第8讲 二次函数与一元二次方程、不等式 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第8讲 二次函数与一元二次方程、不等式 . 学 考 要 求 掌握二次函数、一元二次方程及不等式，熟练应用一元二次不等式的解法. . 知 识 必 备 1．一元二次方程（a、b、且）. （1）当时，方程____________________实根，为__________________； （2）当时，方程____________________实根，为__________________； （3）当时，方程_______________实根. 2．二次函数与一元二次方程、不等式 （1）一元二次不等式：一般地，我们把只含有___________未知数，并且未知数的最高次数是___________的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，． （2）二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使____________的实数x叫做二次函数的零点． （3）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 __________ __________ R 的解集 __________ __________ __________ . 典 例 探 究 题型一：解不含参数的一元二次不等式 例题1：（1）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 （2）解不等式的解集为___________． （3）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 题型二：由一元二次不等式的解确定参数 例题2：若关于的不等式的解集为，则（   ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 题型三：一元二次方程根的分布问题 例题3：若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四：一元二次不等式的实际应用 例题4：若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 . 过 关 检 测 1、 选择题 1．不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 2．若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 3．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“不等式对恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、 填空题 5．当时，不等式的解集为___________. 3、 解答题 6．已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若，恒成立，求：实数的取值范围. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2、 填空题 3．不等式的解集是___________． 4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______. 5．某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是________． 3、 解答题 6．已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若的解集是，解关于的不等式 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 二次函数与一元二次方程、不等式 . 学 考 要 求 掌握二次函数、一元二次方程及不等式，熟练应用一元二次不等式的解法. . 知 识 必 备 1．一元二次方程（a、b、且）. （1）当时，方程____________________实根，为__________________； （2）当时，方程____________________实根，为__________________； （3）当时，方程_______________实根. 【答案】 有两个不相等的 有两个相等的 没有 2．二次函数与一元二次方程、不等式 （1）一元二次不等式：一般地，我们把只含有___________未知数，并且未知数的最高次数是___________的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，． （2）二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使____________的实数x叫做二次函数的零点． （3）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 __________ __________ R 的解集 __________ __________ __________ 【答案】 一个 2 . 典 例 探 究 题型一：解不含参数的一元二次不等式 例题1：（1）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【解析】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. （2）解不等式的解集为___________． 【解析】不等式的解集为， 故答案为：． （3）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【解析】不等式等价为， 对于，令，则或， 二次函数，二次项系数，图象开口向上， 不等式的解为或， 又因为，即， 综上可得，不等式的解集为或. 题型二：由一元二次不等式的解确定参数 例题2：若关于的不等式的解集为，则（   ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【解析】关于的不等式的解集为， 则是方程的两个根， 根据韦达定理可知，解得， 故选：D. 题型三：一元二次方程根的分布问题 例题3：若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】设， 由题意得：， 解之得实数的取值范围为：. 故选：D 题型四：一元二次不等式的实际应用 例题4：若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【解析】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【解析】不等式的解集为或. 故选：A. 2．若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【解析】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 3．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 4．“”是“不等式对恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】对于“不等式对恒成立”， 有，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“不等式对恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 2、 填空题 5．当时，不等式的解集为___________. 【解析】依题意，，且函数的开口向下，两个零点为和， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3、 解答题 6．已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若，恒成立，求：实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以； （2）当时，恒成立， 当， 综上所述：时，恒成立. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】解不等式可得或， 因为或，因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 2．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【解析】因为，是方程的两个根，显然， 则，， 所以. 故选：D 2、 填空题 3．不等式的解集是___________． 【解析】因为，所以， 所以，所以或， 所以该不等式的解集为， 故答案为： 4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______. 【解析】由题知， 若，不等式为，符合题意； 若，要使恒成立， 则满足，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为： 5．某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是________． 【解析】设按销售收入的征收木材税时，税金收入为万元， 则， 令，即，解得. 故答案为： 3、 解答题 6．已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若的解集是，解关于的不等式 【解析】（1）当时，， 则不等式，即为 即，解得， 所以的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程即的两根， 则，解得， 所以可化为， 即，解得或， 所以的解集为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $