第1讲 集合的概念 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第1讲 集合的概念 . 学 考 要 求 了解集合的含义与表示. . 知 识 必 备 1．元素与集合 （1）集合中元素的特性：_______、_______、_______. （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______； 如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______. （3）集合的表示方法：_______、_______、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 _____________ _______或（N＋） ______ Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 2．集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______. . 典 例 探 究 题型一：判断是否可以构成集合 例题1：判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？ （1）接近于2019的数； （2）大于2019的数； （3）育才中学高一(1)班视力较好的同学； （4）方程x2－2＝0在实数范围内的解； （5）函数y＝x2图象上的点. 题型二：判断元素与集合的关系 例题2：（1）设集合，则（    ） A． B． C． D． （2）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 题型三：根据元素与集合的关系求参数值（范围） 例题3：（1）已知集合，且，则实数m为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D．0或2或3 （2）已知集合，且，则实数范围是______． 题型四：根据元素的个数求参数值（范围） 例题4：（1）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. （2）已知集合P＝{x|x2﹣2x+k＝0}，若集合P中的元素少于两个，求k的范围． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则A中元素个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2、 填空题 4．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 5．设，集合，若，则__________. 3、 解答题 6．用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则（    ） A．-1 B．0 C．2 D．3 3．方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．集合可用列举法表示为_______． 5．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为______． 3、 解答题 6．已知，，求实数的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合的概念 . 学 考 要 求 了解集合的含义与表示. . 知 识 必 备 1．元素与集合 （1）集合中元素的特性：_______、_______、_______. （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______； 如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______. （3）集合的表示方法：_______、_______、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 _____________ _______或（N＋） ______ Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 【答案】确定性 互异性 无序性 属于 不属于 列举法 描述法 N N* Z 2．集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______. 【答案】 有限集 无限集 . 典 例 探 究 题型一：判断是否可以构成集合 例题1：判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？ （1）接近于2019的数； （2）大于2019的数； （3）育才中学高一(1)班视力较好的同学； （4）方程x2－2＝0在实数范围内的解； （5）函数y＝x2图象上的点. 【解析】(1)(3)由于标准不明确，不满足确定性，故不能构成集合；(2)(4)(5)满足集合的定义，故可构成集合. 题型二：判断元素与集合的关系 例题2：（1）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，是负数，不是自然数，故错误； 对于B，因为集合A的元素是自然数，而{0}是一个集合，不是自然数，所以，故错误； 对于C，是无理数不是自然数，故错误； 对于D，因为，是无理数，故正确. （2）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 【解析】对于方程，显然，，均不是方程的解， 是方程的解， 所以是集合的元素，故C正确； ，，均不是集合的元素，故A、B、D错误. 故选：C 题型三：根据元素与集合的关系求参数值（范围） 例题3：（1）已知集合，且，则实数m为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D．0或2或3 【解析】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意， 综上所述，． （2）已知集合，且，则实数范围是______． 【解析】因为，集合，所以得：， 即等价于，解之得：. 故实数的范围是：. 故答案为：. 题型四：根据元素的个数求参数值（范围） 例题4：（1）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 【答案】4或 【分析】根据集合非空子集的个数，判断集合中元素的个数，进而根据判别式求出参数值. 【解析】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. （2）已知集合P＝{x|x2﹣2x+k＝0}，若集合P中的元素少于两个，求k的范围． 【答案】． 【解析】由题意，方程有两个相等实根或者没有实根，所以，得出答案. 【解析】解：由题意，方程有两个相等实根或者没有实根， 所以，即解得． 所以k的范围是. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为集合，所以，故选：D. 3．已知集合，则A中元素个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】，共有9个元素. 故选：B 2、 填空题 4．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 【答案】7 【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素. 【解析】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7； 故答案为：7. 5．设，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【解析】因为，则，所以. 故答案为：. 3、 解答题 6．用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【解析】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意. 故选：D. 2．已知集合，若，则（    ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【解析】因为，所以或，而无实数解，所以. 故选：C. 3．方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 【解析】解方程组得，，则方程组的解集为. 故选：D 2、 填空题 4．集合可用列举法表示为_______． 【解析】由. 故答案为： 5．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为______． 【解析】当时，，符合题意. 当时，. 所以，∈. 故答案为： 3、 解答题 6．已知，，求实数的值. 【解析】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $