第10讲 函数的单调性与最值 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第10讲 函数的单调性与最值 . 学 考 要 求 掌握函数的单调性与最值，关注相关知识的综合应用. . 知 识 必 备 1．增函数与减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，区间，如果， 当时，都有 ，那么就称函数在区间I上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有 ，那么就称函数在区间I上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【答案】； 2．函数的单调区间 如果函数在区间上_____或_____，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫作函数的_____ 【答案】 单调递增 单调递减 单调区间 3．函数的最值：设函数，. 若任取，都存在，使得___________，则称为函数，的最大值； 若任取，都存在，使得___________，则称为函数，的最小值. 【答案】 . 典 例 探 究 题型一：根据解析式直接判断函数的单调性 例题1：下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解析】在单调递减，故A错误； 定义域为，且在上单调递增，故B正确； 在上单调递减，故C错误； 在上单调递减，故D错误． 故选：B 题型二：定义法证明函数的单调性 例题2：证明：函数是严格增函数. 【解析】设，， 任取，且， 则， ，，， 所以，即， 所以函数在上是严格增函数. 题型三：求函数的单调区间 例题3：设函数f（x）＝|x2﹣4x+3|，x∈R． （1）在区间[0，4]上画出函数f（x）的图象； （2）写出该函数在R上的单调区间． 【解析】解：（1）函数f（x）＝|x2﹣4x+3|＝|（x﹣2）2﹣1|； （列表，描点，作图） x 0 1 2 3 4 y 3 0 1 0 3 （2）根据函数f（x）的图像，不难发现， 函数f（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减； 函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增； 函数f（x）在x∈[2，3]上单调递减； 函数f（x）在x∈[3，+∞）上单调递增． 题型四：根据函数的单调性求参数值 例题4：已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【解析】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 题型五：利用函数单调性求最值或值域 例题5：函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性可得最值. 【解析】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值. 故选：B . 过 关 检 测 1、 选择题 1．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【解析】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 2．如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解析】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 3．已知函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以函数为增函数， 所以，解得. 故选：D. 2、 填空题 4．函数在区间上的最大值为__________，最小值为__________． 【解析】由反比例函数可知：在上单调递减， 所以在区间上的最大值为，最小值为． 故答案为：；. 3、 解答题 5．已知函数f（x）=， （Ⅰ）画出f（x）的图象； （Ⅱ）写出f（x）的值域及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）函数f（x）的图象如下， （Ⅱ）根据函数f（x）的图象可知， f（x）的值域为，单调递增区间为，. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，函数在区间上为减函数，A不是； 对于B，函数在区间上为增函数，B是； 对于C，函数在区间上单调递减，C不是 对于D，函数在区间上为减函数，D不是. 故选：B 2．若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解析】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选： 3．已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，即可得，求解即可． 【解析】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 4．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解. 【解析】解：因为函数， 令，解得或， 所以函数的定义域为， 又t在上递增，在上递增， 由复合函数的单调性知：的单调增区间为， 故选：C 2、 填空题 5．函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】二次函数是开口向上的抛物线，函数在区间上不单调，说明对称轴落在区间内，因此列出不等式计算即可. 【解析】函数是开口向上的二次函数， 其对称轴为直线： 二次函数在对称轴的一侧单调，若在区间上不单调， 则对称轴需落在区间内，即. 故答案为：. 3、 解答题 6．已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的单调性与最值 . 学 考 要 求 掌握函数的单调性与最值，关注相关知识的综合应用. . 知 识 必 备 1．增函数与减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，区间，如果， 当时，都有 ，那么就称函数在区间I上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有 ，那么就称函数在区间I上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．函数的单调区间 如果函数在区间上_____或_____，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫作函数的_____ 3．函数的最值：设函数，. 若任取，都存在，使得___________，则称为函数，的最大值； 若任取，都存在，使得___________，则称为函数，的最小值. . 典 例 探 究 题型一：根据解析式直接判断函数的单调性 例题1：下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：定义法证明函数的单调性 例题2：证明：函数是严格增函数. 题型三：求函数的单调区间 例题3：设函数f（x）＝|x2﹣4x+3|，x∈R． （1）在区间[0，4]上画出函数f（x）的图象； （2）写出该函数在R上的单调区间． 题型四：根据函数的单调性求参数值 例题4：已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：利用函数单调性求最值或值域 例题5：函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．函数在区间上的最大值为__________，最小值为__________． 3、 解答题 5．已知函数f（x）=， （Ⅰ）画出f（x）的图象； （Ⅱ）写出f（x）的值域及单调递增区间． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 3．已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 3、 解答题 6．已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $