形.请选择任意一种方案证明， (3)拓展应用 如图5，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,E为BC延长线上一点，AE=DE,求证： BD DE CD CE ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 84 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)：∠ACB=90°，∠ABC=30°， .∠BAC=60°. 由折叠可得，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°， 2 .∠ADC=60°，∠ABC=∠BAD=30°， .AD BD :∠ABC=∠CAD=30°，∠BCA=∠ACD=90°， :△ABCn△DAC, AB AC 即 AB AC DA DC BD DC AB BD AC CD 故答案为： AB BD AC CD (2)方案①： 证明：：DE∥AC, BD BE .∠2=∠ADE, CD AE :∠1=∠2， ∠1=∠ADE. :AE DE. BD BE CD DE :DE∥AC, .△BDE∽△BCA, BE AB DE AC AB BD ·ACCD 方案②： 证明：：CE∥AD, .∠1=∠E,L2=LACE. ∠1=∠2， ∴∠E=LACE, .AE =AC. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CE∥AD, BD AB CD AE 即B-BD AC CD 方案③ 证明：：CF⊥AD,BE⊥AD, ∴∠AFC=∠CFD=∠BED=90°. :∠1=∠2， .△ABED△ACF, :AB、BE AC CF :∠BDE=∠CDF, .△BDE∽△CDF, BE BD CFCD AB BD ·ACCD (3)证明：AD平分∠BAC, ∠1=∠2， AB BD AC CD AE =DE, .∠ADE=∠DAE. .∠B+∠1=∠2+∠CAE. ∠B=∠CAE. 又：LAEC=LBEA, .△ABE∽△CAE. ABAE AC CE BD AE CD CE 又：AE=DE, BD DE CD CE 6.(2025-四川资阳.中考真题)在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 86 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE,作OF⊥OE交CD于点F,求证：OE=OF; a如图2，四边形ABCD是平行四边，AB1AC,8-5mC4C8-E:BC-1:2,连接E,作 5 EFAE交CD于点F,连接OF,求的值 (3)如图3，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，BC=6,连接DE交AC于点G,F是边AB上的一点， ∠EDF=30°，若AF=;AB,求0G的长 【详解】(1)证明：连接0D, D B E 图1 :ABCD是正方形，OF⊥OE, ∴.0D=0C,∠C0D=E0F=90°，LACD=∠ACB=45°， ∴.∠D0F=∠COE, .△0CE≌△ODE, ∴OE=OF; (2)解：过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥BC于点H, A D H G C 图2 4C2AB=35 FAC⊥AB,tan∠ACB=AB_L, :4C=2AB=65, BC=AB2+AC2=3, :BE:EC=1:2, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 87 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CE=2, 又：S平行西道形HCD=AB·AC=BC·AG, 65x5 6 AG=4B.4C-5V5X55 BC 3 又：tan∠ACB= AB 1 AC2 CG=24G=12 ÷EG=cG-CE=12-2=2 5 5 ·tan∠GaE=GE、1 AG3' :ABCD是平行四边形， AB∥CD, ∠ACD=LBAC=90°， .∠ACB+∠FCH=∠FCH+∠CFH=90°， .∠ACB=∠FCH, 1 CH 1 tan∠CFH=tan∠ACB=2,即 设CH=a,则FH=2a, CF=CH2+HF2=5a, HF 1 2a1 同理可得tan∠FEH EH3即 2+a3 解得a=2 CF=25 5 又：O是AC的中点， ∴0C= 3v5 5 .OF=OC2+CF2 √65 0F-5 3 CF 25 29 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：过点D作DP⊥BA于点P,作D01BC于点Q,设CE=x, :ABCD是菱形， AD∥BC,DC∥AB, .∠PAD=∠DCQ=∠B=60°， :∠ADP=∠CDQ=30°， :AP=CO=3,DP=DO=AD2-AP2=33, .AF=2, ∴PF=PA+AF=5, .DF2=DP2+PF2=27+25=52,DE2=D0+QE2=27+(3+x, 在射线CA上截取AM=AF=2,在射线AC上截取CN=CE=x, :ABCD是菱形， .BA=BC,∠BAC=∠DAC=LD=60°， .∠MAD=∠FAD=120°，AC=AB=6, 又：DA=DA, .△ADM≌△ADF, DM=DF,∠MDA=∠FDA, 同理：DN=DE,∠NDC=∠EDC, .∠MAF+∠EDN=2∠ADF+∠EDC)=2LADC-∠EDF)=2×(60°-30)=60°， .∠MDN=90°， :DM:DN2=MN:,DF2+DE2=MN2, 52+27+(3+x)2=(2+6+x)2, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 89 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得CE=2.4, 又：CE∥AD, .∠BCA=∠CAD,∠CEG=∠ADG, .△CEG∽△ADG, CG CE AG AD ,即c6=24, 6-CG6 12 解得：CG= > 又：O是AC的中点， 0C=3, 0G=0C-CG=3-12_9 77 7.(2025江苏徐州中考真题)如图1，将RtaA0B绕直角顶点O旋转至△C0D,点A,B的对应点分别 为C,D.连接AD,BC,AC,BD,直线AC与BD交于点E. D D E 图1 图2 (1)△AOD与△B0C的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接OE,若AB,CD,0E的中点分别为P,Q,R.求证：P,Q,R三点共线： (3)已知AB=5,随着OA,OB及旋转角的变化，若存在以A,B,C,D为顶点的四边形，其面积为S,则S 的最大值为 【详解】(1)解：S△4oD=S△Boc,理由如下： 由旋转的性质可得BO=OD,AO=OC, 过A作AM⊥OD于M,过点C作CN⊥BO的延长线于N, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 90 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D N .∠AM0=∠0NC=90°， ∠A0B=90°， .∠A0N=∠A0B=90°， :∠A0N=∠C0M=90°， .∠A0M=∠C0N, 又：0A=0C, △AOM≌△CON(AAS), :AM =CN, OD-AM OB.CN 2 2 S.AOD=OD-AM,S.noc=OB-CN, ·SA0D=SB0c, (2)证明：延长OP至H,使得OP=PH,连接EH,RP,AH,BH, C D R,P为OE,OH中点 .RP为△OEH的中位线 .RP∥EH 由旋转的性质可得BO=OD,AO=OC,AB=CD∠A0B=LC0D, OA OC :∠A0C=∠B0D, OB OD ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴△B0D∽△A0C, ∠0DB=∠OCA, ∴.O,E,D,C四点共圆， .∠DEC=∠D0C=90°， .∠AEB=∠DEC=90°， 连接EQ,OQ,PE, :在Rt△DEC中，点Q是CD的中点， ÷E0=cD, 2 同理可得OQ=二CD, :在Rt△AEB中，点P是AB的中点， 1 同理可得OP=21B, .E0-EP=00-OP 24B-1CD. 2 四边形EPOQ是菱形， .EQ∥OP, 即EQ∥PH,EQ=PH, :四边形QEHP是平行四边形， .EH∥PQ, 又EH∥RP, “P,Q,R三点共线； (3)解：过点C作CG⊥B0延长线于G, 由旋转的性质可得BO=OD,AO=OC,AB=CD, G E ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 92 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由(1)得S△4oD=S△Boc,由旋转的性质可得S△4oB=S△coD, :.S=2(S.408+S.Boc), 2,40-08+0B-CG =A0.0B+0B.CG, ≤A0·0B+0B.C0, =2A0·0B, (A0-0B)2≥0， ∴.2AO.OB≤AO2+OB2, Rt△A0B中，AO2+OB2=AB2=52=25, 2A00B≤25， 则S的最大值为25. 故答案为：25 8.(2025海南.中考真题)图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法.为了 深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究. 【知识技能】 (1)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，连接BE、BF、EF、且∠EBF=45 .将△BCE绕点B按逆时针方向旋转90°至△BAM,则点M在DA的延长线上. ①证明△BFM≌△BFE,并判断AF+EC=EF是否成立； ②若DF=5,DE=12,请计算正方形ABCD的周长。 M 图1 【教学理解】 (2)如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF.连接AF、CE,M、N分 别是线段AF、CE上的点，连接BM、BN、MN,且∠MBN=45°（点E、F、M、N均不与端点重合）. 请猜想线段AM、MW、NC的数量关系，并说明理由， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 93 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M N C 图2 【拓展研究】 (3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线，P、Q分别为线段BD、BC上的点，且∠PQB=45°.将 BPQ绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45°）至△BMN,连接ND,取线段ND的中点E,连接CE、 CM,求C4 的值， CE A E B 图3 【详解】(1)解：①证明：：四边形ABCD是正方形， ·LA=LABC=90°， :将aBCE绕点B按逆时针方向旋转90至△BAM, .BE=BM,∠BAM=LC=90°，∠EBC=∠MBA,AM=CE, .∠BAM+LA=180°，LEBC+LABE=90°=LMBA+LABE=LMBE, 点M在DA的延长线上， :∠EBF=45°， ∴∠MBF=∠MBE-∠EBF=90°-45°=45°， ∠MBF=∠EBF, 在△BFM和△BFE中， BM=BE ∠MBF=∠EBF, BF=BF ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 94 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △BFM≌△BFE(SAS), :FM EF, FM AF+AM AF+CE, .EF AF +CE, ·AF+EC=EF成立； ②：DF=5,DE=12,∠D=90°， EF=VDF2+DE2=V52+122=13, ∴AF+EC=13, .AD+CD=(AF+EC+DF+DE=13+5+12=30, .正方形ABCD的边长为30÷2=15， .正方形ABCD的周长为15×4=60： (2)AM2+NC2=MW2,理由如下： 将△BCN绕点B逆时针旋转90°得△BAG,连接GM,如图： A D M ⊙ 由旋转性质可得：△BCV≌△BAG, .∠CBN=∠ABG,CN=AG,∠BCN=∠BAG,BN=BG, .∠CBN+∠ABN=90°=∠ABG+∠ABN=∠GBN, :∠MBN=45°， ∠MBG=∠GBN-∠MBN=90°-45°=45°， .∠MBN=∠MBG, BM=BM,BN =BG :△BMN≌△BMG(SAS), ∴.MN=GM, :AE=CF,AE∥CF, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 95 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形AECF是平行四边形， CE∥AF, .∠BEC=∠BAM, :∠BCN+∠BEC=90°， ∠BAG+∠BAM=90°，即∠GAM=90°， ∴.AM2+AG2=GM2, .AM2+NC2=MN2; (3)过C作CH⊥BD于H,连接HE,设MN交BC于K,如图： D :四边形ABCD是正方形，CH⊥BD, “H为BD中点，BCH是等腰直角三角形， BC=2, CH E为DN的中点， .HE是△BDN的中位线， .BN=2HE,HE∥BN, :∠PQB=45°，∠DBC=45°， ∴.BPQ是等腰直角三角形， :将BPQ绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45°）至△BMN, ∴△BMN是等腰直角三角形， ·BN=√2BM, √2BM=2HE, BM=2, H BC_BM=2, CH HE ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 96 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠BNK=45°=∠DBC, ∠BNK+∠KBN=∠DBC+∠KBN,即∠BKM=∠DBN, HE∥BN, ∠DHE=∠DBN, ∠BKM=∠DHE, .90°-∠BKM=90°-∠DHE, 即∠MBC=∠EHC, △MBC∽aEHC, CM_BC=, CE CH 即C4的值为2. E 9.(2025山东济南中考真题)一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=《(x>0)的图象交于点A(m,6), 与x轴交于点B,与y轴交于点C. 。E C M D D B/ 图1 图2 (1)求m,k的值. (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m. ①咖如图1，若点D的横坐标为4，连接4D,E为线段4D上一点，且号分求点E的坐标： ②如图2，M为线段OC上一点，且CM=1,四边形OMDN是平行四边形，连接AN,若∠BAN=45°，求 点D的坐标. 【详解】(1)解：由题意可知，点A(m,6)在一次函数y=2x+4的图象上，则 6=2m+4,解得m=1, :点A1,6)在反比例函数y=(x>0)的图象上， ,解得k=6, 6= ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 97 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则m=1,k=6; (2)解：①过点A作AH⊥x轴交于点H,过点E作EM⊥AH交于点M,过点D作DN⊥AH交于点N, 如图， VA Nu- D B OH X 则∠AME=∠AND=90°， .ME∥ND, .