第9讲 函数的概念与表示 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第9讲 函数的概念与表示 . 学 考 要 求 理解函数的概念，能求函数解析式、定义域、值域，掌握函数的表示方法. . 知 识 必 备 1．函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____________和它对应，那么就称____________为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ____________ 定义域 x叫做____________，x的______叫做函数的定义域 函数值 与____________相对应的y值 值域 函数值的集合_______________叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 2．同一个函数：如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 _____    开区间 _____    半闭半开区间 _____    半开半闭区间 _____    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 _____    _____    _____    _____    4．函数的表示方法 函数的三种表示方法：________________、_______________、_______________ 5．分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的________的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的____；各段函数的定义域的交集是______ . 典 例 探 究 题型一：求函数值 例题1：（1）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． （2）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D． 题型二：判断两个函数是否相等 例题2：下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 题型三：求函数的定义域 例题3：（1）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 （2）已知函数定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型四：求函数的值域 例题4：函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型五：求函数的解析式 例题5：（1）已知函数，则（    ） A． B． C． D． （2）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） （3）已知，求的表达式 . 过 关 检 测 1、 选择题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．如图，可以表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2、 填空题 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 5．已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是______． 3、 解答题 6．已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．下列表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．若函数，则（    ）． A． B． C． D． 3．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．已知二次项系数为的二次函数的图象为如图所示的曲线，则（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．函数的值域为________ 3、 解答题 6．如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y. (1)求y关于的函数关系式，并指出相应的定义域； (2)求函数的值域. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分、及讨论即可得； （2）分别计算出、及的值域后即可得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 即有； （2）当，则， 当时，， 当时，， 综上所述，函数的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 函数的概念与表示 . 学 考 要 求 理解函数的概念，能求函数解析式、定义域、值域，掌握函数的表示方法. . 知 识 必 备 1．函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____________和它对应，那么就称____________为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ____________ 定义域 x叫做____________，x的______叫做函数的定义域 函数值 与____________相对应的y值 值域 函数值的集合_______________叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 【答案】 非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y 自变量 取值范围 的值 2．同一个函数：如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【答案】 定义域 对应关系 3．区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 _____    开区间 _____    半闭半开区间 _____    半开半闭区间 _____    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 _____    _____    _____    _____    【答案】 4．函数的表示方法 函数的三种表示方法：________________、_______________、_______________ 【答案】 解析法 列表法 图象法 5．分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的________的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的____；各段函数的定义域的交集是______ 【答案】 对应关系 并集 空集 . 典 例 探 究 题型一：求函数值 例题1：（1）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【解析】因为函数，所以，故选：D （2）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D． 【解析】函数，所以. 故选：C 题型二：判断两个函数是否相等 例题2：下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，，，表达式不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，两函数的定义域，表达式和值域均相同，是同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误. 故选：C. 题型三：求函数的定义域 例题3：（1）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【解析】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C （2）已知函数定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解析】解：的定义域是，， 满足，解得， 的定义域是． 故选：． 题型四：求函数的值域 例题4：函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，即函数的值域为. 故选：B. 题型五：求函数的解析式 例题5：（1）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， 所以. 故选：B. （2）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【解析】令，则， ， 所以. 故选：D. （3）已知，求的表达式 【解析】在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解析】由有意义，可得，解得且. 故选：D. 2．如图，可以表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求, 故选：D 3．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【解析】由函数，则. 故选：D. 2、 填空题 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【分析】这是由复合函数的定义域求函数的定义域，转化为求内层函数的值域问题即可. 【解析】由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 5．已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是______． 【解析】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 3、 解答题 6．已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． 【解析】（1），，则； （2）函数的图象如下图所示： . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．下列表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解析】由A、B、C选项的图知，存在的值，不止一个与之对应， 由函数的定义知A，B，C选项对应的图形不表示函数， 对于D，由图知，每一个的值，有且只有一个值与之对应，所以D正确． 故选：D. 2．若函数，则（    ）． A． B． C． D． 【解析】，. 故选：. 3．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【解析】因为，且， 则或，解得. 故选：C 4．已知二次项系数为的二次函数的图象为如图所示的曲线，则（    ） A． B． C． D． 【解析】二次项系数为，由图象可知：， . 故选：C. 2、 填空题 5．函数的值域为________ 【解析】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 3、 解答题 6．如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y. (1)求y关于的函数关系式，并指出相应的定义域； (2)求函数的值域. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分、及讨论即可得； （2）分别计算出、及的值域后即可得. 【解析】（1）当时，， 当时，， 当时，， 即有； （2）当，则， 当时，， 当时，， 综上所述，函数的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $