专题02等腰三角形 期中复习讲义（复习重点+13大题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题02等腰三角形期中复习讲义 期中复重点 1.牢记等腰三角形的定义、核心性质及判定定理，能熟练运用进行计算和证明； 2掌握反证法的核心步骤，能运用反证法假设、证明等腰三角形相关命题。 3熟练处理等腰三角形与三角形内角和、全等三角形的综合问题，提升解题效率 与准确率。 4.掌握等腰三角形的定义、性质及判定定理，能灵活运用进行计算和证明；熟练 掌握重点题型解题思路，突破易错点； 芳核心题型归纳 题型1等边对等角 题型2三线合一 题型3等边三角形的性质 题型4根据等角对等边证明等腰三角形 题型5根据等角对等边求边长 题型6格点图中画等腰三角形 题型7找出图中的等腰三角形 题型8直线上与已知两点组成等腰三角 形的点 题型9求与图形中任意两点构成等腰三 题型10用反证法证明命题 角形的点 题型11等边三角形的判定和性质 题型12含30°角的直角三角形 题型13提升测试 消重点知识梳理 知识点一、等腰三角形定义及性质、判定 1定义：有两条边相等的三角形为等腰三角形（如下图）· 元素：相等的边叫腰；另一条叫底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 A 腰 顶 腰 底角 底角 B 底边 2.性质： (1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形两底角相等（等边对等角）； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三 线合一”（仅适用等腰三角形）； 对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的中线、高）所在直线。 3判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等 角对等边”)。 名 图 形 概念 性质 判定 称 有两 1.两腰相等 1.两边相等 等 A 边相 (定义) 腰 等的 三角 2.等边对等角 2.等角对等边 形是 B 等腰 形 3.三线合 三角 形。 4.是轴对称图形 提示： “等角对等边”与“等边对等角”的区别： 由两条边相等得出它们所对的角 相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰 三角形的判定： 知识点二、等腰三角形中常用辅齟助线 1作顶角平分线、底边上的中线或高（利用三线合一，构造全等直角三角形）； 2.作平行线、延长线转化角的关系： 3作高构造直角三角形，结合勾股定理求解。 知识点三、等边三角形性质及判定 1定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形（是特殊的等腰 三角形，三条边均可作为腰)。 2核心性质：（1)三条边长度相等；三个内角都相等，且每个内角都等于60°： (3)是轴对称图形，有3条对称轴（每条边上的中线、高、所对内角的平分线 重合)； 延伸性质：具备等腰三角形的所有性质（三线合一、两底角相等），且三线合一 有3组。 3.判定定理 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形： (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（需先明确是等腰三角形） 知识点四、反证法在等腰三角形中的应用 1反证法核心：先假设命题的结论不成立，再通过推理得出矛盾，从而证明原命 题成立，常用于等腰三角形判定、性质的补充证明。 2.反证法的假设技巧 针对等腰三角形相关命题，假设需“否定结论”，精准对应原命题， 例如：命题：等腰三角形的两个底角必为锐角。 证明：①假设：假设等腰三角形的两个底角不为锐角，即底角≥90°； ②推理：设等腰三角形两底角为∠B、∠C,∠B=∠C≥90°，则∠B+∠C≥180°， 又.·三角形内角和为180°，∴.J顶角∠A=180°-（∠B+∠C)≤0°，这与“角的度 数为正数”矛盾； ③结论：假设不成立，原命题成立，即等腰三角形的两个底角必为锐角。 消题型解折◆精准备考 题型1等边对等角 1.等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为() A.70° B.50°或70° C.55°或70° D.40° 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当110°外角的补角为等腰三角形的底角时，底角为180°-110°=70° ,符合三角形内角和定理 情况2：当110°外角的补角为等腰三角形的顶角时，顶角为180°-110°=70° 180°-70° 则底角为 =55° 2 综上，等腰三角形的底角为55°或70°. 2.在ABC中，AB=AC,且∠A=∠B,则这个三角形是 三角形 【答案】等边 【分析】根据等边对等角的性质，由AB=AC可得∠B=∠C,结合已知条件 ∠A=∠B,可推出三个内角相等，进而即可得到三角形的形状. 【详解】解：在ABC中，AB=AC, ∠B=∠C, 又，∠A=∠B, .∠A=∠B=∠C. :.ABC是等边三角形， 3.如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上，∠I=∠2，AE和BD相 交于点O B (1)试说明：△AEC≌△BED; (2)若∠1=46°，求∠BDE的度数. 【答案】(1)见解析 (2)67° 【分析】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED; (2)由(1)可知：EC=ED,∠C=∠BDE,根据等腰三角形的性质即可知 ∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数 【详解】(1)证明：AE和BD相交于点O, .∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中，∠A=∠B, ∴.∠BEO=∠2. 又：∠1=∠2， .∠1=∠BEO, ∴.∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中， ∠A=∠B AE=BE ∠AEC=∠BED △AEC≌△BED(ASA). (2)解：△AEC≌△BED, .DE=CE ∠EDC=∠C, ∠1=46°， .∠EDC=∠C=67°， .△AEC≌△BED ∴.∠BDE=∠C=67°. 题型2三线合一 1.如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=4,延长BC至点D,使得 BD=AB.则AD的长为() B A.1 B.4V2 c.2万 D.√30 2 【答案】D 【分析】如图，过点A作AE⊥BC于点E,由三线合一得到 BE=CE=】BC=2,然后利用勾股定理求解。 2 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E, .AB=AC=5,BC=4, .BE-CE-1BC-2, 2 .AE=√AB2-BE2=√21， .BD=AB=5 .DE=BD-BE=5-2=3, .AD=AE2+DE2=30. 2.已知等腰ABC的腰AB=AC=25cm,BC=14cm,则ABC顶角的平分 线AD= cm 【答案】24 【分析】根据等腰三角形=线合的性质，可得AD⊥BC,BD=，BC,再利 用勾股定理在直角三角形中计算AD的长度， 【详解】解：等腰ABC中，AB=AC,AD是顶角的平分线， 由等腰三角形三线合一的性质可得：AD⊥BC,BD=CD=。BC. ..BC=14cm, .BD=-×14=7cm. 2 在Rt△ABD中，AB=25cm,BD=7cm, 由勾股定理得： AD=VAB2-BD2=V252-72=V625-49=√576=24cm. 3.如图，在ABC中，AB=AC,AD是ABC的边BC上的高，E,F分别 是AB,AC边上的点，且BE=CF,连接DE,DF.则线段DE与DF相等 吗？请说明理由、 【答案】DE=DF,理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质.先运用等腰三角形的性质得到 ∠B=∠C,BD=DC,再证明△BDE≌△CDF,最后根据全等三角形的性质证 得DE=DF. 【详解】解：DE=DF,理由如下： .AB=AC,AD是ABC的边BC上的高， ∴.∠B=∠C,BD=DC, 在BDE和CDF中， BE=CF ∠B=∠C, BD=DC .△BDE≌△CDF(SAS), ..DE DF. 题型3等边三角形的性质 1.已知等边ABC的边长为12，D是边AB上的动点，过D作DE L AC于 点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时， AD的长是() A.3 B.4 C.8 D.9 【答案】C 【分析】设AD=x,利用等边三角形各内角为60°，结合含30°角的直角三角 形的性质，将相关线段用含X的代数式表示，再根据AB总长列一元一次方程求 解。 【详解】解：设AD=x, B (G) D :△ABC是边长为12的等边三角形， E .∠A=∠B=∠C=60°、AB=AC=BC=12, :DE⊥AC、EF⊥BC、FG⊥AB、且G与D重合， .∠AED=∠EFC=∠FDB=90°， 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， 4E=540-5 1 2 ..EC=AC-AE=12-x 在Rt△EFC中，∠CEF=30° c-ac2-引6- 8F=sC-Fc=2-6-4=6+, 在RtABFD中，∠BFD=30°， :BD=-BF, BD=AB-AD=12-x 2-r6+ 解得x=8, 即AD=8. 2.如图，在等边ABC中，D是AB的中点，E是CB延长线上的一点，且 ∠BDE=30°，DM⊥BC,垂足为M,DM=2,则EC= E B M 【答案】4 【分析】推号出∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，得到∠BCD=∠E=30, 2 继而推导出CE=2CM,CD=2DM=2×2=4,根据勾股定理求出 CM=VCD2-DM2=2√5，则EC=2×2V5=4V5,即可解答. 【详解】解：ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC, D是AB的中点， :.∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°， 2 .∠BDE=30°， ∴.∠E=∠ABC-∠BDE=30°， .∠BCD=∠E=30°， DM⊥BC, .CE=2CM,∠DMC=90°， ∴.CD=2DM=2×2=4, ∴.CM=VCD2-DM2=2V5, ∴EC=2×25=4V5. 3.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，DE∥AB, 过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. D (1)求∠F的度数： (2)若△DEC也为等边三角形，且CD=2,AB=4,求AE的长. 【答案】(1)30° (2)2 【分析】(1)由等边三角形的性质得∠B=60°，由平行线的性质得 ∠EDC=∠B=60°，结合EF⊥DE即可求解； (2)由等边三角形的性质得DC=EC=2,AB=AC=4,进而即可求解， 【详解】(1)解：：△ABC是等边三角形， ∠B=60°. .DE∥AB, .∠EDC=∠B=60°. :EF⊥DE, .∠DEF=90° .∠F=90°-∠EDC=30°； (2)解：△EDC是等边三角形， ∴.DC=EC=2. :△ABC是等边三角形， .AB=AC=4, .AE=AC-EC=2. 题型4根据等角对等边证明等腰三角形 1.如图，在ABC中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边 上的点D处，折痕为AE,若BE=2EC=5,∠C=2∠AED,则BDE的周 长是() D B E A.10 B.12 C.12.5 D.13.5 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质及 等腰三角形的判定是解题的关键；由折叠的性质可得 DE=EC=2.5,∠AED=∠AEC,∠C=∠ADE,然后可得∠BDE=∠BED, 则有BE=BD=5,进而问题可求解。 【详解】解：BE=2EC=5, .EC=2.5, 由折叠的性质可得DE=EC=2.5,∠AED=∠AEC,∠C=∠ADE, .∠C=2∠AED, ∴.∠C=∠DEC=∠ADE, ∴.∠BDE=∠BED, ..BE BD=5 ∴.BDE的周长为5+5+2.5=12.5； 故选C. 2.如图，为维修一块与地面垂直的广告牌CE,维修工人设置了两架梯子 BE,AD,经测量得到以下数据：AC=4m,BE=12m,∠DAC=45°， ∠EBC=30°，B,A,C三点在同一条直线上，则DE的长度为m, D 【答案】2 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形，熟练掌握 含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键 根据含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质可进进行求解】 【详解】解：∠DAC=45°，∠DCA=90°， ∴.△DAC是等腰直角三角形， ∴.DC=AC=4m, .∠EBC=30°， ..EC=-BE .BE=12m, ..EC=6m, ∴.DE=6-4=2m; 故答案为：2 3.如图，在ABC中，BE平分内角∠ABC,AE平分外角∠CAD. A D (1)若AE∥BC,求证：ABC为等腰三角形 (2)若LC=68°，求∠E的度数. 【答案】(1)见解析 (2)34° 【分析】(1)根据平行线得到∠CAE=∠C,∠CBA=∠DAE,结合角平分线 得到∠CBA=∠C,最后根据等角对等边得到等腰三角形： (2)根据三角形的外角和角平分线得到∠E=一∠C,据此求解即可. 【详解】(1)解：AE平分外角∠CAD. ∴.∠CAE=∠DAE, AE∥BC, ∴.∠CAE=∠C,∠CBA=∠DAE, ∴.∠CBA=∠C, ..AB=AC, .ABC为等腰三角形， (2)解：BE平分内角∠ABC,AE平分外角∠CAD. :.∠EBA=)∠CBA,∠EAD=∠CAD, 2 由三角形的外角可得∠E=∠EAD-∠EBA,∠C=∠CAD-∠CBA, :.∠E=∠EAD-∠EBA=∠CAD-∠CBA=∠C, 2 2 2 .∠C=68°， ∴.∠E=5∠C=34°. 题型5根据等角对等边求边长 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，CM平分∠ACB交AB于点M,过点 M作MN∥BC交AC于点N,若AN=1,则BC的长为() B A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【分析】CM平分∠ACB,MN∥BC构造了等腰三角形MNC,再根据含30 度角的直角三角形的性质求解， 【详解】解：，CM平分∠ACB, '.∠BCM=∠ACM, :MN∥BC, .∠BCM=∠NMC, ∴.∠NMC=∠ACM, ..MN NC, .MN∥BC,∠B=30°， .∴.∠AMN=∠B=30°， :∠A=90°，AN=1 .∴.MN=2AN=2×1=2, .NC=MN=2, ..AC=AN+NC=1+2=3, ,Rt△ABC中，∠B=30°， ∴.BC=2AC=6. 2.如图，在ABC中，∠ABC=45°，∠CAB=60°，AC=10,则AB= 【答案】5+5√5 【分析】过点C作CD⊥AB于D,则LADC=∠BDC=90°，利用含30度的 直角三角形的性质和勾股定理求出AD,CD的长即可得到答案， 【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D,则∠ADC=∠BDC=90°， D .∠A=60°，∠B=45°， ∴.∠ACD=30°，∠BCD=45°=∠B, ∴.AD=AC=5,BD=CD, BD=CD=√AC2-AD2=5V5, ∴AB=AD+BD=5+55. 3.如图，在ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,点E在AB上，连 接DE.已知∠A=30°，C=∠AED=75°. (1)求证：DE∥BC; (2)若AB=12,DE=4,求AD的长. 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】(1)由三角形内角和定理求出∠ADE=75°，得到∠ADE=∠C,即 可推出DE∥BC; (2)由角平分线和平行线的性质得到∠ABD=∠BDE,推出BE=DE=4, 然后由等角对等边求解即可· 【详解】(1)证明：在ADE中，∠A=30°，∠AED=75°， ∴.∠ADE=180°-30°-75°=75° .∠ADE=LC, .DE∥BC; (2)解：BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD. .DE∥BC, .∠BDE=∠CBD, ∴.∠ABD=∠BDE, ∴.BE=DE=4. .AB=12, ∴.AE=AB-BE=12-4=8. ∠AED=∠ADE=75°， ∴.AD=AE=8. 题型6格点图中画等腰三角形 1.如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点，如果 C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（) A A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解 决问题的关键 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案， 【详解】解：如图所示： 使得ABC为等腰三角形的情况有：△ABC、△ABC, A △ABC3、△ABC4、△ABC5、△ABC6、△ABC、△ABC8,共8个， 故选：D 2.如图，在3×3的正方形网格中，A,B是两个格点，连接AB,在网格中找 到一个格点C,使得ABC是以AB为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C 有 B 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实 际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的 解题思想 根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C, 即可得到点C的个数 【详解】解：如图，以AB为等腰ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有5 个 故答案为：5 3.如图，每个小正方形的边长都是1，在每幅图中以格点为顶点，分别画出一 个符合下列条件的格点三角形 图1 图2 (1)在图1中画出一个等腰直角三角形ABC,要求底边AB=2； (2)在图2中画出一个直角三角形DEF,要求DF=5,DE,EF长为无理数. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据等腰三角形的定义和勾股定理，求出AC,BC的长，作图即 可 (2)根据要求作图即可. 【详解】(1)解：·ABC是等腰直角三角形，底边AB=2 ..AC=BC, 由勾股定理得：AC2+BC2=2AC2=AB2=4, .AC=BC=2, 如图， ABC即为所求； (2)解：如图，△DEF即为所求； D 由勾股定理得：DF2=32+42=25=52,EF2=1P+22=5=(N5, DE2=42+22=20=(2V5, ∴EF2+DE2=DF2, ∴.△DEF为直角三角形，且DE,EF的长为无理数 题型7找出图中的等腰三角形 1.如图，已知ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,在ABC所在平面内 画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角 形，则这样的直线最多可画（) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分 类讨论是解题关键 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰的等腰三角形得出符合 题意的图形即可 【详解】解：如图所示，当AB=AF=3,BA=BD=3,AB=AE=3, BG=AG,都能得到符合题意的等腰三角形 B D 故选：B 2.如图，已知ABC中，AB=3,BC=7,在ABC所在平面内一条直线， 使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画条， 【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可， 【详解)如图所示，当AB=AF=3,BA=BD=3,AB=AE=3,BG=AG时， 都能得到符合题意的等腰三角形 A E D G B 这样的直线最多可画4条 故答案为：4 3.如图，在ABC中，AB=AC,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过 O作EF∥BC交AB于E,交AC于F. (I)探究EF,BE,FC之间的等量关系， (2)若AB≠AC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有请写出来；(1) 中的结论还成立吗？无需证明， 【答案】(I)BE+CF=EF (2)有等腰△BEO,等腰△CFO,BE+CF=EF仍成立 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质， 熟练掌握利用了等腰三角形的判定与性质是解题的关键， (1)根据角平分线的性质，可得∠EBO与∠CBO,∠BCO与∠FCO的关系， 根据平行线的性质，可得∠EOB与∠CBO,∠FOC与∠BCO的关系，根据等 腰三角形的判定，可得BE与EO,CF与FO的关系，根据线段的和差，可得 答案； (2)根据等腰三角形的判定，可得等腰三角形，根据角平分线的性质，可得 ∠EBO与∠CBO,∠BCO与∠FCO的关系，根据平行线的性质，可得∠EOB 与∠CBO,∠FOC与∠BCO的关系，根据等腰三角形的判定，可得BE与EO ,CF与FO的关系，根据线段的和差，可得答案 【详解】(1)解：BE+CF=EF,理由如下： :BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, .∠EBO=∠CBO,∠BCO=∠FCO. :EF∥BC, .∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO, ∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO, ..BE=EO,CF=FO. .E0+OF=EF, .BE+CF=EF i (2)解：有等腰三角形，等腰△BEO,等腰△CFO,BE+CF=EF仍成立， 理由如下： ,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴.∠EBO=CBO,∠BCO=∠FCO. :EF∥BC, .∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO, .∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO, ∴.BE=EO,CF=FO. .∴△BEO,△CFO都是等腰三角形， .EO+OF=EF .BE+CF=EF. 题型8直线上与已知两点组成等腰三角形的点 1.如图，点A的坐标为(2,2)，若点P在y轴上，且△APO为等腰三角形， 则点P位置的个数为() 3 2 -3-2-10 1234衣 -1 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】B 【分析】由A点坐标可得OA=2√2，∠AOP=45°，分别讨论OA为腰和底边， 求出点P在y轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可. 【详解】解：(1)当点P在V轴正半轴上， ①以OA为腰时， y个 P A(2,2) A2,2）, O ∠A0P=45°，OA=2W2, ∴点P的坐标是(0,4)或0,2V2): ②以OA为底边时， y个 P A(2,2) A2,2, O ∴当点P的坐标为：(0,2)时，OP=AP; (2)当点P在y轴负半轴上， 以OA为腰时， A(2,2) A2,2, ∴.0A=2√2， .OA=AP=2√2， ∴点P的坐标是0，-2W2): 综上所述：点P的位置有4个， 2.已知A(0,2)、B(4,0),点C在x轴上，若ABC是等腰三角形，则满足 这样条件的C有个. 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，分BC=AB,AC=AB ,AC=BC三种情况，根据等腰三角形性质即可求解， 【详解】解：以B为圆心，以AB为半径画弧，交X轴于C,C,两点，此时 BC=AB; 以A为圆心，以AB为半径画弧，交X轴于C,点，此时AC=AB: 作AB的垂直平分线交X轴于C4,此时AC=BC, 满足这样条件的C有：2+1+1=4（个）， 故答案为：4. 3.在平面直角坐标系中，有A(3,3),B(-1,0),C(5,-1). (1)在图中画出ABC关于y轴对称的图形△AB,C,(其中点A,B,C的对称 点分别为点A,B,C); (2)P是x轴上的动点，当△A,BP为等腰三角形时，求出P点坐标有个 (3)求△A,B,C,的面积 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)11 【分析】本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关 键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题， (1)利用轴对称变换的性质分别作出A,B,C的对应点A,B,C即可； (2)分三种情形：当PB,=A,B,时，当A,P=A,B,时，当PA=PB,时，分别求解 可得结论. (3)根据网格的特点，用长方形的面积，减去三个三角形的面积，即可求解 【详解】(1)解：如图，△AB,C,即为所求； B B (2)解：AB,=V32+42=5,B(1,0), 当PB,=AB1时，P(-4,0)或(6,0). 当A,P=AB,时，P(-7,0) 当PA=PB时，设P(m,0), 则有(m+3)2+32=1-m)2, 解得：m=一 17 8, 综上所选，满足条件的点P的坐标为(-4,0)或6,0)或-7,0)或？0， 共有 4个. (2)△4B,C,的面积为6×4-1× 3x4- 21x6-1x ×2×4=11 2 题型9求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1.如图，∠MAN<90°，B是射线AN上的定点，P是射线AM上的动点，要 使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有() M B N A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】c 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的 关键.分两种情况：当AB为底时，当AB为腰时，分别画出图形，即可得出答 案 【详解】解：如图， M P 当AB为底时，△ABP为等腰三角形， 当AB为腰时，△ABP,△ABP,均是以AB为腰的等腰三角形， 满足条件的点P共有3个. 故选：C 2.如图，在ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6,点P在AC上，当点P 与ABC中的两个顶点构成等腰三角形时，CP的长为 【答案】2或5或6或5 6 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨 论是解题关键 首先根据勾股定理确定AC的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况 讨论，即可获得答案， 【详解】解：∠B=90°，AB=8,BC=6, ∴.AC=VAB2+BC2=V82+62=10, 根据题意，点P与ABC中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当△ABP为等腰三角形，且AB=AP=8时，如下图， 则CP=AC-AP=10-8=2: ②当△ABP为等腰三角形，且PB=PA时，如下图， B 则∠A=∠PBA, .∠ABC=90°， ∴.∠A+∠C=∠PBA+∠PBC=90°， ∴.∠C=∠PBC, .PB=PC=PA, 1 .CP=5AC=x10=5; ③当ACBP为等腰三角形，且CB=CP时，如下图， B 则CP=CB=6; ④当△CBP为等腰三角形，且BC=BP时，如下图，过点B作BH⊥AC于点 H. B飞 S卡AB.BC史ACB :×8×6=×10BH,解得BH= 24 2 2 ∴CH=VBC2-BH2= 62- 24 18 、5 5 .BC=BP,BH⊥AC, .PH=CH=18 .CP=PH+CH=36 36 综上所述，CP的长为2或5或6或 5 36 故答案为：2或5或6或 5 3.如图，在ABC中，AB=AC=BC,ABC所在的平面上有一点P(如 图中所画的点R),使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形，问：具有 这样性质的点P有几个（包括点）？在图中画出来 【答案】图见解析，10 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件 的点； 【详解】解：如图，在ABC的边BC的中垂线上有B,P,P。和P四个点满 足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点？， A P P B 10 6 所以满足条件的点P共有4×3-2=10个. 【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形）， 理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键 题型10用反证法证明命题 1.用反证法证明“在ABC中，∠A,∠B,∠C中不可能有两个角是钝角” 时，假设∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角，不妨令∠A>90°，∠B>90°， 则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（)· A.已知 B.三角形内角和等于180° C.钝角三角形的定义 D.以上结论都不对 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论 不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正 确，从而肯定原命题的结论正确.根据反证法的一般步骤判断即可， 【详解】解：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角， 令∠A>90°，∠B>90°， 则∠A+∠B>180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾， 故选：B 2.填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个 步骤： ①假设在ABC中，∠A和∠B都是直角； ②则∠A+∠B+∠C>180°， ③假设不成立，所以一个三角形中含有两个直角.（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是 掌握上述知识点并能熟练运用求解， 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立.本题假设三角 形有两个直角，导致内角和大于180°，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成 立 【详解】解：假设ABC中∠A和∠B都是直角， 则∠A=90°，∠B=90°，∠A+∠B=180°. 又∠C>0°， 则∠A+∠B+∠C>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角. 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”. 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能， 3.已知直角三角形的三边长分别是a,b,c,其中c为斜边. (1)长分别为3a,3b,3c的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； (2)小明为了证明“长分别为a2,b2,c2的三条线段不能组成一个直角三角形.” 是真命题.他给出了部分思考如下，请补全他的证明过程 假设长分别为a2,b2,c2 的三条线段能组成直角三 角形，则(a22+(b2=(c2)2. 又 【答案】(1)能，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，反证法等知识点. (1)由勾股定理得到a2+b2=c2,再由勾股定理逆定理证明即可： (2)利用反证法求解即可. 【详解】(1)解：长分别为3a,3b,3c的三条线段能组成一个直角三角形，理由 如下： .直角三角形的三边长分别是a,b,c,其中c为斜边， .a2+b2=c2, (3a)2+(3b)2=9a2+9b2=9a2+b2）=9c2=(3c)2, ∴.长分别为3a,3b,3c的三条线段能组成一个直角三角形，长为3c的边是斜边； (2)解：假设长分别为a2,b2,c2的三条线段能组成一个直角三角形， a2）+(b2）2=c2,即a4+b=c4, a2+b2=c2, a2+b2)=(c22, .a4+b4+2a2b2=c4, ∴.a2b2=0, .a2>0,b2>0 ∴.a2b2>0,与a2b2=0矛盾， 假设不成立， 长分别为a2,b2,c2的三条线段不能组成-个直角三角形. 题型11等边三角形的判定和性质 1.