△MAE∽△NAD, AM ME AN ND :点D的横坐标为4， 点D的纵坐标为y=6=3 42 AE1 ED2' AE1 AD3' AM ME1 AN ND3' :xD=4,x4=1, .DN=3, 则E1 3=3,解得ME=1, xE=1+1=2, :y4=6,yn=2' 3 5AW=6-3-9 -22 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 98 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AM 1 93,解得AM= 2 2 39 则yE=6- 22' 。9 那么，点E22 ②一次函数y=2x+4的图象与y轴交于点C, 令x=0,则y=4, .C(0,4), CM=1, M(0,3), 过点C作CP⊥AB交AN于点P,过点P作PK⊥y轴于点K,过点A作AG⊥y轴于点G,如图， C D B 则LAGC=∠CKP=90°， :∠GAC+∠ACG=LACG+LPCK=90°， .ZGAC ZPCK :∠BAN=45°， ∴△ACP为等腰直角三角形， .AC=CP, 则△GAC≌aKCP, :点AL,6),C(0,4 .AG=CK=1,CG=PK=2, CM=1, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 99 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点M与点K重合，OM=3, 点P(2,3, 设直线AN的解析式为y=kx+b(k≠0)，则 3=2k+b [k=-3 6=k+b 解得b=9 y=-3x+9, 设点N(m,-3m+9), :四边形OMDN是平行四边形， xD=0+m-0=m,y=3-3m+9=-3m+12, 则D(m,-3m+12), :D为反比例函数图象上的一点， :3m+12=6,解得m=2+2,或m=2-万， m :D的横坐标大于1， “m=2+√2， -3m+12=-32+V2)+12=6-3V2, 故点D(2+V2,6-3W2) 10.(2025山东滨州中考真题)【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用.我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平 面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形 的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆， 正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆. 【动手操作】 如图1，ABC中，∠BAC>90°，请作出ABC的最小覆盖圆.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写 作法.) 【迁移运用】 正方形ABCD的边长为7，在边CD上截取CE=2,以CE为边向外作正方形CEFG. (1)如图2，连接AF,DF,求△ADF的最小覆盖圆的直径： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 100 专题05 几何综合题常见模型 趋势领航练 考点突破练 考点01 一线三等角模型 考点02 手拉手模型 考点03 对角互补模型 考点04 角含半角模型 考点05 十字架模型 压轴提速练 趋 势 领 航 练 【新情境问题】（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【新考法问题】（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 考 点 突 破 练 考点01 一线三等角模型 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，，，点D在上，．求证：； (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 3．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 4．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2， (1)求的值． (2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标． 5．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 考点02 手拉手模型 1．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 2．（2025·江苏无锡·三模）同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获．我在模型上加以创新，你快来试试，我相信这一定难不倒你们！ 【Ⅰ．“手拉手”模型】 如图，在中，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是的中点，连接． （1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当时，与的位置关系是 ， ． （2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：． 【Ⅱ．“黄金三角形”】 （3）如图3，点C将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点C为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x，请你利用定义求出黄金比． （4）进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比． 满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为．请你利用所学知识，选择其中一种并画出图形，求的值． 3．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型． 如图①，和中，，，且，连接，． 请找出图中的一对全等三角形：________． 【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若 求的长． 某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程： 如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点． 又 …… 请将上述过程补充完整． 【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________． 4．（2025·江苏连云港·一模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 5．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． 考点03 对角互补模型 1．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 2．综合探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整． (1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据． (2)【验证】如图1，在四边形中，，请在图1中作出过点三点的，并直接判断点D与的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法） (3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，， 求证：点四点共圆． 