第7讲 基本不等式 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第7讲 基本不等式 . 学 考 要 求 掌握基本不等式，熟练应用基本不等式及其变形式解决相关问题，注重相关知识点的综合应用. . 知 识 必 备 1．重要不得干那事：对任意，______，当且仅当时等号成立． 2．基本不等式 如果a>0，b>0，那么______≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，______叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数______它们的几何平均数. 3．基本不等式的变形 （1）____（当且仅当时等号成立）； （2）（当且仅当____时等号成立）. 4．利用基本不等式求最值 已知，，则： （1）如果和等于定值s，那么当时，积xy有最大值______； （2）如果积xy等于定值p，那么当时，和有最小值______． . 典 例 探 究 题型一：基本不等式求积的最大值 例题1：（1）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）．已知正实数、满足，则的最大值为______. （3）．已知，则的最大值是___________． 题型二：基本不等式求和的最小值 例题2：（1）若，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．10 （2）．函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． （3）．若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 题型三：基本不等式的实际应用 例题3：某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 2、 填空题 5．当时，函数的最小值为_____． 3、 解答题 6．若a与b均为正数，且，求的最小值． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（   ） A． B． C． D． 3．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 2、 填空题 4．若实数、满足，则的最小值是__________. 5．，，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 3、 解答题 6．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 基本不等式 . 学 考 要 求 掌握基本不等式，熟练应用基本不等式及其变形式解决相关问题，注重相关知识点的综合应用. . 知 识 必 备 1．重要不得干那事：对任意，______，当且仅当时等号成立． 【答案】2ab 2．基本不等式 如果a>0，b>0，那么______≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，______叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数______它们的几何平均数. 【答案】 不小于 3．基本不等式的变形 （1）____（当且仅当时等号成立）； （2）（当且仅当____时等号成立）. 【答案】 4．利用基本不等式求最值 已知，，则： （1）如果和等于定值s，那么当时，积xy有最大值______； （2）如果积xy等于定值p，那么当时，和有最小值______． 【答案】 . 典 例 探 究 题型一：基本不等式求积的最大值 例题1：（1）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D （2）．已知正实数、满足，则的最大值为______. 【解析】正实数、满足，则，即， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： （3）．已知，则的最大值是___________． 【解析】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是1. 故答案为：1 题型二：基本不等式求和的最小值 例题2：（1）若，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．10 【解析】由于，根据基本不等式， 当且仅当，即时取得等号，故最小值是. 故选：C （2）．函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【解析】当时，，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. （3）．若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 【解析】因为正实数满足， 所以 ， 当且仅当等号成立，将代入解得. 即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 题型三：基本不等式的实际应用 例题3：某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． 【答案】21420元 【分析】设该蓄水池池底的一边长为，总造价为元，则，然后利用基本不等式求解最值即可. 【解析】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为，当且仅当即时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是21420元． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，当且仅当时，取得最小值. 2．已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以，且， 所以 ， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 3．设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 4．已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 【解析】由题意可得：， 因为，所以，当且仅当时取等号， 即 故选：B 2、 填空题 5．当时，函数的最小值为_____． 【解析】因为，所以，等号成立时，， 故函数的最小值为． 3、 解答题 6．若a与b均为正数，且，求的最小值． 【解析】a与b均为正数，且，则， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为3. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 2．下列命题为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【解析】由，则，当且仅当时等号成立，A、B、D为假命题，C为真命题； 故选：C 3．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【解析】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 2、 填空题 4．若实数、满足，则的最小值是__________. 【解析】因为实数、满足， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是 故答案为： 5．，，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 【解析】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 3、 解答题 6．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【解析】（1）由则，， 所以. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 1 学科网（北京）股份有限公司 $