如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将∠A沿MWN翻折，点A 恰好落在点C处，若BC=6,则CM的长为() A.3 B.6 C.63 D.12 【答案】B 【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠B=60°，由折叠得∠MCA=∠A=30° 求出∠MCB=60°，由三角形纳角和定理得∠BMC=60°，得△BMC是等 边三角形，故可得CM=BC=6. 【详解】解：在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴.∠B=60°； 由折叠得∠MCA=∠A=30°， ∴.∠MCB=∠ACB-∠MCA=90°-30°=60°， .∠BMC=180°-∠B-∠BCM=180°-60°-60°=60°， .△BMC是等边三角形， ..CM=BC=6. 2.在ABC中，AB=AC,BD是AC边上的高，且∠ABD=30°，则 ABC是 三角形. 【答案】等边或钝角等腰 【分析】分∠BAC为锐角和钝角两种情况，结合三角形高的定义和三角形内角 和定理，计算出ABC内角的度数，再根据等腰三角形的性质判断三角形形状 即可. 【详解】解：分两种情况讨论： (1)如图，当∠BAC为锐角时，BD在ABC内部， BD是AC边上的高， .∠ADB=90°， 又∠ABD=30°， .∠BAC=180°-90°-30°=60° AB=AC, ∴.△ABC是等边三角形， (2)如图，当∠BAC为钝角时，BD在ABC外部，D在CA的延长线上， D BD是AC边上的高， .∠D=90°， 又：∠ABD=30°， ∴.∠BAD=180°-90°-30°=60°， .∠BAC=1800-600=1200 AB=AC ∴△ABC是钝角等腰三角形 综上，ABC是等边或钝角等腰三角形 3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=60°， ∠BAD+∠BCD=180°.证明：AC=BC+CD. B 【答案】见解析 【分析】因为AB=AD,∠BAD=60°，所以可构造等边三角形，利用等边三 角形的性质寻找全等条件.延长CB到点E,使BE=CD,连接AE.由 ∠ABC+∠ADC=180°，可得∠ABE=∠ADC.可得△ABE≌△ADC (SAS).得AE=AC,∠BAE=∠DAC.得∠EAC=60°.得△AEC是等 边三角形，即可推导得出结论 【详解】解：延长CB到点E,使BE=CD,连接AE. .∠BAD=60°，∠BAD+∠BCD=180°， .∠ABC+∠ADC=180°， 又.'∠ABC+∠ABE=180°， .∠ABE=∠ADC. AB=AD, ∴.△ABE≌△ADC(SAS). .AE=AC,∠BAE=∠DAC ∴.∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°. ∴.△AEC是等边三角形， ∴.EC=AC. .EC=BE+BC=CD+BC ..AC=BC+CD. 题型12含30°角的直角三角形 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.若AC=2V5,则ABC的周长 为() A.6+2N5 B.35+3 C.65 D.6+6W3 【答案】A 【分析】本题利用含30°角的直角三角形的性质得到三边的关系，再结合勾股定 理求出各边长度，最后计算周长得到结果， 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， BC=4B,即48=2BC, 1 设BC=X,则AB=2x, 由勾股定理得4C2+BC2=AB2,即2+x2=(2x)2, 整理得x2=4, 边长为正数，解得x=2, ∴.BC=2,AB=4, ∴.ABC的周长为AB+BC+AC=4+2+2V3=6+2V5. 2.如图，ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CH⊥AB于H,若AH=2, 则BH= 【答案】6 【分析】根据直角三角形的性质可得∠A和∠ACH的度数，再根据在直角三角 形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC和AB的长，进而可得答案. 【详解】解：CH⊥AB, .∠AHC=90°， .∠ACB=90°，∠B=30°， .∠A=60°，AB=2AC, ∴.∠ACH=30°， ∴.AC=2AH=4, .AB=2AC=8, .BH=AB-AH=8-2=6. 3.如图，ABC中AB=AC,∠ABC=60°，点E在AC上，点D在BC上， AE=CD,AD与BE相交于点P. Q D (1)求证：△AEB≌△CDA; (2)求∠BPD的度数： (3)若BQ⊥AD于点Q,PQ=6,PE=2,求BE的长、 【答案】(1)见解析 (2)60° (3)14 【分析】(1)由AB=AC,∠ABC=60°，判定ABC为等边三角形，得 AB=AC,∠BAC=∠C=60°；结合AE=CD,用SAS可证△AEB≌△CDA (2)由△AEB≌△CDA得∠ABE=∠CAD,根据外角的性质进行求解即可； (3)根据BQ1AD,∠BPD=60°，可得Rt△BPQ中∠PBQ=30°，则 BP=2PQ=12;结合PE=2,即可求解. 【详解】(1)证明：AB=AC,∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形， .AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. .AE CD, ∴△AEB≌△CDA(SAS); (2)解：：△AEB≌△CDA, .∠ABE=∠CAD. :∠BAD+∠CAD=60°， ∴.∠BAD+∠ABE=60°， ∴.∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°； (3)解：：BQ⊥AD,∠BPD=60°， ∠PBQ=90°-∠BPD=30°， ∴.BP=2PQ=12. PE=2, ∴.BE=BP+PE=12+2=14. 【点睛】本题核心是等边三角形的判定与性质、全等三角形的SAS判定、含 30°角的直角三角形性质；关键是通过全等转化角的关系，再利用特殊直角三角 形的性质快速求边长 过送检测提丑 一、单选题 1.如图，AB∥CD,等腰直角三角板FGE的锐角顶点G在直线CD上， ∠1=30°，则∠2为() G D A.95° B.105° C.115° D.125 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得∠EGD=∠1=30°，由等腰三角形的性质可 得∠EGF=45°，最后由平角的定义计算即可得出结果 【详解】解：AB∥CD, .∠EGD=∠1=30°， ,∵△EFG是等腰直角三角形， .∠EGF=45°， .∴∠2=180°-∠EGF-∠EGD=105°. 2.如图，已知在ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D在BC上， CD=2BD,则AD的长为() D A.25 B.√17 C.√15 D.3√2 【答案】B 【分析】过点A作AG⊥BC于点G,由等腰三角形左线合一可得 BG=CG=3,利用勾股定理求出AG=4,再根据已知求出BD=2,进而求 出DG=1,最后利用勾股定理即可求解 【详解】解：过点A作AG⊥BC于点G, .AB=AC=5,BC=6, :BG-CG-1BC-3, AG⊥BC,即∠AGB=90°， ∴AG=VAB2-BG2=4, CD=2BD,即BD=BC, ∴.BD=2, ..DG=BG-BD=1, AD=DG2+AG2=17. 3.如图，等边三角形ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的 度数是() D A.45° B.55° C.60° D.75° 【答案】C 【分析】先由等边三角形性质，得∠ABD=∠C,再证明△ABD≌△BCE(SAS) ,运用三角形的外角性质进行分析，即可作答. 【详解】解：△ABC是等边三角形， ∠ABD=∠C=60°，AB=BC, 在△ABD与△BCE中， AB=BC ∠ABD=∠C, BD=CE △ABD≌△BCE(SAS, .∠BAD=∠CBE, :∠ABE+∠EBC=60°， ∴.∠ABE+∠BAD=60°， ∴.∠APE=∠ABE+∠BAD=60°. 4.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°， AB=5,则这块三角形木板另外一边AC的长是() B A.2 B.3 C.5 D.无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和为180°，可得∠C=40°，则ABC是等腰三角 形，再根据等腰三角形的性质，即可求解， 【详解】解：∠A=100°，∠B=40°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°， ∴.∠B=∠C,即ABC是等腰三角形， AB=5, ∴AC=AB=5. 5.如图，BE和CD是ABC的高，它们相交于点O.且BE=CD,则图中全 等三角形供有（) B A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：在ABC中，高BE、CD相交于点O, .∠BEC=∠BEA=∠CDB=∠CDA=90°， 在RtaBEC和Rt△CDB中， BE=CD BC=BC' .RtABECS≌RtACDB(HL); ∴.∠BCE=∠CBD,BD=CE, ..AB=AC, 在Rt△BDO和Rt△CEO中， ∠BDO=∠CEO ∠BOD=∠COE, BD=CE ..RtABDORtACEO(AAS); 在Rt△ADC和RtAAEB中， ∠BAE=∠CAD ∠AEB=∠ADC=90°， AB=AC ∴.Rt△AEB≌Rt△ADC(AAS), .AB=AC,BD=CE, ..AD=AE, 在Rt△AEO和Rt△ADO中， AE=AD OA=OA' .Rt△AEO≌RtAADO(HL), ∴.∠OAB=∠OAC, 在AOB和△AOC中， AO=A0 ∠OAB=∠OAC, AB=AC .△AOB≌△AOC(SAS); 综上，共5对全等三角形， 二、填空题 6.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=80°，将△ACD沿AD折叠，使 点C与AB上的点E重合，若CD=4,则BE的长为 E B D 【答案】4 【分析】先由三角形纳角和求出∠B,再根据折叠性质得到DE=CD=4, ∠AED=∠C=80°，利用三角形外角性质得∠EDB=∠AED-∠B=40°，即 可得∠EDB=∠B,最后利用等角对等边得BE=DE=4. 【详解】解：∠BAC=60°，∠C=80°， ∴.∠B=180°-∠BAC-∠C=40°， 由折叠得DE=CD=4,∠AED=∠C=80°， .∠EDB+∠B=∠AED, .'∠EDB=∠AED-∠B=40°， .∠EDB=∠B, ∴.BE=DE日4. 7.如图，在ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4, B E (1)AB= (2)将ABC沿着EF折叠，使点B的对应点落在边AC上的D点处，若 ADE是以DE为腰的等腰三角形，则BE=· 【答案】 84或43-4 【分析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性 质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键 (1)根据含30°角的直角三角形的性质，求出AB的长即可； (2)根据折叠的性质可得BE=DE,设BE=x,则DE=x、AE=8-x, 分DE=AE和DE=AD两种情况讨论，根据勾股定理求出AD长，利用等腰三 角形的性质和折叠的性质求解即可， 【详解】(1)解：在ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4, .AB=2BC=2×4=8; (2)解：在Rt△ACB中，∠B=90°-∠A=90°-30°=60°， 由折叠的性质知，BE=DE,∠EDF=∠B=60°， 设BE=x,则DE=x、AE=AB-BE=8-X, ,△ADE是以DE为腰的等腰三角形， .分两种情况讨论： ①当DE=AE时， x=8-x, 解得x=4, .BE=4; ②当DE=AD时，AD=DE=x, .AD=DE、BE=DE, .∠DEA=∠A=30°、AD=BE, .∠ADE=180°-∠A-∠DEA=180°-30°-30°=120°， ∠ADE+∠EDF+∠CDF=180°， .120°+60°+∠EDF=180°， ∴点F与C重合， 如图： C(F D .DF=BC=4, -------B 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC=√AB2-BC2=V⑧2-42=4V5, AD=AC-DF=43-4, BE=45-4, 综上所述，BE的长为4或4√3-4 8.正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角 三角形，那么图中符合要求的格点C共有个. 【答案】4 【分析】本题考查在方格纸中找等腰直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关 键.分两种情况讨论，AB为直角边或斜边进行解决即可. 【详解】解：分两种情况讨论，AB为直角边或斜边， (1)AB为等腰直角三角形的斜边，格点C在1或2处， (2)AB为等腰直角三角形的直角边，格点C在3或4处， :符合要求的点共4个 故答案为：4. 9.如图， ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则∠ABC+∠ACB的度数 等于 。 【答案】45°/45度 【分析】如图所示，延长CA,过点B作BD⊥CA延长线于点D,作AC的平 行线，过点C作BD的平行线，交于点E,设小正方形网格的边长为1，可得 ∠DBA=∠ABE=45°，∠ACB=∠CBE,由此即可求证 【详解】解：如图所示，延长CA,过点B作BD⊥CA延长线于点D,作AC的 平行线，过点C作BD的平行线，交于点E,设小正方形网格的边长为1， 在Rt△ABD中，AD=BD=2,∠D=90°， .∠DBA=∠ABE=45°， BE∥AC, .∠ACB=∠CBE, ∴.∠ABC+∠ACB=∠ABE=45°， 故答案为：45°. 【点睛】本题主要考查网格中三角形角的关系，掌握等腰直角三角形的性质，平 行线的性质是解题的关键， 10.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(1,1),在x轴上确定点P,使 △AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求 出所有的情况是解题的关键.有三种情况：当OA=AP时，以A为圆心，以 OA为半径画圆，看与x轴交点个数；当OA=OP时，以O为圆心，以OA为半 径画圆，看与x轴交点个数；当OP=AP时，作OA的中垂线，看中垂线与x轴 的交点个数，从而得到答案 【详解】解：如图，有三种情况 当OA=AP时，以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴交点有1个； 当OA=OP时，以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴交点有2个； 当OP=AP时，作OA的中垂线，中垂线与x轴的交点有1个 故答案为：4. 三、解答题 11.在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1BC,垂足为G,且 AD=AB.∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F. E G D (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)求证：AE=CF. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)利用等腰三角形的性质得到BG=CG, ∠BAG=∠CAG=∠BAC=60°，即可得到结论： (2)证明△BDE≌△ADF(ASA),得到AB-BE=AC-AF,即可得到结论. 【详解】(1)证明：在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC, ∴.BG=CG,∠BAG=∠CAG=-∠BAC=60°， 2 AD=AB, ∴△ABD是等边三角形： (2)证明：由(1)知△ABD是等边三角形， ∠BAG=∠CAG=∠BAC=60°， ∴.AD=BD,∠ABD=∠ADB=60°， .∠DAF=∠DBE, :∠EDF=60°， .∠BDE=∠ADF=60°-∠ADE, ∴.△BDE≌△ADF(ASA), .BE=AF, AB=AC .AB-BE AC-AF, ..AE=CF, 12.如图，在ABC中，AC=BC,∠C=90°，AD是ABC的角平分线. D B (1)求证：AB=AC+CD; (2)已知CD=4cm,求AC的长. 【答案】(1)见解析 (2)4V2+4cm 【分析】(1)过点D作DE⊥AB于点E,可证明BDE是等腰直角三角形， 得到DE=BE;可证明△ACD≌△AED(AAS),得到AC=AE,CD=DE, 据此可证明结论； (2)利用勾股定理可求出BD的长，再求出BC的长即可得到答案 【详解】(1)证明：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E,则 ∠AED=∠BED=90°， 在ABC中，AC=BC,LC=90°， ∴.