证明：过三点作，假设点D不在上， 则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）． 假设点D在内时，如图2，延长交于点E，连结AE， 是的外角，， 四边形ABCE是的内接四边形，， 又，． 这与相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在内． 请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在外”（如图3）的情形 3．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 5．（2025·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是数学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 在四边形中，．我们把这种有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的四边形称为“垂直四边形”．“善思”小组对“垂直四边形”的性质，展开了探究． 初步得到三条性质： ①“垂直四边形”对角互补； ②“垂直四边形”是圆内接四边形； ③“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值． 性质证明： 如图1，（依据1），， ， “垂直四边形”对角互补． 如图2，连接，取的中点，连接． ， （依据2）， 四边形内接于以点为圆心，的长为半径的圆， “垂直四边形”是圆内接四边形． 如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆． ， ． 四边形内接于， ， …… 任务： (1)材料中的依据1是指_____； 依据2是指_____． (2)将材料中第三条性质的证明过程补充完整． (3)如图4，将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点，且交于点，连接交于点．若，请直接写出的值． 考点04 角含半角模型 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 4．（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】 【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到． 【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论． 【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题． （1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ （2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________ （3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ 【实践应用】 （4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________ 5．（2026·河北张家口·一模）数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究： 【探究1】 （1）如图1，已知等边三角形的边长为，则 (用含的代数式表示)； （2）如图2，菱形的边长为6，，点和点分别在边和边上，，连接，求面积的最小值； 【探究2】 （3）如图3，在中，，为边上的高，(为定值)，求面积的最小值(用含的代数式表示)． 考点05 十字架模型 1．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 2．阅读与思考 下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： 由一道习题引发的思考−−“十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： ∵四边形是正方形，∴，．   又∵，∴ ∴，（依据*） ∴，∴． 有趣的是对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，若点M、N、P、Q分别是、、、上的任意四点，且，垂足为O，则仍然与相等．理由如下： 过点M作，垂足为E，过点P作，垂足为F．则容易证明四边形和均为矩形， ∴，．∵，∴ 在四边形QOND中，∵， … 任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题： (1)画横线部分的“依据*”是__________________________． (2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两项）． A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程． 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 4．（2026·四川南充·一模）按要求解决问题： (1)证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求的值； (2)类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：连接，在（2）的条件下，当时，若，求的长． 5．（2026·四川南充·一模）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长． 压 轴 提 速 练 1．（2026·甘肃平凉·一模）观察发现 (1)如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 (2)在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：． 拓展应用 (3)如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 2．（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 4．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 5．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 6．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； (3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 7．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E． (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 8．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 9．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 10．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 11．（2026·安徽蚌埠·二模）综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； (2)【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值； (3)【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $