第5讲 全称量词与存在量词 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第5讲 全称量词和存在量词 . 学 考 要 求 理解全称量词与存在量词以及对应命题的否行. . 知 识 必 备 1．全称量词与全称量词命题： 全称量词 全称量词命题 全称量词命题的真假判断 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做___ ，并用符号“___ ”表示 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为___ 全真为真，一假为假 2．存在量词与存在量词命题： 存在量词 存在量词命题 存在量词命题的真假判断 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做___ ，并用符号“___ ”表示 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 ___ 一真为真，全假为假 3．全称量词与存在量词命题的否定： 命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 ______________________ 存在量词命题 存在量词命题 ______________________ 全称量词命题 . 典 例 探 究 题型一：判断命题是否为全称量词命题（存在量词命题） 例题1：（1）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 （2）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 题型二：根据全称量词命题（存在量词命题）的真假求参数 例题2：（1）若“，”为真命题，则的取值范围为______． （2）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 题型三：求全称量词命题（存在量词命题）的否定 例题3：（1）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， （2）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．命题“ ”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 3．给出下列命题，其中为真命题的是（    ） A．对任意 ，都有 B．对任意 ，都有 C．存在，使得 D．存在，使 2、 填空题 4．命题“，”的否定是______. 5．“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 3、 解答题 6．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 3．已知命题：命题.则（    ） A．命题是真命题，命题是真命题 B．命题是假命题，命题是假命题 C．命题是真命题，命题是假命题 D．命题是假命题，命题是真命题 2、 填空题 4．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(填序号). （1）每一个矩形的对角线都互相平分；（2）有些集合无真子集；（3）能被8整除的数也能被2整除. 5．若“”是假命题，则实数a取值范围为____． 3、 解答题 6．判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 全称量词和存在量词 . 学 考 要 求 理解全称量词与存在量词以及对应命题的否行. . 知 识 必 备 1．全称量词与全称量词命题： 全称量词 全称量词命题 全称量词命题的真假判断 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做___ ，并用符号“___ ”表示 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为___ 全真为真，一假为假 【答案】 全称量词 ∀ ∀x∈M，p(x) 2．存在量词与存在量词命题： 存在量词 存在量词命题 存在量词命题的真假判断 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做___ ，并用符号“___ ”表示 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 ___ 一真为真，全假为假 【答案】 存在量词 ∃ ∃x∈M，p(x) 3．全称量词与存在量词命题的否定： 命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 ___ 存在量词命题 存在量词命题 ___ 全称量词命题 【答案】 ， ， . 典 例 探 究 题型一：判断命题是否为全称量词命题（存在量词命题） 例题1：（1）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【解析】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． （2）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【解析】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 题型二：根据全称量词命题（存在量词命题）的真假求参数 例题2：（1）若“，”为真命题，则的取值范围为______． 【解析】由题可知，，解得， 故答案为：. （2）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【解析】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 题型三：求全称量词命题（存在量词命题）的否定 例题3：（1）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解析】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. （2）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含量词命题的否定方法“改变量词，否定结论”即可求解. 【解析】命题“”的否定是“”. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．命题“ ”的否定是（    ） A． B． C． D． 【解析】命题“”的否定是“”. 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【解析】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 3．给出下列命题，其中为真命题的是（    ） A．对任意 ，都有 B．对任意 ，都有 C．存在，使得 D．存在，使 【解析】对于A，，，则，命题“对任意，都有”是假命题，A不是； 对于B，，当时，，命题“对任意，都有”是假命题，B不是； 对于C，使成立的实数只有，而，命题“存在，使得”是假命题，C不是； 对于D，，且，命题“存在，使”是真命题，D是. 故选：D 2、 填空题 4．命题“，”的否定是______. 【解析】， 否定是：，. 故答案为：， 5．“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 【解析】因为，要使“恒成立”， 只需，因为的最小值为，即， 故答案为：. 3、 解答题 6．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【解析】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【解析】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是“，”. 2．下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【解析】对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，比如一个等边三角形和一个等腰直角三角形，故A错误； 对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误； 对于C，因为，，即，故C正确； 对于D，因为，，故D错误． 故选：C 3．已知命题：命题.则（    ） A．命题是真命题，命题是真命题 B．命题是假命题，命题是假命题 C．命题是真命题，命题是假命题 D．命题是假命题，命题是真命题 【解析】因为，所以命题是真命题， 因为，所以不存在，所以命题是假命题， 故选：C. 2、 填空题 4．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(填序号). （1）每一个矩形的对角线都互相平分；（2）有些集合无真子集；（3）能被8整除的数也能被2整除. 【解析】（1）中含有全称量词“每一个”，（3）中陈述的是所有满足条件的数，所以（1）（3）是全称量词命题； （2）中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题． 故答案为：（1）（3）；（2）. 5．若“”是假命题，则实数a取值范围为____． 【解析】由于命题“，”是假命题， 则该命题的否定“，”是真命题，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 3、 解答题 6．判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 【解析】（1）因为，所以该命题为真命题，命题的否定为：，. （2）因为方程无解，所以该命题为真命题，命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解. （3）省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，由绝对值的定义可得，正数的绝对值都等于其本身，所以该命题为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身． 1 学科网（北京）股份有限公司 $