∠BAC=∠ABC=45°， ∴.BDE是等腰直角三角形， ∴.DE=BE； AD是ABC的角平分线， .∠CAD=∠EAD, 又.∠ACD=∠AED=90°，AD=AD, ∴.△ACD≌△AED AAS), ∴.AC=AE,CD=DE ..AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD; (2)解：由(1)可得DE=BE=CD=4cm, ∴BD=VDE2+BE2=4V2cm, ..AC=BC=CD+BD =(42+4cm 13.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC,点E 在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF,交AC于点N,交BC于点D, 且BD=CD. FD (1)求证：△AEN是等腰三角形； (2)求证： CN-AE=LBC. 2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据角平分线定义得∠BAF=∠CAF=45°，再根据ED∥AF得 ∠AEN=∠BAF=45°，LANE=∠CAF=45°，由此即可得出结论； (2)延长ED到M,使DM=DE,连接CM,先证△DCM和△DBE全等得 ∠M=∠AEN=45°，BE=CM,再证明CM=CN得CN=BE,则 CN-AE=AB,然后再根据含有30°角的直角三角形的性质可得出结论 【详解】(1)证明：∠BAC=90°，AF平分∠BAC, .∠BAF=∠CAF=45°， ED∥AF, .∠AEN=∠BAF=45°，∠ANE=∠CAF=45° .∠AEN=∠ANE=45°， ∴.△AEN是等腰三角形； (2)证明：延长ED到M,使DM=DE,连接CM,如图所示： FD 由(1)知：∠AEN=∠ANE=45°， ∴.∠CND=∠ANE=45°， DM=DE 在△DCM和ADBE中 ∠CDM=∠BDE, CD=BD .△DCM≌ADBE(SAS), .∠M=∠AEN=45°，BE=CM, ∴.∠M=∠CND=45°， ∴.CM=CN, ..CN=BE .∴CN-AE=BE-AE=AB, 在Rt△ABC中，∠ACB=30°， :.AB-BC, .CN-AE=1BC. 2 14.在海平面上有A,B,C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西 55°方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西35° 方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港 口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时 (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间. (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径 为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行， 货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准.请问这艘货船 在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性 质，正确掌握相关性质内容是解题的关键， (1)先得出∠BCA=180°-35°-55°=90°，结合勾股定理列式AB=100(海 里)，因为货船的航行速度为20海里/小时，则t=5(小时)，即可作答 (2)先在AB上取两点M,N使得CM=CN=50海里，结合 Sc4C-BC=号4B-CD,分别算出CD,DM的长度，然后结合等腰三 角形的三线合一，得出MN=2DM=28海里，因为货船的航行速度为10海里 小时，则=1.4小时，即可作答， 【详解】(1)解：·港口A在灯塔C的北偏西55°方向上，港口B在灯塔C的 南偏西35°方向上， .∠BCA=180°-35°-55°=90°， .港口A与灯塔C的距离是80海里，港口B与灯塔C的距离是60海里 .AB=VAC2+BC2=100(海里)， .货船的航行速度为20海里/小时 :ts100 20 =5(小时)， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； (2)答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作CD⊥AB交AB于D, M B 在AB上取两点M,N使得CM=CN=50海里 1 S.4BC=4C.BC=ABCD :.CD=AC,BC_80×60 48(海里)， AB 100 ∴.DM=VCM2-CD2=14(海里)， ..CM=CN ∴.△CMN是等腰三角形 .CD⊥AB .MN=2DM=28海里， MN ∴.t1= =1.4(小时) 20 .1.4>1, ·这艘货船在本次运输中符合航行安全标准 15.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC0的顶点分别为点A(0,-4), B(3,-4),C(3,0),O(0,0),点E在线段OA上，连接BE并延长交x轴于点 F,将△ABE沿直线BE翻折到△GBE,延长BG与x轴交于点D. (1)求证：DF=DB; (2)当OF=2时，求OD的长. 【答案】(1)见解析 (2)0D=2.1 【分析】(1)求得AB∥x轴，得到∠ABE=∠DFB,结合∠ABE=∠DBF, 即可证明结论； (2)设OD=x,则DF=2+x,CD=3-x,根据勾股定理可得到 DB2=16+(3-x)2,结合DF=DB,即可求得答案. 【详解】(1)解：点A,B的纵坐标相同， ∴.AB∥x轴， ∴.∠ABE=∠DFB. 根据图形折叠的性质可知∠ABE=∠DBF, ∴.∠DFB=∠DBF. ..DF =DB. (2)解：点B,C的横坐标相同， .BC∥y轴. .∠BCD=∠AOC=90°. 设OD=x,则DF=2+x,CD=3-x. 在Rt△BCD中，DB2=BC2+CD2=16+(3-x)2, .DF DB, (2+x)2=16+(3-x)2. ∴.x=2.1. .0D=2.1. 专题02等腰三角形 期中复习讲义 期中复习◆重点 1.牢记等腰三角形的定义、核心性质及判定定理，能熟练运用进行计算和证明； 2.掌握反证法的核心步骤，能运用反证法假设、证明等腰三角形相关命题。 3.熟练处理等腰三角形与三角形内角和、全等三角形的综合问题，提升解题效率与准确率。 4.掌握等腰三角形的定义、性质及判定定理，能灵活运用进行计算和证明；熟练掌握重点题型解题思路，突破易错点； 核心题型◆归纳 题型1等边对等角 题型2三线合一 题型3等边三角形的性质 题型4根据等角对等边证明等腰三角形 题型5根据等角对等边求边长 题型6格点图中画等腰三角形 题型7找出图中的等腰三角形 题型8直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型9求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型10用反证法证明命题 题型11等边三角形的判定和性质 题型12含30°角的直角三角形 题型13提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、等腰三角形定义及性质、判定 1.定义：有两条边相等的三角形为等腰三角形， 元素：相等的边叫腰；另一条叫底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 性质：（1）等腰三角形两腰相等；等腰三角形两底角相等（等边对等角）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”（仅适用等腰三角形）； 对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的中线、高）所在直线。 3.判定 （1） 有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 提示：“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两条边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定。 知识点二、等腰三角形中常用辅助线 1.作顶角平分线、底边上的中线或高（利用三线合一，构造全等直角三角形）； 2.作平行线、延长线转化角的关系； 3.作高构造直角三角形，结合勾股定理求解。 知识点三、等边三角形性质及判定 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形（是特殊的等腰三角形，三条边均可作为腰）。 2.核心性质：（1）三条边长度相等；三个内角都相等，且每个内角都等于60°；（3）是轴对称图形，有3条对称轴（每条边上的中线、高、所对内角的平分线重合）； 延伸性质：具备等腰三角形的所有性质（三线合一、两底角相等），且三线合一有3组。 3. 判定定理 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（需先明确是等腰三角形） 知识点四、反证法在等腰三角形中的应用 1.反证法核心：先假设命题的结论不成立，再通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立，常用于等腰三角形判定、性质的补充证明。 2.反证法的假设技巧 针对等腰三角形相关命题，假设需“否定结论”，精准对应原命题， 例如：命题：等腰三角形的两个底角必为锐角。 证明：① 假设：假设等腰三角形的两个底角不为锐角，即底角≥90°； ② 推理：设等腰三角形两底角为∠B、∠C，∠B=∠C≥90°，则∠B+∠C≥180°，又∵ 三角形内角和为180°，∴ 顶角∠A=180°-（∠B+∠C）≤0°，这与“角的度数为正数”矛盾； ③ 结论：假设不成立，原命题成立，即等腰三角形的两个底角必为锐角。 题型解析◆精准备考 题型1等边对等角 1．等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．在中，，且，则这个三角形是________三角形． 3．如图，，，点在边上，，和相交于点． (1)试说明∶； (2)若，求的度数． 题型2三线合一 1．如图，在中，，，延长至点D，使得．则的长为（    ） A． B． C． D． 2.已知等腰的腰，，则顶角的平分线_______． 3．如图，在中，，是的边上的高，E，F分别是，边上的点，且，连接，．则线段与相等吗？请说明理由． 题型3等边三角形的性质 1．已知等边的边长为，是边上的动点，过作于点，过作于点，过作于点．当与重合时，的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______． 3．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若也为等边三角形，且，，求的长． 题型4根据等角对等边证明等腰三角形 1．如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．12.5 D．13.5 2．如图，为维修一块与地面垂直的广告牌，维修工人设置了两架梯子，经测量得到以下数据：，，，，，，三点在同一条直线上，则的长度为______． 3．如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 题型5根据等角对等边求边长 1．如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，，，，则______． 3．如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型6格点图中画等腰三角形 1．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 3．如图，每个小正方形的边长都是1，在每幅图中以格点为顶点，分别画出一个符合下列条件的格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰直角三角形，要求底边； (2)在图2中画出一个直角三角形，要求，，长为无理数． 题型7找出图中的等腰三角形 1．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 2．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    3．如图，在中，，和的平分线交于点．过作交于，交于． (1)探究，，之间的等量关系． (2)若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有请写出来；（1）中的结论还成立吗？无需证明． 题型8直线上与已知两点组成等腰三角形的点 1．如图，点A的坐标为，若点P在y轴上，且为等腰三角形，则点P位置的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 _____个． 3．在平面直角坐标系中，有，，． (1)在图中画出关于轴对称的图形（其中点，，的对称点分别为点，，）； (2)是轴上的动点，当为等腰三角形时，求出点坐标有 个． (3)求的面积 题型9求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 3．如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 题型10用反证法证明命题 1．用反证法证明“在中，，，中不可能有两个角是钝角”时，假设，，中有两个角是钝角，不妨令，，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（   ）． A．已知 B．三角形内角和等于 C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对 2．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 3.已知直角三角形的三边长分别是，其中为斜边． (1)长分别为的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； (2)小明为了证明“长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．他给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 题型11等边三角形的判定和性质 1．如图，在中，，，将沿翻折，点A恰好落在点C处，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D．12 2．在中，，是边上的高，且，则是________三角形． 3．如图，在四边形中，，，．证明：． 题型12含30°角的直角三角形 1．在中，，．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，于H，若，则__________． 3．如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，，等腰直角三角板的锐角顶点在直线上，，则为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知在中，，，点D在上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 5．如图，和是的高，它们相交于点．且，则图中全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 二、填空题 6．如图，在中，，，将沿折叠，使点与上的点重合，若，则的长为________． 7．如图，在中，，，， （1）______； （2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______． 8．正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点C共有______个． 9．如图， 的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于___________．    10．在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有________个． 三、解答题 11．在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 12．如图，在中，，是的角平分线． (1)求证：； (2)已知，求的长． 13．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 14．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点在线段上，连接并延长交轴于点，将沿直线翻折到，延长与轴交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $